《等差数列的概念(晒课版)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《等差数列的概念(晒课版)(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、等差数列的概念及通项公式卢灿菊【教学目标】1. 理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式;掌握等差中项的概念2. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题3. 通过教学,培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力,渗透由特殊到一般的思想【教学重点】等差数列的概念及其通项公式【教学难点】等差数列通项公式的灵活运用【教学方法】本节课主要采用自主探究式教学方法充分利用现实情景,尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性在教师的启发指导下,强调学生的主动参与,让学生自己去分析、探索,在探索过程中研究和领悟得出的结论,从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的【教学过程】一、复习引入:上两节课我们学习了数列的
2、定义及给出数列表示的几种方法列举法、通项公式、递推公式、图象法和前 n 项和公式法.这些方法从不同的角度反映数列的特点 奎 屯王 新 敞新 疆下面我们看这样一些例子。教师操作多媒体(出示图片)1. 第 23 届到第 28 届奥运会举行的年份依次为:奥运会举行年份的数列: 1984,1988,1992 1996,2000,20042. 姚明刚进 NBA 一周训练罚球的个数:得到数列:6000,6500,7000,7500,8000,8500,90003. 耐克运动鞋(女)的尺码(鞋底长,单位是 cm)26,15,24,13,2教师出示引例,并提出问题请同学们仔细观察,看看这个数列有什么特点?学生
3、探究、解答教师总结特征:也就是说,这些数列具有共同的特点:从第二项起,每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差) 我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列今天,我们来学习等差数列,出示等差数列定义。【设计意图】:希望学生能通过对日常生活中的实际问题的分析对比,建立等差数列模型,进行探究、解答问题,体验数学发现和创造的过程二新授1等差数列的定义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“ d”表示) 练习一 抢答:下列数列是否为等差数列?如果是,并说出他们的公差。1,2,4,6,8,10,12,;0,1,
4、2,3,4,5,6,;3,3,3,3,3,3,3,;2,4,7,11,16,;8,6,4,0,2,4,;3,0,3,6,9,注意:求公差 d 一定要用后项减前项,而不能用前项减后项2常数列特别地,数列3,3,3,3,3,3,3,也是等差数列,它的公差为 0公差为 0 的数列叫做常数列(学生说出各题的公差 d教师订正并强调求公差应注意的问题)公差 d 是每一项(第 2 项起)与它的前一项的差,防止把被减数与减数弄颠倒,而且公差可以是正数,负数,也可以为 0. 3. 等差数列的通项公式师:已知一个等差数列 an的首项是 a1,公差是 d,如何求出它的任意项 an呢?学生分组探究,填空,归纳总结通项
5、公式a2 a1 + d,a3= + d = + d= a1 + d,a4= + d = + d= a1 + d,an = a1 + d首项是 a1,公差是 d 的等差数列 an的通项公式可以表示为an a1( n1) d当 n=1 时,等式两边均为 a1, 即等式是成立的,因此,nN +时,公式成立。此时指出:这种求通项公式的办法叫不完全归纳法,这种导出公式的方法不够严密,为了培养学生严谨的学习态度,在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法-迭加法: a2 - a1 =da3 - a2=d a4 a3 =d an an-1 =d将这(n-1)个等式左右两边分别相加,就可以得到an- a1
6、=(n-1)d即 a n = a1 +(n-1)d ()当 n=1 时,()也成立,所以对一切 nN,上面的公式()都成立,因此它就是等差数列a n的通项公式。教师操作多媒体,演示推导过程。教师举例说明:如果一个等差数列 an的首项是 a1=1,公差是 d=2,那么将他们代入上面公式,就得到这个数列的通项公式:a n = a1 +(n-1)d,a n = 1 +(n-1)2,即 an = 2n-1.【设计意图】引导学生观察、归纳、猜想,培养学生合理的推理能力学生在分组合作探究过程中,可能会找到多种不同的解决办法,教师要逐一点评,并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质,激发学生的创造意识4
7、通项公式的应用根据这个通项公式,只要已知首项 a1和公差 d,便可求得等差数列的任意项 an事实上,等差数列的通项公式中共有四个变量,知道其中三个,便可求出第四个练习二 在等差数列a n中,1)已知 a1=2,d=3,n=10,求 an2)已知 a1=3,an=21,d=2,求 n3)已知 a1=12,a6=27,求 d4)已知 d=-1/3,a7=8,求 a1学生交流完成,教师出示答案。例 1. (1)等差数列 8,5,2,的第 20 项是几?(2)-401 是不是等差数列-5,-9,-13的项?如果是,是第几项?解:(1) 因为 a1= 8, d = 58=3,所以这个数列的通项公式是an
8、 = 8+(n-1)(-3),即 an = 3 n + 11所以a20 = 320 + 11 = -49.(2) 因为 a1= 5,而且 d = 9(5)=4, an = 5+(-4)(n-1)由题意知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得-401=5+(-4)(n-1)成立。所以 401= 5+ ( n1)(4)解得 n=100即这个数列的第 100 项是401例 2.在等差数列a n中,已知 a5=10,a12=31,求首项 a1与公差 d。解:由题意,a 5=a1+4da12=a1+11d即10=a 1+4d31=a1+11d这是一个以 a1 和 d 为未知数的二元一次方程组,解这个方程
9、组得a 1=-2 d=3即这个等差数列的首项为-2,公差为 3.若让求 a7,怎样求?学生思考。【设计意图】鼓励学生自主解答,培养学生运算能力通过例题,强化学生对等差数列通项公式的理解,强化学生学以致用的意识三知识延伸。由等差数列通项公式知:a m=a1+(m-1)d,则 a1=am-(m-1)dan=a1+(n-1)d= am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d从而得到第二通项公式:a n=am+(n-m)d所以:d= a例 3 在等差数列 an中(1) 若 a59=70, a80=112,求 a101;(2) 若 ap=q, aq=p (pq ),求 ap+q;(3) 若 a1
10、2=23, a42=143, an=263,求 n.教师板书解题过程。练习三:1.在等差数列a n中,已知 a3=9,a9=3,求 a122.在等差数列a n中,已知 a2=3,a4=7,求 a6、a 8学生交流完成,教师巡视个别指导。四继续探讨:1.思考:在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列:(1)2 ,( ) ,4(2)-12,( ) ,0(3) a , ( ) , b2. 等差中项的定义一般地,如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项3等差中项公式如果 A 是 a 与 b 的等差中项,则A = a + b2这就表明,两个数的等差
11、中项就是它们的算术平均数师:在等差数列 1,3,5,7,9,11,13,中,每相邻的三项,满足等差中项的关系吗?4一个结论在等差数列 a1, a2, a3, an,中,a2 = ,a1 + a32a3 = ,a2 + a42 an = ,an 1 + an+12这就是说,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项【设计意图】在学生自主探究的基础上得出定义和公式,更有利于学生理解和运用引导学生观察、归纳、猜想,培养学生合理的推理能力练习四 求下列各组数的等差中项:(1)732 与136;(2)49 与 42【设计意图】通过两道直接套用公式的
12、练习题,强化学生对中项公式的掌握五应用延伸例 4.一个首项为 23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是多少?解:由题意得,a6=a1+5d0 a 7=a1+6d0-23/5d-23/6dZ d=-4例 5. 梯子的最高一级是 33 cm,最低一级是 89 cm, 中间还有 7 级,各级的宽度成等差数列求中间各级的宽度解: 用 an 表示题中的等差数列已知 a1= 33, an = 89, n = 9,则 a9 = 33+(91) d ,即 89 = 33 + 8 d,解得 d = 7于是 a2 = 33 + 7 = 40, a3 = 40 + 7 = 47,
13、 a4 = 47 + 7 = 54, a5 = 54 + 7 = 61,a6 = 61 + 7 = 68, a7 = 68 + 7 = 75, a8 = 75 + 7 = 82即梯子中间各级的宽从上到下依次是 40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm 六归纳小结1等差数列的定义及通项公式2. 等差中项的定义及公式3等差数列定义、通项公式和中项公式的应用【设计意图】教师鼓励学生积极回答,答不完整没有关系,其它同学补充以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力七:思考题第 15 届现代奥运会于 1952 年在芬兰赫尔辛基举行,每 4 年举行一次。奥运会如因故不能举行,届数照算。(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式。 (2)2008 年北京奥运会是第几届?(3)2050 年举行奥运会吗?八:板书设计等差数列1. 等差数列的定义(多媒体)2. 等差数列通项公式(1)3. 等差数列通项公式(2)4. 例题 3 的解题过程5. 等差中项公式