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1、第一节、自然数和01.1定义（自然数的序数定义） 集合N的元素叫做自然数。如果的元素间有一个基本关系“后继”（用“”表示），并满足:1、 存在一个元素 ， 2、 每一个自然数a都存在唯一个后继 。3、4、 。,设a,b为两个自然数，若 =b , 则称a为b的生成元。注1、自然数中除1以外的任意数都有且仅有一个生成元。注2、对于N中任意元a,都有,a。,a,1.2 自然数运算 1、加法：自然数的加法是一种对应“+”，对任何a、b，有唯一确定的a+b， 与之对应，并且 2、乘法：自然数的乘法是一种对应关系“”，由于它，对任何a、b ，有唯一确定的a b ，并且。,运算性质,定理1 自然数的加法满足
2、结合律和交换律。 即定理2（乘法结合律） 定理3（乘法交换律）,定理4 自然数的乘法对加法满足 分配律。,1.3自然数的顺序,引理1 引理2 对任意自然数 有 。 （1） (2) (3),定义 使得 ， 则称 。定义：若集合A关于顺序 “ ” 满足（1）任意a，b A ， ab , a=b , ab , bc , 则ac .则称集合A为有序集。 注：自然数N关于上述定义的顺序“”构成有序集。,1.4 自然数的性质,第三节 从自然数系到整数环一、数系扩展原则：A是B的真子集，即A B。在新数上建立各种运算。A的元间所定义的运算关系，在B的元间也有相应的定义，且B的元间的这些关系和运算对B中的A的
3、元来说与原定义一致；这保证老结构和新结构彼此相容。B的结构和A的结构可能有本质不同。某种运算在A中不是总能实施，在B中却总能实施。在A的具有上述三个性质所有的扩展中，在同构意义下，B是唯一最小扩展。,二、整数集的定义,上述定义的集合Z在所定义加法与乘法运算下构成一个环，称为整数环。注：1、 Z包含自然数N. 2、环Z是包含自然数N的最小环. 3、若R也是包含自然数N的最小环， 则R与Z同构。,三、整数集的性质,定义顺序：1、整数环是一个有序环.有序环的定义：一个环称为有序环，如果它的元素之间定义了一个顺序“”满足（1）若a不为0,则a0或者-a0,两者恰有一个成立。（2）a0,b0,则a+b0
4、,ab0.,2、整数环的离散性：任意两个相邻的整数a与a+1之间不存在整数，即不存在整数b使a0必存在自然数n，使得nba。4、整数的良序性：任何非空有上界（或下届）的整数集的子集A都含有一个最大数（最小数）。,第三节、有理数域,上述定义的集合Q在所定义加法与乘法运算下构成一个域，称为有理数域。注：1、 Q包含整数环. 2、域Q是包含整数环Z的最小域. 3、若R也是包含整数环Z的最小域， 则R与Q同构。,有理数域的性质,定义Q中正元:Q中顺序“”：1、有理数域是一个有序域.2、有理数域是稠密的：即任意两个有理数a与b 之间都存在有理数。即对任意a、bQ ,a0必存在自然数n，使得nba。,4、
5、n进有理数 设n是给定的自然数，把形如称为n进有理数,记为 。定理1 关于Q中加、乘运算构成一个环。定理2 稠密,且 在Q中稠密。,第四节 实数系,一、不是有理数的数的发现二、有理数的局限 在Q中有理数列极限不一定存在。三、实数的定义 1、无穷小数说 2、柯西基本列定义（康托尔）,四、实数的性质定理1 实数系是阿基米德有序域。定理2（稠密性）任意两个实数a与b 之间都存在实数。即对任意a bR ,ab都存在实数c,使得acb 。定理3 实数系是完备的。即R中每一个基本列都收敛。,第五节 复数系,一、实数的局限二、复数集的定义 C=(a,b)| a、bR加法运算 (a,b)+(c,d)=(a+c
6、,b+d)乘法运算 (a,b) (c,d)=(ac-bd,ad+bc),三、复数的性质,1、C存在复数 ，使得 . 记为i=(0,1).2 、复数域不是有序域。 但复数集可以定义顺序使其构成有序集。,第四章 函 数,第一节、函数概念的三种定义函数概念的定义定义1 有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量。另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。（19世纪法国数学家柯西）,定义2 在某变化过程中，有两个变量x和y。如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把
7、y称为x的函数；称x为自变量。（19世纪德国数学家黎曼和狄里赫勒分别给出）,定义3 设A 、B是两个集合，如果按照某种对应关系，使的A中任何一个元素在B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为从集合A到集合B的函数。（19世纪70年代德国数学家康托）定义4 从集合到集合的映射称为从集合到集合的函数，简称为函数。,函数概念的三种定义,函数的变量说定义一般地，设在一个变化过程中有两个变量，如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么就说是自变量，是因变量，也称是的函数。这种陈述性的定义，是函数的传统定义。它建立在变量的基础上，强调了变化。而描述变化，正是函数最重要的特征。函数定义的变量说，是对
8、函数的一个宏观的、整体的把握。,第三节 初等函数,一、初等函数的定义 中学所学习的主要初等函数有：常量函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等，称为基本初等函数。定义（初等函数） 由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数叫做初等函数。,初等函数的判定：应用定义如注：基本初等函数在其定义域上是连续 的 ； 初等函数在其定义域上不一 定连续 ；但 在其定义域包含的区间内是连续的 。 例（1） （2）,例,都不是初等函数,定义（初等代数函数） 如果一个函数是用基本初等函数y=c,y=x经过有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所得到的初等函数，则叫做初等
9、代数函数。不是初等代数函数的初等函数叫做初等超越函数。例,二、初等函数的分类,三、初等函数的几个问题,1、有理数幂的定义,2、无理数幂的定义与运算,3、幂函数的值域,定理：如果a是不等于1的正实数，那么对任意给定的正实数N,都存在唯一的实数b,使得注：幂函数的值域为,四、初等超越函数的超越性,定义 如果函数 满足代数方程其中 是不全为零的多项式。则称 是代数函数，否则称为超越函数。,定理1：指数函数 是超越函数。 定理2: 对数函数 是超越函数。 定理3:无理数幂函数y= 是超越函数。 定理4:三角函数是超越函数。,五 初等函数的性质,1、,奇偶性的判断,2、函数的单调性,单调性判定,4、周期
10、性,1）定义: 设f(x)是定义在数集M上的函数，若存在非零常数T0,对任意x M，有x+T,x-T M,且f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)是周期函数，T称为f(x)的一个周期。 注:若周期函数f(x)存在最小正周期t，则f(x)所有周期构成的集合为,2) 周期函数最小正周期的存在性,定理1、若R上周期函数f(x)不恒为常数，且f(x)是连续的，则f(X)必有最小正周期。,3、周期函数的性质,第四节 用初等变换作出函数图像,一、平移变换例 作出函数 的图像,二、对称变换例,三、放缩变换,例 作出 的图像,第五节 基本初等函数的公理化定义,一、引理二、指数函数的公理化定义,对数函数的公理
11、化定义 设 满足,第三 章 方程,第一节 方程的定义 方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系。好处在于它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数；陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系；方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。,一、方程的定义： 形如 的等式叫做方程，其中 是两个解析式，且至少有一个不是常函数。 定义域的交集称为方程的定义域。,二、方程的分类,第二节、一元方程的同解性,定义1 如果方程 的任何一个解都是方程 的解，并且方程的任何一个解也都是方程的解，那么方程和称为同解方程。两个无解方程认为是同解方程。,第四节、整式方程及其解法,二项方程和三项方程的解法 形如 的方程叫做二项方程，解此方程就是求A的n次方根 例3 解方程,形如 的方程叫做三项方程 .例 解方程,
