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1、凸函数在不等式证明中的应用摘要： 凸函数是一种性质特殊的函数.它在证明比较复杂的不等式方面有着重大作用. 本文首先给出了凸函数的三个典型定义，分析了它们之间的关系，并证明了三种定义之间的等价性接着给出了凸函数的一个判定定理以及 Jesen不等式然后讨论了凸函数的几条常用性质，通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用在不等式证明中的应用并举例说明解题思路与证明方法，最后证明了几个常见的重要不等式并得到了几种常用凸函数
2、的形式关键词凸函数，不等式，凸性不等式1 引言在数学思想方法中，函数思想是很重要的一种思想方法，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证，进而寻求解决问题的途径。凸函数是一类常见的重要函数，上世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支得到广泛应用例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数现行高等数学教材中也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要
3、，对凸函数这一概念作了不同形式的定义，本文介绍了凸函数的三种典型定义，讨论了它们的等价性，并给出了利用凸函数的定义证明凸函数的简单应用凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分重要凸函数的性质相当多，已有很多文献专门就函数凸性作了研究本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明,并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用，针对它在证明比较复杂的不等式方面有着重要作用，本文对凸函数的性质在比较经典的不等式证明中的简单应用进行初步讨论.2 凸函数的等价定义定义 11若函数 对于区间 内的任
4、意 以及 ，恒有()fx(,)ab12,x(0,1)1，1212()()()fxfxfx则称 为区间 上的凸函数()fx(,)ab其几何意义为：凸函数曲线 上任意两点 间的()yfx12(,),()xffx割线总在曲线之上定义 2若函数 在区间 内连续，对于区间 内的任意 ，()fx(,)ab(,)ab12,恒有，1212()()ffxf则称 为区间 上的凸函数()fx(,)ab其几何意义为：凸函数曲线 上任意两点 间割()yfx12(,),()xffx线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上定义 3若函数 在区间 内可微，且对于区间 内的任意 及 ，()fx(,)ab(,)ab0恒有，
5、00()()fxfx则称 为区间 上的凸函数()fx(,ab其几何意义为：凸函数曲线 上任一点处的切线，总在曲线之下()yfx以上三种定义中，定义 3 要求 在 内是可导的，定义 2 要求,)ab在 上是连续的而定义 1 对函数 则没有明显地要求实际上()fx,ab (yfx可以证明在定义 1 中，函数 在 上是连续的而定义 1 和定义 2 两()yfx,个定义是否要求函数 是可导的，则没有提出如果加上可导的条件，f则可证明三种定义是等价的2.1 凸函数三种定义的等价性的讨论2.1.1 定义 1 定义 2证明 定义 1 定义 3，取 ， 由定义 1 推得定义 222定义 2 定义 1首先，论证
6、 对于任意的 及有理数 ，不等式fx12,xab0,1，112ffx成立事实上，对于此有理数 总可以表示为有穷二进位小数，即，121120.nnnaaLL其中 或 1， 由于 也是有理数所以也可以表ia,;1ni示为有穷二进位小数，即，121120.nnnbbLL由于 ，有 或 1， ，于是1i,2;ni12 1,2iiiifaxbfxbfiL所以 12fx121 11 2nn nnn naabbf xx LL2212 12112nnnnfxbf 23 312112 1 2()n nn naabba xxf LL22112 12112nnnnabafxbffxx LL333112212 122
7、21122121121*22 nnnnnn abafxbfafxbffxxffff fbfaxb LLL L11221211222 nnnnffafxbfafxbfaxb L12 121 11 212nnn nabbfxfxfxfx L下面再论证 对 为无理数时定义 1 也成立事实上，对任意无理数，存在有理数列 ，所以0,0,nn，1212nxxn由于 在 内连续，所以fx,ab121212limlinnfxxfffxx综上即知，定义 1 与定义 2 等价2.1.2 定义 1 定义 3证明 定义 1 定义 3：对 内任意的 及 ，若 ，则取 ，,ab0x0x0h使 于是，可以得到0xhx，00
8、0fxhffx4上式中令 ，由于 可微，所以有 ，即0hfx00fxff若 ，则取 ，使 ，同理可000fxff0xh0hx证定义 3 定义 1：对于区间 内的任意 （不妨设 ）以及,ab12,x12，令 ，则有 ，由泰勒0,12x1xx公式，得及 ，11fff22fxff其中 ，于是12xx122121fffxxff再进一步由 ，所以 即21ff x，1212fxxfx最后，由等价的传递性即知定义 2 与定义 3 也是等价的2.2 判定定理与 Jesen 不等式判定定理 2设 为区间 上的二阶可导函数，则在 上 为凸函数的充fI If要条件是 ， ()0fx用定义直接来判断一个函数是不是凸函
9、数，往往是很困难的但用该判定定理来判断一个光滑函数是否凸，则是相当简便的在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性，再反过来引出它必定满足凸性不等式在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙证明不等式就是凸函数的一个应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数定理 (Jensen 不等式) 3设函数 在 上处处二次可微，:(,).fabRf(,)ab且 (对任意 ，则 为 上的凸函数，即对任意 ，()0fx(,)xabx mN及 成立如下不等式,kab1,mkk5， （1）11()()mkkfxfx该不等式称为 Jensen 不等式，
10、该性质是凸函数的一个重要性质，也是定义的一般情况可以说，凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由 Jensen 不等式来体现的，因为每个凸函数都有一个 Jensen 不等式，因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用利用它可以推出常用的一些重要公式，为证明不等式开辟了一条新路注：由定理，经简单计算知下列函数在其定义域上都是凸函数，从而都满足不等式（1） （ a） ， （ b）(),23)ifx1()0,)fxxa （， （ c） 凸函数及其性质在解2(0)xc3()0)f cc题中有着十分广泛的应用，下面试举数例述之3性质利用函数的凸性来证明不等式，是一种重要的方法，通常需要构造适当的凸函数，再运
11、用函数的凸性的定义及几个等价论断，可将一些初等不等式，积分不等式转化为研究函数的性态，从而使不等式简化进而得到证明函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上整体性态，不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象，而且有助于对函数的定性分析凸函数是一类重要的函数凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了性质 14 设函数 在区间 为凸函数，则 在区间fx、 gIfx+g也为凸函数I证明： 因函数 在区间 为凸函数，从而12,0,1xIfx、 I，且1 2ff112gxgxgx于是有 12121122 fx f fxg因此 在区间 为凸
12、函数+gI6性质 2 设函数 在区间 为凸函数，则 在区间fx、 gImax,fgx为凸函数I证明 ，因函数 在区间 为凸函数从而有12,0,1Ifx、 gI，212fxfx且1212ggxg令 ，则max,Ffx121212a,fxx121a,fxgg212,ma,gfxFxx因此， 在区间 为凸函数max,FfxI性质 3 5设函数 在区间 为递增的非负凸函数，则fx、 g,ab在区间 为凸函数fxg,b证明 ，设 ，因 为非负凸函数，由定理 312xa12xfx、知 ， 在点 连续，且,af、 g，12120()()fxfxf1212()()gg因此 在区间 连续，因 递增，从而fxg,
13、abfx、 21211212210xggfgxfgxfgx且 21211212()()ffxxf7121221214fxgfxgfxgfxgfxgfxg 由定义知 在区间 为凸函数fx,ab当然凸函数的性质还远不止施工述几条，这里就不一一列举4 凸函数在不等式证明中的应用41 利用凸函数定义证明不等式例 1 求证：对任意实数 ，有 ,ab21ababee证明 设 ，则 ，故 为 上的xfe0,fxxfe,凸函数从而对 ，由定义有121,ab，1212()()fxfxfx即 21ababee例 2 设 ，则有 0,1x1axx证明 设 ，那么af011aaxxx1 1121 aaafaxx 1121 1aaa aaxxxx ，1 12 2a aa 于是 时， 01,xa0fx由严格凸函数的定义，其中 得12,0x8，1010fxfxfxfgg即 1ax例 36 若 为 内的凸函数， ，求证fx,ab(,),2ixabinL11()niniixff证明 对 ，不等式是显然的，设对 不等式成立，则因
