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1、关于黎曼映射定理Ashot Vagharshakyan美国国家科学院数学研究所，Bagramian 24-b，Yerevan ，Armenia.电子邮件地址: 摘要：在这篇论文里对著名的黎曼映射定理我将给出新的证明。我所使用的建议性的证明方法适用对黎曼映射定理在三维情况下近似的证明。关键词：拟保角映射，黎曼定理1 介绍根据刘维尔定理，参见2, p. 130,在三维情况下，只有等距，伸缩，逆变换的叠加是保角的。在黎曼映射定理模型中，引入一组拟保角映射。这组映射范围更广，然而没有例如在二维情况下的保角映射的自然模型。在这篇论文中我将引入一组新的映射，名为弱保角映射，进而得到更为普遍的黎曼定理的一般
2、形式。这篇论文主要结论的证明也适用于二维情况。实际上，我给出的黎曼经典定理的证明将不会用到复杂的分析方法。这就允许我们在三维情况下证明一个相似的定理。2 几类映射对任意矩阵 设特征值为 ，则设 为连续可微映射。则雅可比矩阵设 得到定义 1 若对于每一点 ，存在一个数 ，使得 则对一个连续可微一对一映射 是保角的，其中 且 。引理 1 雅可比矩阵 ， ， 是连续可微映射。当且仅当 ，则 是保角的。证明 设矩阵 G 的特征值 是非负的。由引理得，仅当所有特征值相等，如时,等式成立。例 逆变换，点 映射入 ，使得则得满足引理 1 的条件，因此这个映射是保角的。定义 2 拟保角映射是连续可微同胚，对有
3、球面映射入椭球面主对角线斜率为对所有点 是均匀有界的。在这篇论文中我将引入一组新的映射，是保角映射的一般形式，名为弱保角映射，进而得到更为普遍的黎曼定理的一般形式。定义 3 弱保角映射是连续可微同胚，对有球面映射入椭球面主对角线斜率为对所有点 呈几何级数。引理 2 雅可比矩阵 ， ， 是连续可微映射。当且仅当是保角的。证明 矩阵 的一系列特征值，可写为因此经过简单变换后，我们得到这个式子的等价形式为这个结果说明矩阵 呈几何级数。3 在 上的格林函数在这部分我将引入格林函数并证明它的部分性质定义 4 设 属于 ， 为定义域为 的格林函数，如果它满足如下条件1 是左连续的，且2 对已知某点 有调和
4、函数 ，写作 3 设 为定义域为 的任意一调和函数，且满足条件在三维条件下，如果 ，替换第二个条件同理可定义格林函数为如下形式已知 的边界是正向的，则得到格林函数的特殊形式，参见 ，特别的，当时是单连通的，得到格林函数。取任意一点 ，对任意数 t, ，记作 对任意属于 的值 是连通的，格林函数为 。引理 3 是调和函数对任意点 有证明 对任意 和 ，有所以当 时趋于极值，得证。注 在 情况下这个近似结果同样适用。定理 1 区域 是在 上单连通区域为 的格林函数证明 设 ， ，其中 区域 是连通的。对足够小的数 满足对于开集 集合 A 由偶数分量组成。然而，在函数 的邻域中，我们能找到一点所以为
5、 局部极值，与变量调和函数 矛盾。而且，集合 A 不只包含两个分量。如果包含两个分量 边界是平滑的。根据引理 1，得所以区域 A 至少含有 4 个连通分量。这说明开集 由两个以上连通分量组成。因为这个区域是单连通区域，因此其中有一个分量是有界的，完全包含于 。显然函数是常量函数，等价于 。与已知矛盾。因此定理 1， “单连通”条件，是必要条件。实际上，对于区域 定理1 是无效的。4 黎曼定理的新证明 这部分我将在保角映射的基础上给出著名的黎曼定理的新的证明。在证明中我不会使用复杂的分析方法。设 定理 2 集合 属于 。当 时，存在一对一保角映射 其中 D 为单位圆盘 。证明 设固定一点 ， 为
6、定义域为 的格林函数，在 上，考虑如下动力系统解方程得在每点 的邻域里，方程（1）过点 有一特解，参见 。在点 的邻域里，方程（1）可改写为如下形式解，得是范数为一的向量。对每点 ，能找到一个特殊向量 ，使得过点 方程有一个解 ，同时点 的邻域满足如下条件定义一个映射，取任意一点 ，让显然 是一对一映射而且设 为方程（1）的两个解。设 在向量 和向量 的角度之间。取任意数 ，组成有界区域 U，边界曲线为 设 是在点 上区域 U 边界的单位外法线。对任意点 ，有解，得如果 ，我们有 ， 是区域 边界的单位外法线。如果 ，我们有 ，是区域 边界的单位外法。因此趋于极限，得根据映射 的定义，我们有可以改写为让 充分小。选 和 组成等式向量和 是正交的。所以圆盘的图像是一个圆圈，作为第一近似值。一旦正交向量和 满足条件最后的条件成立，因为注 在点集 上构造的映射我们有在点 上我们有5 上的格林函数定义 5 我们说区域 是单连通区域，如果1 对任意有界区域 ，当 时，2 在区域 内的任意闭合曲线引理 4 设 是在 上的单连通区域。 是边界光滑的有界区域， 是它的格林函数 证明 因为区域边界是光滑的，所以假设 设 是最大数，存在一点 使得 且 记作
