重视常数“1”在解题中的作用

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1、2010年第9期 中学数学研究 45 重视常数“1”在解题中的作用 广东肇庆市广宁第一中学 (526300) 彭宝成 在解答一些数学问题时，若能抓住常数“1”的 特点，突出常数“1”的地位，往往可以达到意想不到 的效果下面就分类举例来说明常数“1”在解题中 的巧妙应用，以供大家参考 一、“1在对数大小比较的应用 对数函数是一类重要的函数模型，了解对数与 “1”在简化运算中的作用是必要的其中比较两个 对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若 底数不同，可运用换底公式化为同底数的对数，还要 注意底数与1的大小关系，步骤一般为：作商 变形判断(大于1或小于1) 例1(1)比较log 2与log2

2、3的大小；(2)若0 b1，Q=(1g0+lgb)，R：lgf )，则比较 二 、 ， Q与 的大小 分析：(1)当底数不同时，有时借助中间值“1” 作为桥梁比较大小；(2)有时通过作商、变形、判断 商与“1”的大小为目的 解：(1)因为log32log22 =1，所以log32Q 1g 0b 若按固有思维习惯，把注意力集中在“不等”关 系上，即使绞尽脑汁，也一无所获，转换思维角度，充 分发挥“1”的桥梁作用，使问题得到巧妙地解决 二、“1”在不等式中的巧妙运用 用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不 等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反 证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人

3、为我们 创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人 们掌握这些技巧是极为重要的但是，对大多数学习 不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等 变换中看到数学的本质，对他们来说更为重要的是 理解这些不等式的数学思想和背景所以，尽力使用 其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理 解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换 的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等 式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技 巧之中 既然用不等式的性质证明的技巧性太强，那么 不妨换个思路 不等式的证明从初中到高中都是令 学生头痛的一类数学问题不等式的证明题题型多 变，证明思路多样，技巧性较强，加之又没

4、有一劳永 逸、放之四海而皆准的程序可循，所以不等式的证明 是难点攻克难点的关键是熟练掌握不等式的性质 和基本不等式，并深刻理解和领会不等式证明中的 数学转化思想，如何有效提高解题教学的效率，应该 值得我们这些数学教师的深思但若能抓住常数 “1”的特点，往往可以达到意想不到的效果 侈0 2(1)已知a、b、cR，且0+b+c=1 求证：0 +b +c -=1 ab+bc+ca； (2)已知0、b、C为不等正数，且abc=1， 求证： + + ： + + 例3 已知。、b、cdR，且 +b=C+d=1， ac+bd1 求证：a、b、c、d中至少有一个是负数 分析：在反证法中，巧妙运用常数“1”的有

5、效变 换是证明本题的关键 证明：假设a、b、c,d都是非负数， n+b=c+d=1，(a+6)(c+d)=1 。ac+6d+6c+ad=1 0c+6d 这与ac+bd1矛盾 所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个是 负数 一道难题的成功解出，带给解题人无限的享受， 而一题多解则蕴藏着聪明人的智慧，及时捕捉题目 所透露出“1”的信息，突破思维定势，为难题巧证创 造条件，简单而又巧妙的解法，更让人体会到数学海 洋中挖掘不尽的美感 三、“1”在求值问题的关键作用 求值问题的关键是找出已知式与欲求式之间的 联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得 另外函数式的值，以备应用，同时也要注意变换

6、欲求 式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题 目的求值问题是在中学乃至高考中常见的一种题 型，一般通过解方程(组)，利用函数性质、代人法、 变换法等方法来解决，近几年悄然兴起了求值的一 类特殊题型，特别给值为“1”是函数求值的最重要 题型，这是求值问题中新崛起的一颗“明珠”，我们 不妨一起来欣赏在求值问题中“1”的转换作用，其 基本思想是沟通已知式和未知式之间的联系 ， + =1Y ， + = 例4 (1)已知 + ：1 求xy+砌的 【 z+yw：0 值 (2)已知( 一1) ( +2) =aoX +a1 + 口2 1O+口l1 +a12 求ao+a1+a2+a12的值 分析：(1)

7、这道题解法比较多，通常有三角法、 几何法、解析法和复数法等等；(2)通常用二项展开 式比较两边系数；但这些解法都比较繁，若用常数 “1”的代换来解则别开生面，既简捷又巧妙 解：(1)将已知条件中的 +Y =1及 + =1代人所求的解析式，得 + ccJ=( + ) y+( + )名 =xyz +xyw 十X2蜀+y2石( =(xyz +X2 )+( +y2zw) =xz(yz+ )+ (cJ( ( + ) =(yz+ )( +yw) =(yz+ (，)0=0 (2)令 =1得a0+al+a2+a12=(1 1)。(1+2) =0 例5 已知 0，Y0， +三=1求 +Y Y 的最小值 分析：此

8、题属于求条件最值( 与Y之问有一定 的约束关系)，解答关键是合理使用条件，如果从中 解出 或Y，再代人 +Y转化为一元函数的最值问 题，显然是比较复杂的但我们设法整体使用“1”的 条件，解法就简捷多了 2010年第9期 中学数学研究 47 解： 0，Y0， + =1 Y +，：f + 1( +，)：Y+ +10 、 Y， Y 6+10=16 当且仅当上=三，又 +三=1，即 =4，Y= Y Y 12时，上式等号成立 故当 ：4，Y=12时，( +Y) i ：16 巧解与通法并不对立，常规解法并非一定是通 法，但由于常规解法运算较繁，不便推广解决，巧妙 的解法却没有障碍，最便于解决一般的情形 四

9、、“1在三角恒等变换的妙用 三角恒等变换是三角的精华，三角变换的主要 目的在于“消除差异，化异为同”，而题目中经常出 现不同名的三角函数，这就需要变“名”，即化异名 函数为同名函数变换的依据是同角三角的关系式 和诱导公式，特殊值和特殊角的三角函数值互化，切 化弦、弦化切等实行各种转化，化简的结果要求：项 数尽量少，次数尽量低，函数的种类尽量少，能求值 的必须求函数值，数值结果也要化为最简形式，从而 达到问题解决的目的 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方 程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的 解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换 三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常

10、用 的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多 变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深 对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展 数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力 都大有益处妙用题中的常数“1”化简，其目的是更 简洁、更清楚地显示式中所含变量之间的关系，以便 于求解下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换 中常数“1”在解题中的妙用作初步的探讨研究 例6 已知 一_tan一0：1，( ，0为锐角)， 求证 一cot30：1 水址一 CSC COIO 分析：本题可采用反证法得0= ，从而达到证 明目的，其证明过程较繁这里我们将利用常数“1” 的代换，给出该题一个巧妙的证明

11、 证明：cot30：fsee30一tan30)cot30 cota SeCOtana， u Lu ：(secOcotO)31：CSC301 secacota CSC 故CSC30一co_t30：1 已知端+ 求证： + 分析：其证法有很多种，通常证法有：基本不等 式法、配方法、复数法等等这里我们利用常数“1” 的代换并结合柯西不等式给出巧妙证法 证明：由柯西不等式得 cos in sin4_O 0COS+ Sin)(c0s +sin ) 一 (sin 0+COS 0) =1 上式只能取等号，由柯西不等式等号成立的条 件得 sci。n 20c0 =学si ， 一COS20 一 1 COS B s

12、in 8 企 COS20 1 c0s 口一sin2fl一 COS =sin 0，sin =COS 0， 竹 sin20+ =sinZO+c0s 0 若注重“1”的等价转化，不但可以巧妙简捷地 解题，而且还能提高我们的思维水平，培养创新能力 及分析问题，解决问题的能力在解题中还有不少三 角函数值为“1”(如sin90。，tan45。，cosO。等)，不少 三角函数式中含有“1”(如sin OL+COS =1，SeC O 一tan =1，tanacoto=1，由cos2a 2cos 一1 变形为2cos Otcos2a=1等等)，正、余弦函数最大 值为“1”，正、余割函数的最小值为“1”等等 从上面的一些例子可以看出，解题变换时，常数 “1”有着特殊的意义和重要的作用，熟练地将“1” 进行恒等变形，充分发挥“1”的桥梁作用，应引起师 生的充分重视，运用得当，常常有事半功倍之效，将 使我们顺利地到达“胜利的彼岸”