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1、九年级上册数学第 22 章一元二次方程导学案第 14-1 时 一元二次方程小结与复习学 习目 标 1、一元二次方程的相关概念；2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；、构造一元二次方程解决简单的实际问题；学习重点运用知识、技能解决问题。学习难点解题分析能力的提高教 学 互 动 设 计一、知识梳理1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元） ，并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式
2、是：ax2+bx+=0(a0)，其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，是常数项。3、一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法4、一元二次方程 ax2+bx+=0(a0)的根的判别式是 = b2-4a，当0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程没有实数根；当 0 时，方程有实数根。、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）当=b2-4a0 时，一元二次方程 ax2+bx+=0(a0)的求根公式为 x= ；若一元二次方程 ax2+bx+=0(a0)的两根为 x1、x2，则 x1x2= ，x1x2=
3、 。若一元二次方程 +px+q=0 的两根为 、 ，则：x1x2= -p ， x1x2= q 。6、一元二次方程的应用。二、基本知识训练1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是【 】A B D 2、某学校准备修建一个面积为 200 平方米的矩形花圃，它的长比宽多 10 米，设花圃的宽为 x 米，则可列方程为 x(x10) 200，化为一般形式为 x2+10x-200=0。3、已知 1 是关于 x 的一元二次方程（1） x2+x+1=0 的一个根，则的值是【 B 】A 1B10D无法确定4、咸宁市 2009 年平均房价为每平方米 2000 元连续两年增长后，2011 年平均房价达到每平方米
4、2420 元，设这两年平均房价年平均增长率为 x，依题意可列方程为 2000（1+x）2=2420，此方程适宜用直接开平方法解。、用配方法解关于 x 的一元二次方程 x22x3=0，配方后的方程可以是【 A 】A （x 1） 2=4B （x+1）2=4 （x1）2=16D （x+1）2=166、若一元二次方程 有实数解，则的取值范围是【 B 】 A B D 7、下列一元二次方程两实数根和为-4 的是【 D 】A x2+2x-4=0 B x2-4x+4=0 x2+4x+10=0 Dx2+4x-=08、已知和 n 是方程 2x2x3=0 的两根，则 - 。三、典型例题分析【例 1】用适当的方法解下
5、列方程：x24x+2=0 解：x= ；x1=1，x2=-3；x= 。【例 2】已知 x 是一元二次方程 x2+2x-80 的根，求代数式 的值解： = = = 又x2+2x-80，x1-4，x22，但当 x2 时原式无意义，故当 x-4 时原式= = 【例 3】关于 x 的一元二次方程 x23x-10 的两个实数根分别为 x1，x2（1）求的取值范围；（2）若 2 (x1+x2)+ x1x2+10=0，求的值解：（1）原方程有两个实数根，=9-4( -1)0，解之得： （2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1+x2=-3，x1x2= -1，2 (-3)+ ( -1)+10=0解之得：=-
6、3【例 4】如果方程 x2pxq0 的两个根是 x1，x2，那么x1x2p，x1x2 q请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于 x 的方程 x2xn0 (n0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；（2）已知 a、b 满足 a21a0，b21b0，求 的值；（3）已知 a、b、均为实数，且 ab 0，ab16，求正数的最小值解：（1）设 x2xn0 (n0)的两根为 x1，x2x1x2，x1 所求一元二次方程为 x2 0，即 nx2x10（2）当 ab 时，由题意知 a，b 是一元二次方程 x21x0 的两根，ab 1，ab 47当 a b 时， 112 47 或 2
7、（3）ab0， ab16，ab，ab a，b 是方程 x2 x 0 的两根2 00，364 4的最小值为 4【例】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 32 元的单价对外批发销售。（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金 200 元。试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。解：（1）设平均每次下调的百分率为 ，依题意可列方程：解这个方程，得 ， 因为降价的百分
8、率不可能大于 1，所以 不符合题意，符合题目要求的是 %答：平均每次下调的百分率是 20%。（2）小华选择方案一购买更优惠。理由：方案一所需费用为： （元）方案二所需费用为： （元） 14400 1000， 小华选择方案一购买更优惠。四、经典考题训练1、下列方程，是一元二次方程的是 。3x2+x=20， 2x2-3x+4=0， ， x2=0， 2、方程(-2)x|+3x+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则 = -2 。3、已知关于 x 的方程 x2-x-6=0 的一个根为 -2，则实数的值为【 】A1 B 2 D 4、关于 x 的二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0 的一个根是 0，则
9、 a 的值为【 B 】A、1 B、 、1 或 D、0、方程 的解是 6、已知关于 的一元二次方程的一个根是 1，写出一个符合条的方程：如 x2=1 等7、如果方程 ax2+2x+1=0 有两个不等实数根，则实数 a 的取值范围是 a1 且 a08、已知 、 是一元二次方程 x2-4x-3=0 的两实数根，则代数式（-3） （-3）= -6 9、若关于 x 的方程 ax2+2（a+2 ）x+a=0 有实数解，那么实数 a 的取值范围是a 110、用适当的方法解下列方程：x2-2x-3=0 x(x-2)+x-2=0 （x+1）(x-1)+2(x+3)=8 x2-3x-1=0解：x1=-1，x2=3
10、；x1=-1，x2=2 ； x1=1，x2=-3； 11、先化简，再求值：，其中 是方程 的根解：原式= = = = 是方程 的根， 原式= = 12、已知关于 x 的一元二次方程(-2)2x2+(2+1)x+1=0 有两个不相等的实数根，求的取值范围。解：方程(-2)2x2+(2+1)x+1=0 有两个不相等的实数根(-2)20，且 =(2+1)2-4(-2)21=20-160 且213、已知 x1、x2 是方程 2x2+14x16=0 的两实数根，求 的值 解：由根与系数的关系，得 x1+x2=-7，x1x2=-8， = = = =- 14、已知关于 x 的一元二次方程 x2+(+3)x+
11、1=0（1）求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若 x1，x2 是原方程的两根，且 ，求的值，并求出此时方程的两根（1）证明：=(+3)2-4(-1)=(+1)2+4无论取何值时，(+1)2+4 的值恒大于 0,原方程总有两个不相等的实数根（2）解：x1，x2 是原方程的两根，x1+x2=-(+3)，x1x2=+1 ， ； ，(x1+x2)2-4x1x2=8 ，-(+3)2-4(+1)=8，2+2-3=0,解得：1=-3，2=1 当=-3 时，原方程化为：x2-2=0，解得： 当=1 时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得： 1、阅读下面的材料，回答问题：解方程 x4x2+
12、4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 x2=，那么 x4=2，于是原方程可变为 2+4=0 ，解得1=1，2=4当=1 时， x2=1， x=1；当=4 时， x2=4， x=2；原方程有四个根：x1=1，x2= 1，x3=2 ，x4= 2（1）在由原方程得到方程的过程中，利用 换元 法达到_降次_的目的， 体现了数学的转化思想（2）解方程（x2+x）24（x2+x ）12=0 解：（2）设 x2+x=，原方程可化为 24 12=0 ，解得 1=6，2= 2由 x2+x=6，得 x1=3，x2=2由 x2+x=2，得方程 x2+x+2=0，b24a=142=70
13、，此时方程无解所以原方程的解为 x1=3，x2=2 16、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABD（围墙 N 最长可利用 2） ，现在已备足可以砌 0 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为 3002解：设 AB=x，则 B=（0 2x） 根据题意可得，x（02x）=300 ，解之得：x1=10 ，x2=1，当 x=10， B=01010=302，故 x1=10（不合题意舍去） ，答：可以围成 AB 的长为 1 米，B 为 20 米的矩形17、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过 60 棵，每棵售价
14、120 元；如果购买树苗超过 60 棵，每增加 1 棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低 0 元，但每棵树苗最低售价不得少于 100 元，该校最终向园林公司支付树苗款 8800 元，请问该校共购买了多少棵树苗？解：因为 60 棵树苗售价为 120 元60=7200 元8800 元，所以该校购买树苗超过 60 棵，设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得：x1200（x60）=8800 ，解得：x1=220，x2=80当 x2=220 时，1200（220 60）=40 100，x1=220 （不合题意，舍去） ；当x2=80 时， 1200（8060）=110 100，x=80，答：该校共购买了80 棵树苗一元二次方程单元测试题（一）一、填空题（每题 2 分，共计 12 分）1 把方程（2x+6 ）2=-7 化成一元二次方程的一般形式为_，其中二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_2 已知关于 x 的二次方程 4x2+4x+2=0 的一个根是-2，那么=_3 若分式 的值为 0，则 x 的值是_4 关于 x 的一元二次方程 x2+bx+=0 的两根为 x1=1，x2=2，则x2+bx+分解因式的结果为_如果关于 x 的一元二次方程 2x2-（4+1） x+22-1=0 有两个不相等的实数根，那么的取值范围是_6 已知关于 x 的方程 x2-（ab)
