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构成施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)本征值问题(本征值的全体称为给定问题的“谱”)。,9.4 施图姆-刘维尔本征值问题,一、,例:,贝塞尔方程(本征值问题参阅P328),注意:,关于自然边界条件是否存在:,如端点a或b是k(x)的一阶零点,在该端点就存在自然边界条件.,共同条件:,相应有无限多个本征函数,二、施图姆-刘维尔本征值问题的性质:,证明,讨论:,对第一、第二类边界条件:,对第三类边界条件:,上式大于零,因为第一项,同理第二项,得,证明:,逐项积分,讨论(证明同上):,又,(1)具有连续一阶导数和逐段连续二阶导数 ;,证明:,当,正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要课题,关于归一化问题:,正交关系,一般定义:,正交关系:,复数本征函数族,模:,广义傅里叶级数及系数公式:,例:对,