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1、1帮助学生第一部分 在教室中目的教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务并不很简单,它需要时间、 实践、热忱以及健全合理的原则。学生应当有尽可能多的独立工作经验。 但是如果让他独自面对问题而得不 到任何帮助或者帮助得不够。 那么他很可能没有进步。 但若教师对他帮助过多, 那么学生却又无事可干,教师对学生的帮助应当不多不少,恰使学生有一份合 理的工作。如果学生不太能够独立工作,那末教师也至少应当使他感觉自己是在独立 工作。为了做到这一点,教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生。不过, 对学生的帮助最好是顺乎自然。 教师对学生应当设身处地, 应当了 解学生情况,应当弄清学生正在想什么,并且提出一个学
2、生自己可能会产生的 问题,或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。2问题、建议、思维活动 在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时,教师不免一而再,再而三地提出一些相同的问题, 指出一些相同的步骤。 这样, 在大量的问题中, 我们总是问: 未知数是什么 ?我们可以变换提法, 以各种不同的方式提问同一个 问题:求什么 ?你想找到什么 ?你假定求的是什么 ?这类问题的目的是把学生的注 意力集中到未知数上。有时,我们用一条建议:看着未知数,来更为自然地达 到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的:即企图引起同样的思维活动。从作者看来, 在与学生讨论的问题中, 收集一些典型的有用问题和建议, 并加
3、以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题 和建议;它们对于那些能独立解题的人也同样有用。读者充分熟悉这张表并且 看出在建议之后所应采取的行动之后,他会感到这张表中所间接列举的是对解 题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大 小排列的。3普遍性 表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性,例如:未知数是什么 ?已知数是什么 ?条件是什么 ?这些问题都是普遍适用的, 对于所有各类问题, 我们 提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可 以是代数的或几何的,数学的或非数学的,理论的或实际的,一个严肃的问题 或仅仅是个谜语。
4、这没什么差别, 上述问题都是有意义的, 而且有助于我们解 题。事实上, 还存在一个限制, 不过这与论题无关。 表中某些问题与建议, 只 能用于“求解题”而不能用于“求证题”。如果我们的问题属于后者,则必须 采用别的提问方法,见第三部分“求解题,求证题”这一段。4常识我们这张表中的问题与建议是具有普遍性的, 但是除去其普遍性以外, 它 们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。例如这条建议:看 着未知数 ! 试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题, 这 条建议不 管怎样总是劝告你去做你想做的事,而对于你认真要解决的问题并未提出具体 的劝告。 你是不是肚子饿了 ?如果你希望搞点
5、吃的, 你就会想起你所熟悉的搞到 食物的一些办法。 你是不是有一个几何作图题 ?如果你想作一个三角形, 你也会 想起你所熟悉的一些作三角形的办法。 你 是否有一个任意的问题 ?你若希望找出 某个未知数,你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些 办法。如果你这样做了,那你的路子也是对头的;这个建议是个好建议,它向 你提出一个常能成功的程序。我们表中的所有问题与建议都是自然的、 简单的、 显而易见的, 而且只不 过是普通常识; 但是这张表把常识概括地加以叙述。 这张表所提出的处理办法 对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。 然而按正确道路 行动的人往往不注意用明确的
6、语言来表达其行动, 而 且他可能根本不会这样做; 我们这张表却尝试去表达这些。5教师与学生,模仿与实践 当教师向学生提出表中的问题或建议时,他可能有两个目的:第一,帮助学生解决手头的问题;第二,培养学生将来能够独立解题的能力。经验证明, 适当使用我们表中的问题与建议, 常能对学生有所裨益。 此表 有两个特点:常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识,所以显得很自然, 学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性,所以它们对学生的帮助并 非强加于人;它们只不过指出了一般的方向,而留给学生去做的还很多。上述两个目的是密切相关的。 如果学生在解决手边的问题中获得成功, 他 就提高了一些解题的能力。这时
7、,我们不应该忘记我们所提问题具有普遍性而 且可适用于许多情况。如果同一个问题反复地对学生有所帮助,那么他就会注 意到这个问题,于是在类似的情况下,他自己就会提出这个问题。通过反复地 提出这个问题,他总会有一次成功地诱导出正确的念头。通过这样一次成功, 他便发现了利用这个问题的正确途径,于是,他真正地领会了它。学生可能对我们表中的一些问题领会得很好,以致他最终能够在恰当的时刻向自己提出正确的问题, 并进行相应的自然而活跃的思维活动。 这样, 学生 就无疑从我们的表中得到了尽可能多的收获。为了得到尽可能好的结果,教师 可以做些什么事呢 ?解题, 譬如, 就好象游泳一样, 是一种实际技能。 当你学习
8、游泳时, 你模 仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践 ( 实地练习游泳 ) 来学 会游泳。当试图解题时,你也必须观察并模仿其它人在解题时的所作所为,并 且最后通过实践来学会解题。希望提高学生解题能力的教师, 必须培养学生的兴趣, 然后给他们提供大 量的机会去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中发展相应于我们表中的问 题与建议的思维活动,那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问 题和建议。此外,当教师在全班面前解题时,他应当使其思路更吸引人一些, 并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导, 学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法,并且这样做
9、以后,他将 学到比任何具体数学知识更为重要的东西。6四个阶段主要部分,主要问题在求解过程中, 我们很可能再三地改变我们的观点, 或者改变考虑问题的 途径。我们应该不断地变更我们的出发点。当我们开始着手解题时,我们对问 题的概念可能很不完整;当我们有些进展以后,我们的看法就不同了;而当我 们几乎已经得到解答的时候,看法就会更不相同。为了把我们表中的问题与建议进行适当分组, 我们把工作分为四个阶段。 首先, 我们必须了解问题; 我们必须清楚地看到要求的是什么 ?其次, 我们必须 了解各个项之间有怎样的联系 ?未知数和数据之间有什么关系 ?为了得到解题的 思路,应该制定一个计划。第三,实现我们的计划
10、。第四,我们回顾所完成的 解答,对它进行检查和讨论。上述每一阶段都有其重要性。 可能会有这样的情况: 一个学生想出了一个 异常好的念头,于是跳过所有的预备步骤,解答就脱口而出了。如此幸运的念 头当然是求之不得的,但是也可能发生很不如愿和很不走运的事:即,学生通 过上述四阶段中的任何一个阶段都没有想出好念头。最糟糕的情况是:学生并 没有理解问题就进行演算或作图。一般说来,在尚未看到主要联系或者尚未作 出某种计划的情况下,去处理细节是毫无用处的。如果学生在实行其计划的过 程中检查每一步,就可以避免许多错误。如果学生不去重新检查或重新考虑已 完成的解答,则可能失去某些最好的效果。7、弄清问题回答一个
11、你尚未弄清的问题是愚蠢的。 去做一件你不愿干的事是可悲的。 在校内外, 这种愚蠢和可悲的事情却经常发生, 但教师应力求防止在他的班级 里发生这样的事。学生应当弄清问题,然而他不仅应当弄清它,而且还渴望解 出它。如果学生对问题没弄清或不感兴趣, 这并不是他的过错, 问题应当精选, 所选的题目不太难但也不要太容易, 应顺乎自然而且趣味盎然, 并且有时在叙 述方式上也应当自然而有趣。首先, 必须了解问题的文字叙述。 教师在某种程度上可以检查这一点, 他 可以要求学生重新叙述这题目, 而学生应能流利地重新叙述这个问题。 学生还 应当能够指出问题的主要部分, 即未知数, 已知数据, 条件。 所以老师提问
12、时, 不要错过这样的问题:未知数是什么 ?已知数据是什么 ?条件是什么 ?学生应该仔细地、重复地并且从各个方面来考虑问题的主要部分。如果问题和某一图形有关, 那末他应该画张图并在上面标出未知数与已知数据。 如果 对这些对象需要给以名称,他应该引入适当的符号。适当地注意选择符号,他 就会被迫考虑这些必须选择符号的对象。在此预备阶段中,假定我们并不期望 有一个明确的回答,而只不过想有一个临时性的回答或一个猜测,那么另外还 有一个问题可能是有用的,即:满足条件是否可能呢 ?( 在本书第二部分中, 把 “弄清问题” 分成两个阶段: “熟悉问题” 和 “深人理解问题” ) 。8、例子让我们说明上节中的某
13、几点内容。 我们选下列简单问题:已知长方体的长、宽、高,求其对角线长度。为了对此问题作有益的讨论,学生必须熟悉毕达哥拉斯定理及其在平面几何中的某些应用。 他们对立体几何可能只有很少的系统知识。 教师这时可以依 赖学生对空间关系的朴素知识。教师可以通过使问题具体化而使之有趣。 如教室就是个长方体, 其尺寸可 以测量,也可以估计,要求学生不作测量,间接地求出教室的对角线长度。教 师指出教室的长、宽、高,用手势说明什么是对角线,通过不断地和教室相联 系而使他画在黑板上的图变得更加形象。以下是老师与学生间的对话:“未知数是什么 ?” “长方体对角线的长度。” “已知数是什么 ?” “长方体的长、宽、高
14、。”“引入适当的符号,用哪个字母表示未知数 ?” “ x”“长、宽、高应选哪些字母 ?” “ a,b, c” “联系 a, b, c 与 x 的条件是什么 ?”“x 是长方体的对角线,长方体的长、宽、高为 a, b, c” “这是个合理的问题吗 ?我意思是说, 条件是否充分, 足以确定未知数吗 ?” “是的,是充分的。如果我们知道 a, b, c,我们就知道平行六面体。如果平行六面体被确定,则对角线也被确定了。”9拟定计划当我们知道, 或至少大体上知道, 为了求解未知数, 必须完成哪些计算、 要作哪些图的时候,我们就有了一个计划。从弄清问题到想出一个计划,其过 程可能是漫长而曲折的。事实上,求
15、解一个问题的主要成绩是构想出一个解题 计划的思路。这个思路可能是逐渐形成的。或者,在明显失败的尝试和一度犹 豫不决之后,突然闪出了一个“好念头”。老师为学生所能做的最大的好事是 通过比较自然的帮助,促使他自己想出一个好念头。我们下面就要讨论的问题 与建议正是要诱发这样一种好念头。为了弄清学生的心理活动,老师应当回想他自己的经验,回顾他自己在解题时碰到的困难与取得成功的经验。我们当然知道, 如果我们对该论题知识贫乏, 是不容易产生好念头的。 如 果我们完全没有知识,则根本不可能产生好念头。一个好念头的基础是过去的 经验和已有的知识。仅仅靠记忆不足以产生好念头。但若不重新收集一些有关 事实,则也不
16、会出现好念头。只有材料还不足以盖房子,但是不收集必需的材 料也盖不了房子。解决数学问题所必需的材料是我们早已获得的数学知识的某 些有关内容,如以前解决的问题,以前证明过的定理。因此,以下列问题开始 工作常常是合适的:你知道一个与此有关的问题吗 ?困难就在于: 通常有相当多的问题与我们现在手上的问题有关, 即, 与它 有某种共同之处。 我 们怎样挑出其中一个或几个确实有用的问题呢 ?我们建议把 力量放在主要的共同之处上: 看 着未知数 ! 试想起一个具有相同或相似未知数的 熟悉的问题来。如果我们成功地回想起一个与当前问题密切相关的早已解决的问题,那是很幸运的。我们应当争取这样的运气;通过探索我们是可以得到它的。 这 里有个问题与你的问题有关,且早已解决,你能利用它吗 ?上述问题, 如能很好地理解和认真地加以考虑, 常常有助于激发起一连串 正确的想法;但它们并不总是有用的,它们并非魔法。如果这些问题不行,我 们必须寻找某些其他的适当接触点,并且探索问题的各个方面;我们不得不变 化、变换、 修改该问题。 你