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1、- 1 -2010 年中考数学二轮复习探索性问题、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标
2、系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质） 、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力、典型例题剖析【例 1】 （临沂）如图 261，已知抛物线的顶点为 A(O，1)，矩形 CDEF 的顶点 C、F 在抛物线上，D、E 在 轴上，CF 交xy 轴于点 B(0，2)，且其面积为 8(1)求此抛物线的解析式；(2)如图 262，若 P 点为抛物线上不同于 A 的
3、一点，连结 PB 并延长交抛物线于点 Q，过点 P、Q 分别作 轴的垂线，垂足分别为 S、Rx求证：PBPS；判断SBR 的形状；试探索在线段 SR 上是否存在点 M，使得以点 P、S、M 为顶点的三角形和以点Q、R、M 为顶点的三角形相似，若存在， 请找出 M 点的位置；若不存在，请说明理- 2 -由解：方法一：B 点坐标为(0，2)，OB2，矩形 CDEF 面积为 8，CF=4.C 点坐标为(一 2，2)F 点坐标为(2，2)。设抛物线的解析式为 2yaxbc其过三点 A(0，1)，C(-22)，F(2，2)。得 解得124xabc1,04abc此抛物线的解析式为 2yx 方法二：B 点坐
4、标为(0，2)，OB2，矩形 CDEF 面积为 8， CF=4.C 点坐标为(一 2，2)。 根据题意可设抛物线解析式为 。2yaxc其过点 A(0，1)和 C(-22) 解得124ca1,4c此抛物线解析式为 2yx(2)解：过点 B 作 BN ，垂足为 NSP 点在抛物线 y= +l 上可设 P 点坐标为214xPS ， OBNS2，BN 。21(,)4aaaPN=PSNS= 在 Rt PNB 中21APB2 2221()(1)4PNBa- 3 -PBPS 214a根据同理可知 BQQR。 ，又 ，13 ，2同理 SBPB 53180 .99SBR SBR 为直角三角形 方法一：设 ，,P
5、bQc由知 PSPBb ， 。Pbc222()SRbc 。假设存在点 M且 MS ，别 MR 。若使PSMMRQ，2SRcxx则有 。即x20c 。 SR212xbcbM 为 SR 的中点. 若使PSMQRM，则有 。 。2xbcxcb 。1MRQBROSPScM 点即为原点 O。综上所述，当点 M 为 SR 的中点时 PSMMRQ；当点 M 为原点时，PSM MRQ 方法二：若以 P、S、M 为顶点的三角形与以 Q、M、R 为顶点三角形相似，- 4 - ，90PSMRQ有 PSM MRQ 和 PSMQRM 两种情况。当 PSM MRQ 时 SPM RMQ， SMP RQM 由直角三角形两锐角
6、互余性质知 PMS+ QMR90。 。 90PMQ取 PQ 中点为 N连结 MN则 MN PQ= 12()RSMN 为直角梯形 SRQP 的中位线,点 M 为 SR 的中点 当PSMQRM 时，。又 ，即 M 点与 O 点重合。点 M 为原点 O。RQBSPRS综上所述，当点 M 为 SR 的中点时， PSMMRQ；当点 M 为原点时，PSMQRM。 点拨：通过对图形的观察可以看出 C、F 是一对关于 y 轴的对称点，所以（1）的关键是求出其中一个点的坐标就可以应用三点式或 y=ax2+c 型即可而对于点 P 既然在抛物线上，所以就可以得到它的坐标为（a， a2+1） 这样再过点 B 作 BN
7、PS得出14的几何图形求出 PB 、PS 的大小最后一问的关键是要找出PSM 与MRQ 相似的条件【例 2】探究规律：如图 264 所示，已知：直线 mn，A、B 为直线 n 上两点，C、P为直线 m 上两点（1）请写出图 264 中，面积相等的各对三角形；（2）如果 A、B、C 为三个定点，点 P 在 m 上移动，那么，无论 P 点移动到任何位置，总有_与ABC 的面积相等理由是：_.- 5 -解决问题：如图 265 所示，五边形 ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图 266 所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（266 中折线 CDE）还保
8、留着；张大爷想过 E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积） （1）写出设计方案并画出相应的图形；（2）说明方案设计理由解：探究规律：（l）ABC 和ABP，AOC 和 BOP、CPA 和CPB（2）ABP；因为平行线间的距离相等，所以无论点 P 在 m 上移动到任何位置，总有ABP 与ABC 同底等高，因此，它们的面积总相等解决问题：画法如图 267 所示连接 EC，过点 D 作 DFEC，交 CM 于点 F，连接 EF，EF 即为所求直路位置设
9、 EF 交 CD 于点 H，由上面得到的结论可知：SECF =SECD ，S HCF =SEDH ，所以 S 五边形 ABCDE=S 五边形 ABCFE，S 五边形 EDCMN=S 四边形 EFMN点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边的问题要用前边的结论去一做，所以要连接 EC，过 D 作 DFEC，再运用同底等高的三角形的面积相等【例 3】 （成都模拟，12 分）如图 268 所示，已知抛物线的顶点为 M（2，4） ，且过点 A(1,5)，连结 AM 交 x 轴于点 B求这条抛物线的解析式；求点 B 的坐标；设点 P（x，y）是抛物线在 x 轴下- 6 -方、顶
10、点 M 左方一段上的动点，连结 PO，以 P 为顶点、PQ 为腰的等腰三角形的另一顶点 Q 在 x 轴上，过 Q 作 x 轴的垂线交直线 AM 于点 R，连结 PR设面 PQR 的面积为 S求S 与 x 之间的函数解析式；在上述动点 P（x，y）中，是否存在使 SPQR =2 的点？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由解：（1）因为抛物线的顶点为 M（2，4）所以可设抛物线的解析式为 y=（x2） 2 4因为这条抛物线过点 A（1，5）所以 5=a(12) 24解得 a=1所以所求抛物线的解析式为 y=（x2） 2 4 （2）设直线 AM 的解析式为 y=kx+ b因为 A（1，5）,
11、 M（2，4）所以 ，kb解得 k=3，b=2所以直线 AM 的解析式为 y=3x2当 y=0 时，得 x= ，即 AM 与 x 轴的交点 B（ ,0）23 23（3）显然，抛物线 y=x24x 过原点(0，0当动点 P（x，y）使POQ 是以 P 为顶点、PO 为腰且另一顶点 Q 在 x 轴上的等腰三角形时，由对称性有点 Q（2x，0）因为动点 P 在 x 轴下方、顶点 M 左方，所以 0x2因为当点 Q 与 B（ ，0）重合时，PQR 不存在，所以 x ，23 13所以动点 P（x，y）应满足条件为 0x2 且 x ，13因为 QR 与 x 轴垂直且与直线 AM 交于点 R，所以 R 点的
12、坐标为（2x，6x+2） - 7 -如图 269 所示，作 P HOR 于 H，则 PH= |,|62|QPxxQRx而 S=PQR 的面积= QRP H= 12 12|下面分两种情形讨论：当点 Q 在点 B 左方时，即 0x 时，13当 R 在 x 轴上方，所以6x20所以 S= （6x2）x=3x 2+x；12当点 Q 在点 B 右方时，即 x2 时13点 R 在 x 轴下方，所以6x20所以 S= （6x2）x=3x 2x； 12即 S 与 x 之间的函数解析式可表示为23(0)31（4）当 S=2 时，应有3x 2+x =2，即 3x2 x+ 2=0，显然0，此方程无解或有 3x2x
13、=2，即 3x2 x2=0，解得 x1 =1，x 223当 x=l 时，y= x 24x=3，即抛物线上的点 P（1，3）可使 SPQR =2；当 x= 0 时，不符合条件，应舍去23所以存在动点 P，使 SPQR =2，此时 P 点坐标为(1,3)点拨：此题是一道综合性较强的探究性问题，对于第（1）问我们可以采用顶点式求得此抛物线，而（2）中的点 B 是直线 AM 与 x 轴的交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线 AM，从而得出与 x 轴的交点 B(3)问中注意的是 Q 点所处位置的不同得出的 S 与 x 之间的关系也随之发生变化 （4）可以先假设存在从而得出结论- 8 -、综合巩固练
14、习：（100 分 90 分钟） 1 观察图 2610 中）至中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放记第 n 个图中小黑点的个数为 y解答下列问题： 填下表： 当 n=8 时，y=_； 根据上表中的数据，把 n 作为横坐标，把 y 作为纵坐标，在图 2611 的平面直角坐标系中描出相应的各点（n，y） ，其中 1n5； 请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？如果在某一函数的图象上，请写出该函数的解析式2 （5 分）图 2612 是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子观察图形的变化规律，写出第 n 个小房子用了_块石子- 9 -3(10 分)已知 RtABC 中，AC=5，BC=12，ACB =90，P 是 AB 边上的动点（与点A、B 不重合） ，Q 是 BC 边上的动点（与点 B、C 不重合） 如图 2613 所示，当 PQA C，且 Q 为 BC 的中点时，求线段 CP 的长； 当 PQ 与 AC 不平行时，CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段 CQ 的长的取值范围，若不可能，请说明理由4如图 2614 所示，在直角坐标系中，以 A（1，1） ，B（1，1） ，C（1，1） ，D（1，l）为顶点的正方形，设正方- 10 -形在直线 ：y=x 及动直线 ：y=x+2a（la1）上方部分的面积为 S（例如当1l2l
