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1、1对 称 性 在 高 中 物 理 教 学 中 的 初 步 研 究温 岭 中 学 物 理 组 江 志 云温 中 实 验 初 中 黄 丽 贞摘要：对称性是重要的科学思维方法之一。在中学物理教学中，经常出现一些运用对称性灵活解答的试题。因此作为一种方法，在平时的教学及辅导中应向学生介绍对称性的思想方法，利用对称性引导启发学生理解概念、掌握定律、开拓思路、启迪智慧、培养分析问题、解决问题的能力，从而更有效地激发学生学习中的灵感，树立学好物理学的信心。对称性的依据，在于物理量在分布上具有对称性、研究对象在结构上具有对称性、运动过程在空间和时间上具有对称性等。对称性的实质：我们把事物的一种情况变化到另一种
2、情况叫做变换（操作） 。如果一个变换使事物的情况没有变化，或者说事物的情况在此变换下保持不变，我们就说这个事物对于这一变换是对称的。这个变换称为事物的对称变换。关键词：对称性弹性碰撞 镜面对称 、物理学中的对称性2物理学中的对称性是比具体事物的对称性更深层次的对称。为了理解这种更深层次的对称，首先需要引入一些基本概念。德国数学家魏尔(H.Weyl)关于对称性的定义如下: 体系(系统) - 讨论的对象。 状态 - 对体系（系统）的描述。系统可处在不同的状态；不同的状态可“等价”，也可“不等价”。 操作(变换) - 把系统从一个状态变到另一个状态。若变换前后系统状态相同，则称两状态“等价”或“不变
3、”。 对称操作 - 如果一个操作能使某体系从一个状态变换到另一个与之等价的状态，即体系的状态在此操作下保持不变，则该体系对这一操作对称，这一操作称为该体系的一个对称操作。 对称群 -体系的所有对称操作的集合。最常见的对称操作是时空操作。空间操作有平移、转动、镜象反射、空间反演、标度变换（尺度放大或缩小）等；时间操作有平移、时间反演等。除时空操作外，物理学中还涉及许多其它的对称操作。而研究对象结构形体上的对称性在物理学的研究中是最先也是被我们最常用到的。形体上的对称性常常使得我们3可以不必精确地去求解就可以获得一些知识，使问题得以简化，甚至使得某些颇难解的问题迎刃而解。例如一个无阻力的单摆摆动起
4、来，其左右是对称的，不必求解就可以知道，向左边摆动的高度与右边摆边的高度一定是相等的，从中间平衡位置向左摆到最高点的时间一定等于从中间平衡位置向右摆到最高点的时间，平衡位置两边等高位置处摆球的速度和加速度的大小必定是相等的，等等。再例如一张无限大平面方格子的导体网络，方格子每一边的电阻是 r，在这张方格子网络的中间相邻格点连出两条导线，问这两条导线之间的等效电阻是多少？这个问题看上去似乎很难求解，它涉及到无穷多个回路和无穷多个节点，要用直流电路中普遍的基尔霍夫方程组将得到无穷多个方程，难以求解。然而这一无穷的方格子网络具有形体上的对称性，利用对称性分析，求解变得相当简单。设想用一根导线连接到一
5、个格点，通以电 I，电流从网络的边缘流出，由于从该格点向四边流过的电流具有对称性，因此流过与该可知点连接的每一边的电流必定是 I/4。再设想电流 I 从网络的边缘流入，再从网络中心的一个格点上连接的一条导线从上流出，根据同样的对称性分析，流过与该格点连接的每一边的电流也必定是 I/4。我们要求解的情形正是这两种情形的叠加，电流 I 从连接到一个格点的导线流入，从连到相邻格点的导线流出，而在网络边缘，两种情形流出4和流入的电流相互抵消。结果在连接导线的两相邻格点之间的那条边上通过的电流是上述两种情形的叠加，即为I/2，这条边的电阻是 r，这意味剩下的电流 I/2 通过其它边，它相应的电阻应是 r
6、，换句话说，从相邻格点来看，这一无穷方格子网络的等效电阻是两个阻值为 r 的并联，其等效电阻为 r/2。由此可以看出，对称性分析在物理学中非常有用，一旦明确了具有对称性，问题常常变得简单可解。另外，从性质来分物理学研究的对称性有两类，一类是某个系统或某件具体事物的对称性，另一类就是物理规律的对称性。1905 年，爱因斯坦发表了一篇具有划时代意义的论文，建立了狭义相对论，论文的题目是“论动体的电动力学” 。论文中，爱因斯坦提出相对性原理和光速不变原理，在此基础上导出了洛伦兹变换，得到一系列不同于牛顿力学的重要结论；揭示了物理规律上的一种新的对称性。这一新的对称性就是物理定律的洛伦兹变换不变性，即
7、物理定律必须具有洛伦兹变换下的不变性，也就是说从不同惯性系来看物理定律的形式保持不变。从内容上说，它无非就是相对性原理内容的重复表述，似乎一点也不起眼；然而从探索物理基本定律的高度来看，洛伦兹不变性实在是对物理定律的形式所加的一条强有力的限制，物理定律的形式必须受到洛伦兹变换不变性的制约。所以对称性是5制约物理规律的利器，爱因斯坦把对称性推到物理基础研究的主角地位。比如，从力学中的独立性引出相依性，根据电与磁的对称有同号电荷相斥、异号电荷相吸而引导出同性磁极相斥、异性磁极相吸；从电学中的高斯方程引出磁学中高斯方程等；从光的反射定律引出折射定射；从时间均匀性引出空间均匀性；以及从核裂变到核聚变等
8、等。根据对称性等价于守恒的概念，又可以从对称性出发导出有关的守恒定律，过去研究微观粒子的运动性质时，先求解薛定谔方程，得到波函数的具体形式，这样微观粒子的运动就己知了，但此项工作复杂艰难。现在可以从薛定谔方程式所包含的时空对称性出发，不必去解薛定谔方程式，就可以弄清微观粒子运动的许多特征，引出很多有用的知识，如量子体系的能量守恒、动量守恒、角动量守恒等等。在辅导或教学中，如果我们能抓住这些对称性及其特征，对于阐明物理概念与规律是不无好处的。对称性在高中物理教学中的应用本文将从三个方面来研究对称和对称性相关问题。一、具体事件的对称性；二、物理规律的对称；三、一些非对称性问题转化成对称性问题来巧妙
9、解决。下面我们结合具体实例来分析体会对称性思维火花的绚丽。一、具体事件的对称性6例 1如图.0 所示，在水平面上，有一质量为 m 的物体，在水平拉力作用下，由静止开始移动一段距离后，到达一斜面底端，这时撤去外力物体冲上斜面，上滑的最大距离和在水平面上移动的距离相等。然后物体又沿斜面下滑，恰好停在水平面上的出发点。已知斜面倾角为 30，物体与斜面及水平面的动摩擦因数相同，求物体所受的水平拉力。这是一个关于运动对称问题，物体 m在运动中经历了四个不同的匀变速运动，在 F 和 f 作用下由 AB，在mgsin +mg cos 作用下由 BC。由于 AB=BC，B 点是对称位置，在这两段运动中，它们具
10、有加速度对称，路程对称，时间对称，速度（图线）对称等；同理，物体由 C点滑到 B 点与由 B 点滑到 A 点也具有对称关系。抓住这些对称关系不难得到图.1 的速度图线。根据加速度对称关系有： )1(cossinmggF2m解得 gFsin2 （图.0）mA BCvt（图.1）07例如图 2.0,一汽车自车站 A 沿平直公路 L 以速度10m/s 行驶。在距车站 100m,距公路 60m 处的 B 点处的甲,当汽车从 A 点出发时向公路跑去试图追上汽车。求他追上汽车的最慢速度？ 图2.0析与解：对于这种问题，直接求解并不容易。但是利用这一过程具有时间反演对称性,我们可以轻松解答。假设汽车与甲在
11、D 点相遇后,汽车以原速度开回车站,而甲同时跑回直线 AB。分析甲如何跑所需速度最慢。图2.1 由于汽车速度一定,AD 距离一定,因此汽车回到车站的时间一定,设为 t,甲回到直线 AB 的时间也为 t。于是,甲的最慢速度就是甲所跑路程最短时所需的速度。而甲所跑的最短路程为 D 到直线 AB 的距离 DE（见图 2.1）,可见,甲若8需以最慢速度跑回 B 点,则甲所跑方向必为直线 AB 过 B 的垂线 AF。由于 ABF 的面积 S= 1/2 AF.BC =1/2 AB.BF,所以 BF/AF=BC/AB=0.6。由于甲由 F 到 B 的时间与汽车由 F到 A 的时间相等,故甲的速度=0.610
12、m/s=6m/s。反过来,甲若需以最慢速度跑到公路追上汽车,则甲必须沿 BF 方向以速度 6m/s 跑。问题迎刃而解。例 3如图 3.0 所示，系统不计一切摩擦，A 点固定不动，OA 长为 h, B 环质量不计且可自由滑动，小珠子质量为 m，绳子长为 L，小珠子可在绳上自由滑动，最大张力为 ，如MT果珠子在未到最低点时绳子已断，试求这一点的坐标？析与解：此题所给条件极为简单，看似容易，但又难于下手。而我们在仔细分析后可发现对于 B 环的研究是本题的突破口，可是 B 环的运动是怎样的呢？对于质量可以忽略的 B 环，在珠子下落的过程中，环所受合力必定处处为 0，时时为 0，也就是说它必定同步跟上，
13、且珠子所在点C 到 B 环连线必定垂直于杆 OB。9解：建立坐标系如图 3.1,其中曲线是小珠的运动轨迹， 图 3.1 图 3.2由几何关系可知有： yhlxhLy)(2)(222在 方向上有：n 2cossvmgT解到这儿又碰上了新的难题，对于这个曲率半径我们如何求呢？当然我们经分析后得出小珠的运动轨迹为抛物线，可用导数的方法求解这个曲率半径，不过对于求导还未掌握的考生那该怎么办呢？这时利用对称性我们就可以不需要经求导而得到曲率半径。解答如下：首先利用对称将小10珠的轨迹还原完整见图 3.2由图 3.2 可得方程：20220211)(cos:gthvLmvyhmgn由以上方程联立就可以解答此
14、点坐标。例 4如图 4.0 所示，质量为 M，半径为 R 的铁环，放在光滑平面上，另有质量为 m 的小铁球，以初速 0v从 ,o出发，而 ,o=R/2,则经过多少时间小球将与铁环发生第N 次弹性碰撞？分析：当小球与铁环相碰后，铁环也将以一定的速度运动，而且每一次相碰前、相碰后两者的对地速度都不一样，这样的话，我们若是采用常规思路，所得过程和解答将会烦琐困难。但是我们考虑到弹性碰撞中， 有前后两物体相对速度大小不变、方向相反的结论。证明如下：11设两物体的质量分别为 1m、 2，相碰前的速度为 10v、20v，相碰后的速度为 1v、 2；因为在碰撞过程中无机械能的损失，因而有：210102 21
15、212100 2121)()(mvvvvvmm此时 相对于 的度为：1m)( )()(201102 21010vvmvv利用这种镜面对称，我们再来解这道题，当小球与铁环在 A 点相撞时，因小球和铁环相互任用力在 A 点法线方向，即 AO 方向，而 不在 AO 方向，故属于弹性斜碰，此时0v的相对速度指沿作用力方向的相对速度，即沿 AO 方向相对速度大小不变。解：由几何关系易知 ，将小球在 A 点速度分解：300021sincovvon便是两者在 OA 方向的相对速度，碰后相对速度大小 ，onv onv将反向沿 AO 方向，而 因不受力将不变。结果以圆环为参ov照，碰后小球的合速度沿 AB 方向，AB 方向满足：12OAB即小球与铁环弹性碰撞时，在碰撞点小球的反射角等于入射角，于是 602AOB这样一来，小球在 B 点和圆环碰后，仍满足反射角等于入射角，碰后将沿 BC 方向运动，在 C 点碰后情况相同，结果，小球以圆环为参照，将在一个等边三角形 ABC 的三边上以初速 运动，从出发开始，经过：0v012/vlt第一次相碰，式中 为三角形边长：lRl3cos2由此可得第 1 次、第 2 次、第 N 次碰撞时刻为：)12(3)12(3;20 000101NRvt vRvltvtn解到这儿，我们发现铁环和小球的
