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1、等差数列的概念及通项公式卢灿菊【教学目标】1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念2. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题3. 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想【教学重点】等差数列的概念及其通项公式【教学难点】等差数列通项公式的灵活运用【教学方法】本节课主要采用自主探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的【教学过程】一、复习引入：上两节课我们学习了数列的
2、定义及给出数列表示的几种方法列举法、通项公式、递推公式、图象法和前 n 项和公式法.这些方法从不同的角度反映数列的特点 奎 屯王 新 敞新 疆下面我们看这样一些例子。教师操作多媒体（出示图片）1. 第 23 届到第 28 届奥运会举行的年份依次为:奥运会举行年份的数列： 1984，1988，1992 1996，2000，20042. 姚明刚进 NBA 一周训练罚球的个数：得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，90003. 耐克运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是 cm）26,15,24,13,2教师出示引例，并提出问题请同学们仔细观察，看看这个数列有什么特点？学生
3、探究、解答教师总结特征：也就是说，这些数列具有共同的特点：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差） 我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列今天，我们来学习等差数列，出示等差数列定义。【设计意图】：希望学生能通过对日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，进行探究、解答问题，体验数学发现和创造的过程二新授1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“ d”表示） 练习一 抢答：下列数列是否为等差数列？如果是，并说出他们的公差。1，2，4，6，8，10，12，；0，1，
4、2，3，4，5，6，；3，3，3，3，3，3，3，；2，4，7，11，16，；8，6，4，0，2，4，；3，0，3，6，9，注意：求公差 d 一定要用后项减前项，而不能用前项减后项2常数列特别地，数列3，3，3，3，3，3，3，也是等差数列，它的公差为 0公差为 0 的数列叫做常数列（学生说出各题的公差 d教师订正并强调求公差应注意的问题）公差 d 是每一项（第 2 项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为 0. 3. 等差数列的通项公式师：已知一个等差数列 an的首项是 a1，公差是 d，如何求出它的任意项 an呢？学生分组探究，填空，归纳总结通项
5、公式a2 a1 + d，a3= + d = + d= a1 + d，a4= + d = + d= a1 + d，an = a1 + d首项是 a1，公差是 d 的等差数列 an的通项公式可以表示为an a1( n1) d当 n=1 时，等式两边均为 a1， 即等式是成立的，因此，nN +时，公式成立。此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法-迭加法： a2 - a1 =da3 - a2=d a4 a3 =d an an-1 =d将这（n-1）个等式左右两边分别相加，就可以得到an- a1
6、=(n-1)d即 a n = a1 +(n-1)d （）当 n=1 时，（）也成立，所以对一切 nN，上面的公式（）都成立，因此它就是等差数列a n的通项公式。教师操作多媒体，演示推导过程。教师举例说明：如果一个等差数列 an的首项是 a1=1，公差是 d=2，那么将他们代入上面公式，就得到这个数列的通项公式：a n = a1 +(n-1)d，a n = 1 +(n-1)2，即 an = 2n-1.【设计意图】引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识4
7、通项公式的应用根据这个通项公式，只要已知首项 a1和公差 d，便可求得等差数列的任意项 an事实上，等差数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个练习二 在等差数列a n中，1）已知 a1=2,d=3,n=10,求 an2）已知 a1=3,an=21,d=2,求 n3）已知 a1=12,a6=27,求 d4）已知 d=-1/3,a7=8,求 a1学生交流完成，教师出示答案。例 1. （1）等差数列 8，5，2,的第 20 项是几？（2）-401 是不是等差数列-5,-9,-13的项？如果是，是第几项？解：（1） 因为 a1= 8， d = 58=3，所以这个数列的通项公式是an
8、 = 8+(n-1)(-3)，即 an = 3 n + 11所以a20 = 320 + 11 = -49.（2） 因为 a1= 5，而且 d = 9(5)=4， an = 5+（-4）（n-1）由题意知，本题是要回答是否存在正整数 n，使得-401=5+（-4）（n-1）成立。所以 401= 5+ ( n1)(4)解得 n=100即这个数列的第 100 项是401例 2.在等差数列a n中，已知 a5=10,a12=31,求首项 a1与公差 d。解：由题意，a 5=a1+4da12=a1+11d即10=a 1+4d31=a1+11d这是一个以 a1 和 d 为未知数的二元一次方程组，解这个方程
9、组得a 1=-2 d=3即这个等差数列的首项为-2，公差为 3.若让求 a7，怎样求？学生思考。【设计意图】鼓励学生自主解答，培养学生运算能力通过例题，强化学生对等差数列通项公式的理解，强化学生学以致用的意识三知识延伸。由等差数列通项公式知：a m=a1+(m-1)d,则 a1=am-(m-1)dan=a1+(n-1)d= am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d从而得到第二通项公式：a n=am+(n-m)d所以：d= a例 3 在等差数列 an中(1) 若 a59=70， a80=112，求 a101；(2) 若 ap=q， aq=p (pq )，求 ap+q；(3) 若 a1
10、2=23， a42=143， an=263，求 n.教师板书解题过程。练习三：1.在等差数列a n中，已知 a3=9,a9=3,求 a122.在等差数列a n中，已知 a2=3,a4=7,求 a6、a 8学生交流完成，教师巡视个别指导。四继续探讨：1.思考：在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：（1）2 ，（ ） ，4（2）-12，（ ） ，0（3） a , ( ) , b2. 等差中项的定义一般地，如果 a， A， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项3等差中项公式如果 A 是 a 与 b 的等差中项，则A = a + b2这就表明，两个数的等差
11、中项就是它们的算术平均数师：在等差数列 1，3，5，7，9，11，13，中，每相邻的三项，满足等差中项的关系吗？4一个结论在等差数列 a1， a2， a3， an，中，a2 = ，a1 + a32a3 = ，a2 + a42 an = ，an 1 + an+12这就是说，在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项【设计意图】在学生自主探究的基础上得出定义和公式，更有利于学生理解和运用引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力练习四 求下列各组数的等差中项：（1）732 与136；（2）49 与 42【设计意图】通过两道直接套用公式的
12、练习题，强化学生对中项公式的掌握五应用延伸例 4.一个首项为 23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？解：由题意得，a6=a1+5d0 a 7=a1+6d0-23/5d-23/6dZ d=-4例 5. 梯子的最高一级是 33 cm，最低一级是 89 cm， 中间还有 7 级，各级的宽度成等差数列求中间各级的宽度解： 用 an 表示题中的等差数列已知 a1= 33， an = 89， n = 9，则 a9 = 33+（91） d ，即 89 = 33 + 8 d，解得 d = 7于是 a2 = 33 + 7 = 40， a3 = 40 + 7 = 47，
13、 a4 = 47 + 7 = 54， a5 = 54 + 7 = 61，a6 = 61 + 7 = 68， a7 = 68 + 7 = 75， a8 = 75 + 7 = 82即梯子中间各级的宽从上到下依次是 40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm 六归纳小结1等差数列的定义及通项公式2. 等差中项的定义及公式3等差数列定义、通项公式和中项公式的应用【设计意图】教师鼓励学生积极回答，答不完整没有关系，其它同学补充以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力七：思考题第 15 届现代奥运会于 1952 年在芬兰赫尔辛基举行，每 4 年举行一次。奥运会如因故不能举行，届数照算。（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式。 （2）2008 年北京奥运会是第几届？（3）2050 年举行奥运会吗？八：板书设计等差数列1. 等差数列的定义（多媒体）2. 等差数列通项公式（1）3. 等差数列通项公式（2）4. 例题 3 的解题过程5. 等差中项公式
