《北京林业大学线性代数期末试题04-10》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京林业大学线性代数期末试题04-10（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1北京林业大学 2004-2005 学年第一学期考试试卷解答一、填空题(每空 3 分,共 30 分)1、设 都是 5 阶矩阵,且 ,则BA, 2,31BAA322、 _4 4,0,0, 的 夹 角与则设 向 量 R3、二次型 对应的矩阵为 .3212321321),( xxxf 32104、若二次型 正定，则 的取值范围是3231212321321 44),( xxxxf .5、设 ， ， ， ， ， ，2()Tab1TA2T20I22BAI12OA则 = 2 ； = 3 ； = 0 ； =12AOB()r()rBA10-32二、 （8 分）计算 阶行列式nxaDx 解： (1)naax 2=
2、(1)xna0axx 1()nnax三、 （8 分）解矩阵方程求130253412X?X解:令 ,CBA则 215.03,213,15.23.1 X四、 （10分）求a,b为何值时，方程组 有唯一解、无解或有无穷多解？123)(43143axxb在有解时，求其通解 110023101231,1 一一abab无解,ab，无穷多解.1, 1200一xk五、 （8 分）求向量组 的一个TTTT 7,654,654,3,543,432,12 极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.3解： 1231241234025673极 大 无 关 组 ， ， 且 ，六、 （10 分） 分 ）下 的
3、 坐 标 。 （在 基） 求 向 量（ 分 ）； （的 过 渡 矩 阵 为 正 交 矩 阵到 基） 证 明 基（ 分 ）的 一 组 标 准 正 交 基 ； （也 是） 证 明（ 的 一 组 标 准 正 交 基 ， 且是设 3,23,2 4,1 1,33, 321312131 321212231 R证明： 是 的一个标准正交基，所以有：一00,),),12,11一ij ijij ijij(2)、过渡矩 因为323213一AI3322133TA所以 为正交矩阵(3)、因为 在基 下的坐标是 ，所以 下的坐标是123, ,21Tx123,一111 73223 3123 TAyAx4七、 （12 分）
4、设实对称矩阵 ，问 是否能与对角阵相似？若能与对角阵相11AA似，求对角阵 及可逆阵 ，使得 ，并求 （ 为正整数）.P1k解： 3(2)IA的特征值为 。1,对应的特征向量为12123,0,1,0,1,TT对应的特征向量为4因为 有四个线性无关的特征向量，所以 可以对角化。AA令 ，则 = ，110P12P412, kIA为 偶 数， 为 奇 数八、 （10 分）用非退化线性变换将二次型 化3231212321321 4),( xxxxf 为标准型.解： ， ， .12A)5(2AI 5,321有基础解系 ， ，正交化、单位化得0)(XI TX0,1TX,02, ；T121,62有基础解系
5、，取 。0)5(XAI TX1,3 T1,3令 ，X=TY，则 .,321T 2321321 5),( yAXxfT九、 （6 分）设实对称矩阵 和 是相似矩阵，证明：存在正交矩阵 ，使得 .AB1TAB证：设 为 的特征值，因为 ，所以 和 有相同的特征值，因此 的特征值12,n B5也是 ，又因为 为实对称矩阵，故存在正交矩阵 ，使得12,n ,AB12,T12(,)nTAdiag12,B令 ，则 为正交矩阵，且 。12T1TAB附：各章试题分值所占比例Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 Ch5 Ch6 16 分 18 分 18 分 16 分 16 分 16 分北京林业大学2006 2007
6、学年第 2 学期试卷(A)解答试卷名称： 线性代数 课程所在院系： 理学院 考试班级： 学号： 姓名： 成绩： 一、填空题(将正确答案填在题中横线上 )（每空 3 分，共计 30 分）1、 ,23),(5,1) 1 k则 时 ， 向 量 与 正 交2设 (2 ， -1，5)，(-1,1,1) ，则 ，32(06)一( 8-5 13)一3、如果一个向量组线性无关， 那么它的任意一个部分组线性_无_关。4、设三阶可逆矩阵 的特征值是 、 、 ， 则 的特征值为 1、 、 ，且A132A121A25、设 A 是 3 阶方阵，且 ，则 = 25 56、设 , 则 等 于 3042A131027、设三阶
7、方阵 , 其 中 均是三维列向量1212,B,12, 则1,3A5A8、设矩阵 , , , ，021P2012031QBPAQ则 的秩等于_3_。B6二、计算行列式 (本大题 8 分)11D4132 100: 82r解三、解答题(本大题 6 分)取何值时，矩阵 的秩是 2.a23653014189Aa236523653:014 014189014607a a解 7,2aA时 矩 阵 的 秩 为四、解答题(本大题 10 分)123434(,(1,),(,51),(,531),设求 向 量 组 的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 并 将 其 余 的 向 量 用 它 线 性 表 示 .2 025
8、06902312814-解 :-2 312412, ,3是 一 个 极 大 线 性 无 关 组五、解答题(本题 8 分 )求齐次线性方程组 的一个基础解系.123451234505xx解：对系数矩阵作初等变换： 1210857301345 03534A7得同解方程组 , 取13452875xx34510,x得一个基础解系： 123(,0),(,01,)(7,401)aaa六、解答题(本题 10 分)当 k 取何值时, 方程组 有解, 并求出此时的通解.156453321xk解：2 1(,)10346 2kAbk当 时, 方程组有解且有无穷多解k此时 ，1029(,)325546b01591kX
9、七、证明题(本题 6 分 )120, ,.AIAnIAIAI 若 其 中 是 阶 方 阵 是 阶 单 位 矩 阵 ,证 明 可 逆 并 求2 1:4,()3,(),()(3)I证 明 可 逆 且八、证明题( 本题 8 分 ).000321 332231211 nnnaaDn一一证明： 根据 得 ijjia12112n12 2nn .121n2n()nnaaD Da 所以当 n 为奇数时 得 .D08九 、解答题(本题 14 分)设 ， 2103A（1）求 的特征值和特征向量（2）求正交矩阵 ， 使 为对角阵， 并写出对角阵。TA解：（1） 的 特 征 值 为 , 123 3当 时， , 101
10、0E对 应 于 的 特 征 的 向 量 为 1 10kk1bg当 时 , , 230EA对 应 于 的 特 征 向 量 为 ， , 2 x210LNMOQP3（2）将 单 位 化x123, , 10x210x36令 , 则 是 正 交 阵， 且 210TT13TA9北京林业大学 2005-2006 学年第一学期考试试卷 B试卷名称： 线性代数 课程所在院系： 考试班级 学号 姓名 成绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九得分阅卷人一、填空题(每空 3 分,共 24 分)1、 已知 ,则 2AIO1(IA答案： 2、 ,已知矩阵 A 的秩 r(A)=2,则 124031x设 x答案： 38
11、3、设 是可逆矩阵 的一个特征值,则矩阵 有一个特征值等于 2A123A答案： 44、 从 的基 到基 的过渡矩阵为。2R,1,02121,1答案： 35、 在基 ， ， 下的坐标是_。(2,0)0,1()1,(2)1,0(3答案： 16、 设 为 阶矩阵，若 ，则 必有一特征值为_.An|5|IA答案： 57、实对称阵 的所有特征值为 ，则对应二次型 的标准形为1, 23AXxfT),(32110_。答案： 2213fyy8、 二次型 的规范形是_。22xx答案： 1fy二、 （10 分）计算 阶行列式n23.01.123.0()nDn答案：162103!0i nDr 三、 （8 分）解矩阵方程求12313254X X答案：令131,20533ABC则 1 121.5.,420X四、 （10 分）求向量组 1,0,01,2 ,064,23354 321 的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。答案： 1 2013242030136140一个极大线性无关组为 4,.11315122,3五、 （10 分）求常数 值，使方程组k4231 2xxkk答案： 140,.Akk一无解1, 05124238k TTTkxk 1,30,4:,:0,4041216,
