第五章 二次型,§5.1 二次型的矩阵表示,§5.2 标准形,§5.3 唯一性,§5.4 正定二次型,章小结与习题,§5.3 唯一性,一、复数域上的二次型的规范形,二、实数域上的二次型的规范形,三、小结,§5.3 唯一性,§5.3 唯一性,问题的产生：,1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化,线性替换有关.,如：二次型,作非退化线性替换,得标准形,得标准形,§5.3 唯一性,2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关.,而秩(D) 等于D 的主对角线上不为零的元素的个数.,§5.3 唯一性,3. 问题：如何在一般数域P上，进一步“规范” 平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题）,定义二次型 的秩等于矩阵A的秩，即秩 f ＝秩（A）.,§5.3 唯一性,、复数域上的二次型的规范形,复二次型的规范形的定义,标准形,再作非退化线性替换,设复二次型,这里,§5.3 唯一性,,,,则,§5.3 唯一性,,,,注意： ①复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种. ②复二次型的规范形是唯一的，由秩 f 确定.,2.（定理3）任一复二次型经过适当的非退化线性替换可化 为规范形，且规范形唯一.,推论1.任一复对称矩阵A合同于对角矩阵,推论2.两个复对称矩阵A、B合同,§5.3 唯一性,二、实数域上的二次型的规范形,,,再作非退化线性替换,实二次型的规范形的定义,§5.3 唯一性,,,,则,称之为实二次型 的规范形.,§5.3 唯一性,① 实二次型的规范形中平方项的系数只有1，－1，0.,② 实二次型的规范形中平方项的系数中 1 的个数与－1的个数之和 = 秩 = 秩(A)是唯一确定的.,③ 规范形是唯一的.,注意,§5.3 唯一性,定理4 任一实二次型可经过适当的非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯一.,证明：只证唯一性.,2、惯性定理,化成规范形,（1）,§5.3 唯一性,,,只需证,（2）,用反证法，设,由(1)、(2)，有,（3）,§5.3 唯一性,,（4）,则G可逆，且有,考虑齐次线性方程组,（5）,§5.3 唯一性,方程组（5）中未知量的个数为n，方程的个数为,所以（5）有非零解.,,§5.3 唯一性,矛盾. 所以，,得,§5.3 唯一性,定义,中正平方项的个数 p 称为 的正惯性指数；,§5.3 唯一性,推论1、任一实对称矩阵A合同于一个形式为,指数.,的对角矩阵 .,§5.3 唯一性,推论3、实对称矩阵A、B合同,,指数相等.,§5.3 唯一性,,使,又 D´=D, 且,使,即,§5.3 唯一性,则 r 的可能取值是0，1，2，,…，n，,的正惯性,即有,证：任取实n元二次型,设,而对任意给定的,§5.3 唯一性,§5.3 唯一性,三、小结,基本概念,这里，r ＝秩( f ).,2、 n元实二次型 的规范形,这里， ＝秩( f )，p 称为 f 的正惯性指数；,称为 f 的负惯性指数； 称为 符号差.,1、n元复二次型 的规范形,§5.3 唯一性,基本结论,定理3 任意一个复系数二次型，经过一适当的,非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.,即，任一复对称矩阵A合同于一个对角矩阵,推论 两个复对称矩阵A、B合同,§5.3 唯一性,定理4 任意一个实二次型，经过一适当的非退化,线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.,即，任一实对称矩阵A合同于一个对角矩阵,其中 的个数等于矩阵Ａ的秩.,§5.3 唯一性,推论 两个实对称矩阵A、B合同的充要条件是,正惯性指数相等.,且二次型 与 的,。