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1、第二章 控制系统的数学模型,2-1控制系统的时域数学模型2-2控制系统的复域数学模型2-3控制系统的结构图及传递函数2-4控制系统的信号流图,2-1 控制系统的时域数学模型,2-1-1、建立系统微分方程的方法 2-1-2、非线性元件微分方程的线性化,1. 线性元件的微分方程（举例）,例 2-2,解：直流电动机的运动方程由三部分组成： 电枢回路电压平衡方程电磁转矩方程电动机轴上的转矩平衡方程,图示为电枢控制直流电动机, 要求取电枢电压ua(t) 为输入量, 电动机转速m(t) 为输出量, 列写微分方程。图中Ra、La分别是电枢电路的电阻和电感, Mc是折合到电动机轴上的总负载转矩.激磁磁通为常值
2、。,电枢回路电压平衡方程,Ea是电枢反电势, 与激磁磁通及转速成正比, 方向与电枢电压ua(t)相反 Ea = Cem(t) Ce反电势系数（V/rad/s）,电磁转矩方程,Cm电动机转矩系数 (Nm/A),电动机轴上的转矩平衡方程,Jm电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量 kgm fm电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦 系数（Nm/rad/s）,消去Mm ,求出ia(t), 代入, 亦代入得：,当电枢电路电感La较小, 忽略不计时, 可简化为,电动机机电时间常数(s),电动机传递系数,电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小时,电动机可作为测速发电机使用.,例 2-2,2-1-1建立系
3、统微分方程的方法,建立系统的物理模型；建立输入-输出量之间微分方程式联立每个部分的数学模型，消去中间变量，求出输入-输出之间的微分方程式。,2-1-2. 非线性微分方程的线性化,将非线性微分方程在一定的条件下转化为线性微分方程的方法,称非线性微分方程的线性化. 非线性微分方程能进行线性化的一个基本假设是变量偏离其预期工作点的偏差甚小,这种线性化通常称为小偏差线性化.,2-1-2. 非线性微分方程的线性化,将一个自变量的函数 y =f(x)在预期工作点处(x0, y0)展开,进行线性化.,设函数 y =f(x)在(x0, y0)点连续可微,在该点附近用泰勒级数展开,当增量(x-x0)较小时,略去
4、其高次幂项,令,线性化方程: , K是比例系数.,2-1-2. 非线性微分方程的线性化,将两个自变量的函数 y =f(x1, x2)在预期工作点处(x10, x20)展开,进行线性化.,设函数在(x10, x20)点连续可微,同样在该点附近用泰勒级数展开,当增量较小时,略去其高次幂项,令,线性化方程:,2-2 控制系统的复域数学模型,2-1、传递函数2-2、典型环节传递函数,1.传递函数的定义,定义系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比,用G(s)表示.信号系统中称系统函数.,线性定常系统微分方程,2. 传递函数的性质,性质 复变量s的有理真分式,系数均为实数,具有复变函数的所有性质.
5、传递函数与输入量的形式无关.,传递函数与微分方程有相通性, 相互转换. 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t).,求例2-2电枢控制直流电动机的传递函数G(s).,解: 令,举例,3. 传递函数的零点和极点,定义,G(s)的分母多项式之根构成系统的极点,分子多项式之根构成系统的零点,即 pj 是极点,zi 是零点.,称传递系数或根轨迹增益.,3. 传递函数的零点和极点,把极点和零点画在s平面上,即为系统的极点零点分布图,简称极零图。,其中用“X”表示极点，用“O”表示零点。,j,零点,极点,4 传递函数的极点和零点对输出的影响,传递函数的极点决定了系统自由运动的模态,例: 已知输入 r
6、(t) = e -t，系统函数,求系统零状态响应 c(t), 并标出自由分量和受迫分量.,解：,自由响应分量自由运动模态：,受迫响应分量：,因为G(s) 的极点为: s1= -2, s2= -3,4 传递函数的极点和零点对输出的影响,4 传递函数的极点和零点对输出的影响,传递函数的零点不形成自由运动的模态, 但影响各模态在响应中所占的比重, 因而影响响应曲线的形状.,阶跃响应,4 传递函数的极点和零点对输出的影响,零点距极点越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点越近，该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消,传递函数的极点和零点绘图,极点
7、和零点绘图,求系统的阶跃响应,求系统的阶跃响应,5. 典型环节及其传递函数,比例环节,特点：输入输出量成比例,无失真和时间延迟.实例：电子放大器,齿轮,电阻(电位器).,K 增益,惯性环节,T 时间常数,特点：含一个储能元件, 对突变的输入, 其输出不能立即复现, 输出无振荡.实例：RC网络, 直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节.,5. 典型环节及其传递函数,微分环节,理想微分一阶微分二阶微分,特点：输出量正比输入量变化的速度,能预示输入信号的变化趋势.实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数.,5. 典型环节及其传递函数,积分环节,特点：输出量与输入量的积分成正比例,当输入消失,输
8、出具有记忆功能.实例：电动机角速度与角度间的传递函数,模拟计算机中的积分器等.,5. 典型环节及其传递函数,纯时间延时环节,特点：输出量能准确复现输入量,但须延迟一固定的时间间隔.实例：管道压力、流量等物理量的控制.,延迟时间,2-3 控制系统的结构图与信号流图,1. 系统结构图的组成和绘制 2. 结构图的等效变换和简化 3. 信号流图的组成及性质4. 信号流图的绘制 5. 梅森增益公式6. 闭环系统的传递函数 .,控制系统的结构图(方块图)和信号流图都是描述系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示。,2-3 控制系统的结构图与信号流图,1. 系统结构图的组成和绘制,信号线 带有箭头的直线
9、, 箭头表示信号的流向, 在直线旁标记信号的时间函数或象函数.,表示输入到输出单向传输间的函数关系.包含四种基本单元:,分支点 （引出点或测量点） 表示信号测量或引出的位置, 同一位置引出的信号大小和性质完全一样.,1. 系统结构图的组成和绘制,比较点 （综合点或合成点） 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件. “+”表示相加, “-”表示相减, “+”号可省略不写.,方框 （或环节） 对信号进行的数学变换. 方框中写入元部件或系统的传递函数.,1. 系统结构图的组成和绘制,结构图的绘制 (1) 考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数, 并将它们用方框(块)表示.,(2)
10、根据各元部件的信号流向, 用信号线依次将各方框连接起来, 便可得到系统的结构图.,结构图也是系统数学模型的一种！,解：,拉氏变换得：,例：,画出RC电路的方块图.,解：,例：,画出RC网络的结构图.,考虑负载效应,例：,画出RC网络的结构图.,例：,画出RC网络(中间有隔离)的结构图.,解：,2. 结构图的等效变换和简化,结构图的简化原则,结构图的等效变换原则 变换前后各变量之间的传递函数保持不变. 结构图的基本连接方式 在控制系统中, 任何复杂系统主要由串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。,串联方框的简化（等效）,由几个子系统串联组成的复合系统。,时域,复频域,并联方框的简化（等效）,时域
11、,复频域,解：,串联方框的简化（等效）,串联方框的简化（等效）,并联方框的简化（等效）,并联方框的简化（等效）,反馈连接方框的简化（等效）,结构特点是输出量的一部分，返回到输入端与输入量进行比较，形成反馈。,G(s) 称为前向通路的系统函数；,H(s) 称为反馈通路的系统函数。,反馈连接方框的简化（等效）,闭环连接方框的简化,解：,闭环连接方框的简化,闭环连接方框的简化,反馈连接方框的简化,解：,反馈连接方框的简化,反馈连接方框的简化,比较点的移动,引出点的移动,结构框图化简举例,A先前移至B点,串联和并联,B后移至C点,结构框图化简举例,串联和并联,B后移至C点,反馈公式,结构框图化简举例,
12、串联和并联,B后移至C点,3. 信号流图的组成及性质,线性连续系统的信号流图是由点和有向线段组成的线图, 用来表示系统的输入输出关系, 是系统框图表示的一种简化形式。,信号流图的定义,3. 信号流图的组成及性质,流图中的术语定义,节点： 表示系统中变量或信号的点。传递函数：两个节点之间的增益。支路： 连接两个节点之间的定向线段。,3. 信号流图的组成及性质,流图中的术语定义,输入节点或源节点：只有输出支路的点, 它对 应的是自变量（即输入信号）.输出节点或阱节点：只有输入支路的点, 它对 应的是因变量（即输出信号）.,3. 信号流图的组成及性质,流图中的术语定义,回路: 通路的终点就是通路的起
13、点, 并且与任何 其他节点相交不多于一次. 环路增益: 环路中各支路传递函数的乘积.不接触环路: 两环路之间没有任何公共节点.,3. 信号流图的组成及性质,流图中的术语定义,前向通路: 从源点到阱点方向的通路上, 通过 任何节点不多于一次的全部路径. 前向通路增益: 前向通路中, 各支路传递函数 的乘积.,3. 信号流图的组成及性质,流图的性质,支路表示了一个信号与另一信号的函数关系, 信号只能沿着支路上的箭头方向通过.节点可以把所有输入支路的信号叠加, 并把 总和信号传送到所有输出支路.,3. 信号流图的组成及性质,流图的性质,具有输入和输出支路的混合节点，通过增加 一个具有单位传输的支路，
14、可以把它变成输 出节点来处理。,3. 信号流图的组成及性质,流图的性质,4. 给定系统, 信号流图形式并不是惟一的.流图转置以后, 其传递函数保持不变. 所谓转置就是把流图中各支路的信号传输方 向调转, 同时把输入输出节点对换。,4. 信号流图的绘制,由系统微分方程绘制信号流图,任何线性数学方程都可以用信号流图表示.对含有微分或积分的线性方程拉氏变换, 得到s的代数方程.给系统的每个变量指定一个节点, 按因果关系, 从左向右顺序排列.用表明增益的支路, 根据数学方程将各节点变量正确连接, 得到信号流图.,4. 信号流图的绘制,由系统结构图绘制信号流图,用小圆圈表示各变量对应的节点.在比较点之后
15、的引出点只需在比较点处设置一个节点便可. 例e, e2 点.在比较点之前的引出点需设置两个节点, 分别表示引出点和比较点. 例 e1 点.,4. 信号流图的绘制,由系统结构图绘制信号流图,5. 梅森(Mason)增益公式,梅森公式用于求系统的传递函数。,梅森公式的形式：, 流图的特征行列式.,pk由源节点到阱节点的第k条前向通路总增益.,n 源节点到阱节点的前向通路总数.,5. 梅森(Mason)增益公式,梅森公式的形式：,= 1 -（所有不同环路的增益之和） +（每两个互不接触环路增益乘积之和） -（每三个互不接触环路增益乘积之和） + ,k第k条前向通路特征行列式的余因子,它是 除去与第k条前向通路相接触的环路外, 余下的特征行列式.,例:利用梅森公式求图示系统的传递函数,解：,例: 利用梅森公式求图示系统的传递函数,解:找出环路,6. 闭环系统的传递函数,
