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1、有理数的加减混合运算典型例题及解析例 1 填方阵图中的空格，使图中每行、每列上的三个数的和都相等，然后计算每条对角线上三个数的和，看它们与每行、每列上三个数的和是否相等3 4 160分析 既然每行、每列上三个数的和都相等，就只能等于第一行中三个数的和，由此又很容易求出右下角和中心位置上应该填什么数，从而可以扩展成果解出全题解 34（1）7166（1）66（61）6516（40）6426（10）6156（62）686（8）2所以，每个空格应填的数如图所示2 25 1两条对角线上三个数的分别是3216，（1）25176可见，每条对角线上三个数的和也都与每行、每列上的三个数和之和相等说明 解比较复杂
2、的题目要注意选好切入点，本例题在这方面体现得比较清楚例题 2 用两种方法计算：分析 算式比较长，所以应该怎样使计算变得简便些课本已经说明这可以通过利用运算律来实现，就本题而言，把小数与小数结合，分数与分数结合，或者把分数都化为小数等都是可以的解法一 解法二 例 3计算下列各式：（1） ；（2） ；（3） ；（4） . 解：（1）原式 . （2）原式 . （3）原式 . （4）原式 . 说明：对于有理数的加法或有理数的减法的题目，要先进行全面分析，找出特点，采用适当的步骤，才能计算正确、简便和迅速，如多个有理数相加、一般按从左到右的顺序，逐个进行计算而得出结果但根据题目特点，若能应用加法交换律或
3、结合律的一定要先用这些运算律，不但可以简便运算，而且还能防止出错另外，加数中若有相反数，也应先把相反数相加例 4计算下列各题：（1） ；（2） ；（3） . 解：（1）原式 . （2）原式 （3）原式 . 说明：计算有理数加减混合运算的题目。首先应用有理数减法法则把减法转化为加法，写成省略加号的代数和的形式，再考虑能否用加法运算律简化运算，最后求出结果一般应考虑到符号相同的数先加（需交换加数位置时，要连同前面符号一同交换）；互为相反数的数先加，同分母的数先加，和为整数的几个数先加例 5已知有理数 ， 满足 ，求 的值分析：条件中是两个绝对值的和等于 0因为任意一个有理数 的绝对值都为非负数，即
4、而两个有理数的和是 0 的话，这两个数必互为相反数，即 所以有且只有： 且 于是可以求出 、 的值，进而求出原式的值解： ， ，且 . ，且 . ，且 . ， . 说明：本例反映出绝对值的一个特性，即如果几个有理数的绝对值之和等于零，则这几个有理数都等于零例 6 把“ 写成省略括号的和的形式为 ”这句话对吗？分析：先将原式统一为加法运算，再省略括号和加法中加号 ，故这句话不对解答：这句话是错误的。活动一：埃及人的分数埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为 1 的分数，例如：用 表示 ，用 来表示 等等现在有 90 个埃及分数： ， ， ， ，
5、 ， ，你能从中挑出 10 个，加上负号，使它们的和等于1 吗？参考： ， ， ， ， ， ， ， ， ，活动二探究目的：1加深对正负数的概念及加法法则的理解，弄清正负数与小学学过的数的关系；2培养学生观察、分析、探究的能力以及从具体问题归纳出一般规律的能力；3培养学生的学习兴趣及钻研精神探究问题：（1）能否在下面几个数的前面添加正号或负号，使它们的和为 0，如果能，把添加正号或负号后的数写出来： 1，2，3； 1，2，3，4； 1，2，3，4，5； 2，4，6，8，10，12； 1，2，3，11，12（2）你能否找出 6 个正整数，在这 6 个数的前面添加正号或负号，使它们的和为 0（希望看
6、到多种结果）（3）在解决以上问题的过程中，你能总结出一些什么数学规律？参考答案：（1） 1，2，3； 1，2，3 1，4，2，3； 1，4，2，3 因为 1234515，和为奇数，所以这 5 个数不能分为和相等的两部分，因此不能在这 5 个数的前面添加正号或负号，使它们的和为 0 因为 2468101242，和为偶数，但 42 的二分之一为 21，在2、4、6、8、10、12 中不管拿出几个偶数，它们的和都不可能等于奇数 21，所以结论是否定的 因为 123111278，所以结论是肯定的这里只给出 5 个答案：12，11，10，6，9，8，7，5，4，3，2，1；12，11，10，6，9，8，
7、7，5，4，3，2，1；12，11，10，5，1，9，8，7，6，4，3，2；10，9，8，7，5，12，11，6，4，3，2，1；11，7，6，5，4，3，2，1，12，10，9，8（2）这里只给出 6 个答案：2，4，6，8，10，30； 1，2，3，4，5，5；3，3，3，3，3，3； 2，4，6，2，4，6；12，10，7，6，5，4；21，8，6，4，2，1（3）在解决（1）、（2）两问的过程中，可以初步总结出以下规律： 能够在几个正整数的前面添加正号或负号，使它们的和为 0 的前提是：这几个数能够分为和相等的两部分，也就是这几个数的和一定为偶数 几个正整数的和为偶数，不一定能够通过添加正号或负号，使它们的和为 0关键是看添加了正号或负号的数能否分为绝对值的和相等的两部分 如果几个添加了正号或负号的数的和为 0，那么将这几个数的符号全部变号，和仍为0，即结论是成对出现的说明：1在给出（1）中的的解答的基础上，可以进一步让学生思考 1，2，3，4，5，6 与1，2，3，4，5，6，可不可以？2可以将（2）中的“使它们的和为 0”的“0”换成其它正整数，让同学们探讨3在研究了 1，2，3，11，12 之后，可以让学有余力的同学思考1，2，3，99，100 可不可以？如果将 100 换成更大的自然数，问题又应该怎样研究呢？
