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1、高一数学应用举例 03112 解三角形应用举例 第一时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点、难点教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学设想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一“解三角形” 中，我们遇到这么一个问题，
2、 “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？” 在古代，天学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。3、新讲授（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做
3、出图形，把实际问题里的条和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型求解(2)例 1、如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出 A 的距离是， BA= ， AB= 。求 A、B 两点的距离 (精确到 01)提问 1： AB中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条告诉了边 AB 的对角，A 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 A 的对角，应用正弦定理算
4、出 AB 边。解：根据正弦定理，得 = AB = = = = 67()答:A、B 两点间的距离为 67 米变式练习：两灯塔 A、B 与海洋观察站的距离都等于 a ,灯塔 A 在观察站的北偏东 30 ，灯塔 B 在观察站南偏东 60 ，则 A、B 之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型。 解略： a 例 2、如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达） ，设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。分析：这是例 1 的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 A
5、和 B，再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点、D，测得 D=a，并且在、D 两点分别测得 BA= ，AD= ， DB= ， BDA = ，在 AD 和 BD 中，应用正弦定理得A = = B = = 计算出 A 和 B 后，再在 AB 中，应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离AB = 分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。变式训练：若在河岸选取相距 40 米的、D 两点，测得 BA=60 ， AD=30 ， DB=4 ， BDA =60 略解：将题中各已知量代入例 2 推出的公式，得 AB=20 评注：可见，在研究三角形时，灵活根据
6、两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条选择最佳的计算方式。4、学生阅读本 4 页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。、堂练习：本第 14 页练习第 1、2 题6、归纳总结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解四、后作业1、本第 22
7、 页第 1、2、3 题2、思考题：某人在汽车站的北偏西 20 的方向上的 A 处，观察到点处有一辆汽车沿公路向站行驶。公路的走向是站的北偏东 40 。开始时，汽车到 A 的距离为 31 千米，汽车前进 20 千米后，到 A 的距离缩短了 10 千米。问汽车还需行驶多远，才能到达汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进 20 千米后到达 B 处。在 AB 中，A=31，B=20，AB=21 ，由余弦定理得s= = ,则 sin =1- s = , sin = ,所以 sin A = sin（120 - ）= sin120 s - s120 sin = 在 A 中，由正弦定理得= = =3从而有 B= -B=1答：汽车还需要行驶 1 千米才能到达汽车站。作业：习案作业三
