三角函数和平面向量

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1、1三角函数和平面向量三 角 函 数一、本章知识结构二、高考要求1理解角的有关概念，并能进行弧度与角度的互换。2掌握三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的图象和性质，会用五点法作函数y=Asin(x+)图象。3掌握两角和与差的正弦、正弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、正弦、正切公式，并会用公式进行三角函数式的化简和求值、证明。4掌握正弦、余弦定理，并能应用解三角形。5掌握平面向量有关知识，如向量的坐标运算、平面向量的数量积、向量垂直的条件、夹角公式等，会用向量方法解决简单问题。常考点：1）三角函数的定义；2）同角三角函数的基本函数关系式；3）三角函数的图象和性质；4）三角恒等变换；5）正弦、余

2、弦定理的应用；6）解三角形；7）平面向量的概念及运算；8）平面向量的基本定理及坐标表示；9）平面向量的数量积。易考点：1）三角函数的图象和性质；2）三角恒等变换；3）正弦、余弦定理的应用；4）解三角形；5）平面向量的基本定理及坐标表示；6）平面向量的数量积。必考点：三角函数的图象和性质，三角恒等变换，解三角形，平面向量的数量积。三、热点分析1三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之任意角的三角函数任意角 弧度制三角函数定义 诱导公式 同角三角函数的关系三角函数的图像与性质 正弦、余弦、正切的图像正弦、余弦、正切的性质的 图 像)sin(xAy简单的三角恒等

3、变换 差角余弦公式 和（差）角公式倍角公式解三角形 正弦定理 余弦定理 三角形面积公式向量基本概念向量运算加减运算数乘运算数量积向 量 基本定理 坐标表示 向量应用2一。近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等。高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查，一是设置一道或两道客观题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容；二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，仍是探索拓展、综合应用的热点考查题型，以三角函数为载体的立意新颖的应用性试题将备受命题者的青睐，一

4、般出现在前两个解答题的位置。无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在 20 分左右，约占总分值的 13.3%。2平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一。高考常设置 1 个客观题或 1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为 10 分，约占总分的 7%。对平面向量基本概念、平面向量的加减运算、平面向量的基本定理的考查仍以客观题的形式呈现，对向量平行、向量垂直、数量积问题应多加重视，这在未来高考中仍是命题的重点和热点。近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义；二是考查向量、正弦定理与余弦定理

5、在代数、三角函数、几何等问题中的应用。四、三角函数的复习建议1要区别正角、负角、零角、锐角、钝角、区间角、象限角、终边相同角的概念 奎 屯王 新 敞新 疆 头脑中要有一根弦：角的范围已经扩展了，系列角如何表示，相关角如何表示。2在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值 奎 屯王 新 敞新 疆 在应用诱导公式进行三角式的化简、求值时，应注意公式中符号的选取 奎 屯王 新 敞新 疆3单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，利用三角函数线进行求角和解三角不等式，有时候会更简单。4要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的“

6、标准式” ，或者换元后成为一个初等函数式（换元后注意定义域的确定） ，进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等 奎 屯王 新 敞新 疆 对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性 奎 屯王 新 敞新 疆5函数的单调性是在给定的区间上考虑的，只有属于同一单调区间的两个函数值才能由它的单调性来比较大小，要注意单调区间是一个连续区间。6三角函数很好地体现了对称性和周期性的关系，要把这种关系拓展到一般函数。对称性用处：对称轴和最值对应,对称点和零点对应.7熟练三角函数图象的作图方法，注意定义域有限制的作图训练。通过作图去体验和巩固图象间的变换关系。8熟悉公式的记忆和运用（1）诱导公

7、式：奇变偶不变，符号看象限；（2）两角和差的正弦、余弦、正切公式的正面运用和逆用；（3）倍角公式以及变形，体会降幂和和差化积的意图；（4）合一变形:asinx+bsinx= 。但要控制难度，限制在 是特殊角的范围xbasin2 3内。提醒:一些常见的变形技巧:(1)化切为弦；(2) 遇公因式提取公因式;(3)凑角( 不要盲目用一些公式展开,关键是看已知角和所求角有没有特殊关系。比如相差 180 度,90 度等)9关注三角函数在三角形中的应用，结合平面几何的性质寻找边角关系，要特别重视正弦定理和余弦定理在解三角形中的计算，掌握三角形面积公式的多种计算方法。三角函数这部分内容在高考中的难度要求是不

8、高的，所以在复习的时候要控制难度，但由于公式多，性质复杂，变形有一定的技巧，所以要花较多的时间加强训练，学习时注意化归思想和数形结合思想的渗透，注意易错点。五、平面向量的复习建议1透彻理解向量的概念。向量概念的两大要素“方向和长度”使向量既有“形”又有“数”的特征，既联系几何又联系代数，是高中数学重要的知识网络交汇点，是数形结合的重要载体。要抱着这样的观点去学习向量知识。2先从向量的几何特征进行学习，包括向量相等，向量共线的概念，平面向量的基本定理，以及向量的加减、实数与向量的积、向量的数量积等运算的几何表示，目的是给向量建立一个系统的几何体系。3向量的坐标运算使得几何问题可以通过代数运算加以

9、解决，在对向量的几何特征掌握透彻的前提下，理解记忆相关公式。如：向量共线、垂直的充要条件，向量的数量积运算，线段定比分点公式、平移公式等。4向量的数量积运算是平面向量的重要内容，它与实数之间积的运算既有区别又联系，要辨别清楚。向量的数量积运算是采取几何运算公式还是坐标运算公式，要甄别清楚；两个公式同时运用，又可构造出一个等式。要会灵活应用向量的数量积公式求向量的模和两点间的距离。5要把平面几何的性质、定理迁移到平面向量来，使得平面向量的几何推导成为可能，但题目的难度要有所控制。如：在平行四边形 中，ABCD若 ，则 ，即菱形模型。0)()(A若 ，则 ，即矩形模型。在 中，ABC， 是 的外心

10、；22OABC一定过 的中点；通过 的重心；， 是 的重心；0BA， 是 的垂心；4通过 的内心；)(ACB(RABC则 是 的内心；0Ocba22)(1SABC6适当训练以平面向量为背景的解析几何问题。解析几何题中往往以向量的形式来揭示几何条件，有的要懂得看出几何特征，有的是利用坐标运算直接转化为数的关系。在解析几何中也经常利用向量解决有关角度和垂直，以及点分线段的问题，会使得问题简单化。多训练一些这样的题目，就不会感到畏惧了。三角函数和平面向量做为高中数学的两个重要分支，内容繁杂，需要用心学习，把基础知识和基本技能练扎实，并且适当地提高能力，要把握好学习这两部分内容的度。典例分析例 1 （

11、1）已知 （ ）tan),0(,2cosin则A-1 B C D12（2）若 ，则 （ ）4tantsinA B C D5113121（3） （2012江苏文）设 为锐角，若 ，则 的值为_。a54)6cos(a)sin(a（4） （2012广东）已知函数 （其中 ）的最小正周期为 10 。2xf Rx,0求 的值；设 ， ， ，求 的值。2,0、56)35(f 176)(f )cos(【经验之谈】1三角函数式的化 简与求值的原则：化为同名同角，常用的技巧有：切割化弦、降幂、异角化同角，高次化低次。2三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换，特别是用“1”的代换，如 1= 等。x22sinc

12、o（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项： =1+ ；)(sinco2sin22xx2配凑角： ， 等。)( 3降次与升次。即倍角公式的变形。54化弦（切）法，尤其齐次式形如： 。cossindba5引入辅助角。 。)i(cosin2ba思考题（1） （2012山东）若 ， ，则 =( )2,4873sinsinA B C D5354（2） （2012江西临川）已知 是第二象限角，其终边上一点 P( )，且 ，5,xx42cos则 =( )sin(A B C D4104646410（3） （2012北京海淀）若 ，则 =_21tan)2cos(（4） （2012江西文）已知 ，若 ， ，则（ ）4

13、ixf 5(lgfa)51(lgfbA B C D0ba0ba1b例 2（1） （2012课标全国）已知 ，函数 在 上单调递减，则)4sin(xf ),2(的取值范围是（ ）A B C D452、4321210、0（2） （2012河南郑州）设函数 ，则)sin(3)cos(xxf )2,0(A 的最小正周期为 ，且在 上为增函数xfy2,0B 的最小正周期为 ，且在 上为减函数f ),(C 的最小正周期为 2 ，且在 上为增函数xy0D 的最小正周期为 2 ，且在 上为减函数f),(（3） （2012山东）已知向量 ，函数)2cos,in31cosxAm0(6的最大值为 6。nmxf求 A

14、；将函数 的图像向左平移 个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的xfy12，纵坐标不变，得到函数 的图像。求 在 上的值域。21xgyxg245,0（4） （2012北京文）已知函数 。fsin)co(求 的定义域及最小正周期；xf求 的单调递减区间。【经验之谈】1已知函数图像求函数 的解析式时，常用的解)0,)(siAxy题方法是待定系数法，由图中的最大 值或最小值确定 A，再由周期确定 ，由适合解析式的点的坐标来确定 ，但由图像求得的 的解析式一般不唯一，只有限定)sin(xAy,0的取值范围，才能得出唯一解，否则 的值不确定，解析式也就不唯一。2研究函数 的性质关键把 作为一个整

15、体，求单调性时，注意 的正)si(xy负。求三角函数的周期，通常应将函数式化 为“ 三个一”的形式，即只有一个函数名，角度唯一，次数为一次，然后借助于常见函数的周期来求解。思考题（1） （2012浙江）把函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐12cosxy标不变） ，然后向左平衡 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是（ ）（2） （2012陕西）函数 的最大值为 3，其图像相邻)0,()6in(AAf两条对称轴之间的距离为 。2求函数 的解析式；xf设 ，求 的值。)(,0（3） （2012山东文）函数 的最大值与最小值之和为（ ）)36sin(2xy90xA2 B0 C D13（4） （2012重庆）设 ，其中 )2cos(si)co(4xxf 0求函数 的值域；xfy若 在区间 上为增函数，求 的最大值。f23、7例 3（1） （201