波利亚-怎样解题-数学

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1、1帮助学生第一部分 在教室中目的教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务并不很简单，它需要时间、 实践、热忱以及健全合理的原则。学生应当有尽可能多的独立工作经验。 但是如果让他独自面对问题而得不 到任何帮助或者帮助得不够。 那么他很可能没有进步。 但若教师对他帮助过多， 那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰使学生有一份合 理的工作。如果学生不太能够独立工作，那末教师也至少应当使他感觉自己是在独立 工作。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。不过， 对学生的帮助最好是顺乎自然。 教师对学生应当设身处地， 应当了 解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学

2、生自己可能会产生的 问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。2问题、建议、思维活动 在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再而三地提出一些相同的问题， 指出一些相同的步骤。 这样， 在大量的问题中， 我们总是问： 未知数是什么 ?我们可以变换提法， 以各种不同的方式提问同一个 问题：求什么 ?你想找到什么 ?你假定求的是什么 ?这类问题的目的是把学生的注 意力集中到未知数上。有时，我们用一条建议：看着未知数，来更为自然地达 到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。从作者看来， 在与学生讨论的问题中， 收集一些典型的有用问题和建议， 并加

3、以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题 和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。读者充分熟悉这张表并且 看出在建议之后所应采取的行动之后，他会感到这张表中所间接列举的是对解 题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大 小排列的。3普遍性 表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么 ?已知数是什么 ?条件是什么 ?这些问题都是普遍适用的， 对于所有各类问题， 我们 提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可 以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题 或仅仅是个谜语。

4、这没什么差别， 上述问题都是有意义的， 而且有助于我们解 题。事实上， 还存在一个限制， 不过这与论题无关。 表中某些问题与建议， 只 能用于“求解题”而不能用于“求证题”。如果我们的问题属于后者，则必须 采用别的提问方法，见第三部分“求解题，求证题”这一段。4常识我们这张表中的问题与建议是具有普遍性的， 但是除去其普遍性以外， 它 们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。例如这条建议：看 着未知数 ! 试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题， 这 条建议不 管怎样总是劝告你去做你想做的事，而对于你认真要解决的问题并未提出具体 的劝告。 你是不是肚子饿了 ?如果你希望搞点

5、吃的， 你就会想起你所熟悉的搞到 食物的一些办法。 你是不是有一个几何作图题 ?如果你想作一个三角形， 你也会 想起你所熟悉的一些作三角形的办法。 你 是否有一个任意的问题 ?你若希望找出 某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些 办法。如果你这样做了，那你的路子也是对头的；这个建议是个好建议，它向 你提出一个常能成功的程序。我们表中的所有问题与建议都是自然的、 简单的、 显而易见的， 而且只不 过是普通常识； 但是这张表把常识概括地加以叙述。 这张表所提出的处理办法 对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。 然而按正确道路 行动的人往往不注意用明确的

6、语言来表达其行动， 而 且他可能根本不会这样做； 我们这张表却尝试去表达这些。5教师与学生，模仿与实践 当教师向学生提出表中的问题或建议时，他可能有两个目的：第一，帮助学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能力。经验证明， 适当使用我们表中的问题与建议， 常能对学生有所裨益。 此表 有两个特点：常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识，所以显得很自然， 学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性，所以它们对学生的帮助并 非强加于人；它们只不过指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。上述两个目的是密切相关的。 如果学生在解决手边的问题中获得成功， 他 就提高了一些解题的能力。这时

7、，我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而 且可适用于许多情况。如果同一个问题反复地对学生有所帮助，那么他就会注 意到这个问题，于是在类似的情况下，他自己就会提出这个问题。通过反复地 提出这个问题，他总会有一次成功地诱导出正确的念头。通过这样一次成功， 他便发现了利用这个问题的正确途径，于是，他真正地领会了它。学生可能对我们表中的一些问题领会得很好，以致他最终能够在恰当的时刻向自己提出正确的问题， 并进行相应的自然而活跃的思维活动。 这样， 学生 就无疑从我们的表中得到了尽可能多的收获。为了得到尽可能好的结果，教师 可以做些什么事呢 ?解题， 譬如， 就好象游泳一样， 是一种实际技能。 当你学习

8、游泳时， 你模 仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践 ( 实地练习游泳 ) 来学 会游泳。当试图解题时，你也必须观察并模仿其它人在解题时的所作所为，并 且最后通过实践来学会解题。希望提高学生解题能力的教师， 必须培养学生的兴趣， 然后给他们提供大 量的机会去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中发展相应于我们表中的问 题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问 题和建议。此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路更吸引人一些， 并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导， 学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这样做

9、以后，他将 学到比任何具体数学知识更为重要的东西。6四个阶段主要部分，主要问题在求解过程中， 我们很可能再三地改变我们的观点， 或者改变考虑问题的 途径。我们应该不断地变更我们的出发点。当我们开始着手解题时，我们对问 题的概念可能很不完整；当我们有些进展以后，我们的看法就不同了；而当我 们几乎已经得到解答的时候，看法就会更不相同。为了把我们表中的问题与建议进行适当分组， 我们把工作分为四个阶段。 首先， 我们必须了解问题； 我们必须清楚地看到要求的是什么 ?其次， 我们必须 了解各个项之间有怎样的联系 ?未知数和数据之间有什么关系 ?为了得到解题的 思路，应该制定一个计划。第三，实现我们的计划

10、。第四，我们回顾所完成的 解答，对它进行检查和讨论。上述每一阶段都有其重要性。 可能会有这样的情况： 一个学生想出了一个 异常好的念头，于是跳过所有的预备步骤，解答就脱口而出了。如此幸运的念 头当然是求之不得的，但是也可能发生很不如愿和很不走运的事：即，学生通 过上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头。最糟糕的情况是：学生并 没有理解问题就进行演算或作图。一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作 出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的。如果学生在实行其计划的过 程中检查每一步，就可以避免许多错误。如果学生不去重新检查或重新考虑已 完成的解答，则可能失去某些最好的效果。7、弄清问题回答一个

11、你尚未弄清的问题是愚蠢的。 去做一件你不愿干的事是可悲的。 在校内外， 这种愚蠢和可悲的事情却经常发生， 但教师应力求防止在他的班级 里发生这样的事。学生应当弄清问题，然而他不仅应当弄清它，而且还渴望解 出它。如果学生对问题没弄清或不感兴趣， 这并不是他的过错， 问题应当精选， 所选的题目不太难但也不要太容易， 应顺乎自然而且趣味盎然， 并且有时在叙 述方式上也应当自然而有趣。首先， 必须了解问题的文字叙述。 教师在某种程度上可以检查这一点， 他 可以要求学生重新叙述这题目， 而学生应能流利地重新叙述这个问题。 学生还 应当能够指出问题的主要部分， 即未知数， 已知数据， 条件。 所以老师提问

12、时， 不要错过这样的问题：未知数是什么 ?已知数据是什么 ?条件是什么 ?学生应该仔细地、重复地并且从各个方面来考虑问题的主要部分。如果问题和某一图形有关， 那末他应该画张图并在上面标出未知数与已知数据。 如果 对这些对象需要给以名称，他应该引入适当的符号。适当地注意选择符号，他 就会被迫考虑这些必须选择符号的对象。在此预备阶段中，假定我们并不期望 有一个明确的回答，而只不过想有一个临时性的回答或一个猜测，那么另外还 有一个问题可能是有用的，即：满足条件是否可能呢 ?( 在本书第二部分中， 把 “弄清问题” 分成两个阶段： “熟悉问题” 和 “深人理解问题” ) 。8、例子让我们说明上节中的某

13、几点内容。 我们选下列简单问题：已知长方体的长、宽、高，求其对角线长度。为了对此问题作有益的讨论，学生必须熟悉毕达哥拉斯定理及其在平面几何中的某些应用。 他们对立体几何可能只有很少的系统知识。 教师这时可以依 赖学生对空间关系的朴素知识。教师可以通过使问题具体化而使之有趣。 如教室就是个长方体， 其尺寸可 以测量，也可以估计，要求学生不作测量，间接地求出教室的对角线长度。教 师指出教室的长、宽、高，用手势说明什么是对角线，通过不断地和教室相联 系而使他画在黑板上的图变得更加形象。以下是老师与学生间的对话：“未知数是什么 ?” “长方体对角线的长度。” “已知数是什么 ?” “长方体的长、宽、高

14、。”“引入适当的符号，用哪个字母表示未知数 ?” “ x”“长、宽、高应选哪些字母 ?” “ a，b， c” “联系 a， b， c 与 x 的条件是什么 ?”“x 是长方体的对角线，长方体的长、宽、高为 a， b， c” “这是个合理的问题吗 ?我意思是说， 条件是否充分， 足以确定未知数吗 ?” “是的，是充分的。如果我们知道 a， b， c，我们就知道平行六面体。如果平行六面体被确定，则对角线也被确定了。”9拟定计划当我们知道， 或至少大体上知道， 为了求解未知数， 必须完成哪些计算、 要作哪些图的时候，我们就有了一个计划。从弄清问题到想出一个计划，其过 程可能是漫长而曲折的。事实上，求

15、解一个问题的主要成绩是构想出一个解题 计划的思路。这个思路可能是逐渐形成的。或者，在明显失败的尝试和一度犹 豫不决之后，突然闪出了一个“好念头”。老师为学生所能做的最大的好事是 通过比较自然的帮助，促使他自己想出一个好念头。我们下面就要讨论的问题 与建议正是要诱发这样一种好念头。为了弄清学生的心理活动，老师应当回想他自己的经验，回顾他自己在解题时碰到的困难与取得成功的经验。我们当然知道， 如果我们对该论题知识贫乏， 是不容易产生好念头的。 如 果我们完全没有知识，则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是过去的 经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关 事实，则也不

16、会出现好念头。只有材料还不足以盖房子，但是不收集必需的材 料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某 些有关内容，如以前解决的问题，以前证明过的定理。因此，以下列问题开始 工作常常是合适的：你知道一个与此有关的问题吗 ?困难就在于： 通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关， 即， 与它 有某种共同之处。 我 们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢 ?我们建议把 力量放在主要的共同之处上： 看 着未知数 ! 试想起一个具有相同或相似未知数的 熟悉的问题来。如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的问题，那是很幸运的。我们应当争取这样的运气；通过探索我们是可以得到它的。 这 里有个问题与你的问题有关，且早已解决，你能利用它吗 ?上述问题， 如能很好地理解和认真地加以考虑， 常常有助于激发起一连串 正确的想法；但它们并不总是有用的，它们并非魔法。如果这些问题不行，我 们必须寻找某些其他的适当接触点，并且探索问题的各个方面；我们不得不变 化、变换、 修改该问题。 你