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1、关于数项级数敛散性的判定1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的.2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理2.1 数项级数收敛的定义数项级数 收敛 数项级数 的部分和数列 收敛于 .1nu1nunS这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列 的极限是否存在的问题的讨论，但由于n
2、求数列前 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少.2.2 数项级数的性质（1）若级数 与 都收敛，则对任意常数 c,d, 级数 亦收敛，且1nu1nv 1)(nndvcu;相反的，若级数 收敛，则不能够推出级数111)(nnn dcdvc 1)(nndvcu与 都收敛.1nu1n注：特殊的，对于级数 与 ，当两个级数都收敛时， 必收敛；当其中一个1nu1nv1)(nnvu收敛，另一个发散时， 一定发散；当两个都发散时， 可能收敛也可能发散.1)(nn 1)(nn例 1 判定级数 与级数 的敛散性.1)53(nn1)2(nn解：因为级数 与级数 收敛，故级
3、数 收敛.1n1n1)53(nn1因为级数 发散，级数 收敛，故级数 发散.1n12n1)2(nn（2）改变、增加或去掉级数的有限个项不会改变原级数的敛散性.（3）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的敛散性，也不改变它的和.即收敛的级数在不改变各项顺序的情况下，对它的各项任意加括号后，得到的新级数还是收敛的；加括号后得到的新级数发散，那么原级数也是发散的.例 2 判定级数 的敛散性. 112-n解：先考察级数 ，因为 ，而级数 发1nn12nun 12n散，由于加括号后得到得新级数发散，则原级数发散.（4）级数收敛的必要条件 若级数 收敛，则 .若 ，则级数 发散.1nu0limnu0l
4、inu1nu2.3 判定定理2.3.1 级数收敛的柯西准则级数 收敛 , ,使得当 m 以及 ,都有1nu0*N*Np.pmm21例 1 用柯西准则判别级数 的敛散性.n2si证明：由于pmmpmmuu 2sin2sii121 pp111 因此，对于任意的 .取 使得当 及任意的 ,由上式就有0log2NN成立，故由柯西准则可推出原级数收敛.pmmuu212.3.2 正项级数判别法（1）正项 收敛 它的部分和数列 有界.1nnS2（2）比较判别法 如果 和 是正项级数，若存在某整数 ，对一切 都有1nu1nvNnnvu(i)若级数 收敛，则级数 也收敛；（ii）若级数 发散，则级数 也发散.1
5、nv1n 1nu1n等比级数和 P-级数的敛散性 等比级数 ，当 时，级数收敛；当 时，级数 12n naqaq q发散.P-级数 ，当 时，发散；当 时，收敛.1np1p例 2 判别级数 的敛散性.14解：因为 ，而且 P-级数 收敛，由比较判别法知该级数25441nnun 251n收敛.（3）比较判别法的极限形式 如果 和 是正项级数 ，如果 ，则1nu1nv)0(nvlvunlim（i）当 时， 和 同时收敛或发散；（ii）当 时， 收敛时，l01n1n l1n也收敛；（iii）当 时， 发散时， 也发散.1nul1nv1nu例 3 判别级数 的敛散性.1an解：因为 ,而正项级数 发散
6、，由比较原attntttt ln1limlilim00令 n1则的极限形式知原级数发散.(4)比式判别法 如果 为正项级数,且 ，1nunu1（i）若 ，则 收敛；（ii）若 ， 发散.01n1n3例 4 判别级数 的敛散性.n10!解：因为 ，所以由比式判别法知原级数发散. 102lim!2limli nunnn(5)比式判别法的极限形式 如果 为正项级数，且 ，则1nunu1li（i）若 ，则 收敛；（ii）若 或 时， 发散. 11n1n例 5 判别级数 的敛散性.n!3解：因为 ，所以由比式判别法的极限形131lim!31limli1 ennunn式知原级数发散.（6）根式判别法 如果
7、 为正项级数， （i）如果 ，则 收敛；（ii）若 ，1nu1nu1nu1nu则级数 发散.1nu(7)根式判别法的极限形式 如果 为正项级数，还有 ，1nunulim（i）当 时，则 收敛；（ii）当 时，则 发散.11n1n例 6 判别级数 的敛散性.n2解：因为 ，所以由比式判别法极限形式知原级数收敛.12lim1li nnn(8)积分判别法 若 为 上的非负减函数，那么正项级数 与反常积分 同)(xf),)(nf1)(dxf时收敛或同时发散.例 7 判别级数 的敛散性.12n解：设 ，则 在 上为非负单调递减函数，而xfxf),124xd故由积分判别法知原级数收敛.4(9)Raabe
8、判别法 设 ， .0nu,21,1nuRnn(i)若存在 及正整数 ,使得当 时有 ，则级数 收敛；1qNqRn1nu(ii）若存在正整数 ,使得当 时有 ，则级数 发散.n1n1n(10) Raabe 判别法的极限形式 设 是正项级数，且有 ，1nurRnlim（i）若 ,则级数 收敛；1r1n（ii）若 ,则级数 发散.1nu例 8 判别级数 的敛散性.2!解：容易验证，因为 这个级数用比式判别法和根式判别法都失效，这时可以用n1Raabe 判别法.此时， .由 nnnuRnn 23156231Raabe 判别法知原级数收敛.正项级数的判别方法有很多种，下面总结一下这几种方法的选择顺序:若
9、 易于求的，考察nulim的值： ，则依据级数收敛的必要条件，知级数发散；若 ，不能直接判nulim0lin 0n断级数是收敛还是发散，此时用比式判别法或根式判别法，当 时，级数收敛；若 或11时，级数发散；当 时，级数可能收敛也可能发散，此时用比较判别法，找出一个已知1敛散性的级数与之比较，然后根据比较判别法或其极限形式判定级数的敛散性，当然，对于一些具体问题，我们应该根据其特点分析，找到更简便的判别方法.2.3.3 一般项级数的判别方法（1）交错级数判别法Leibniz 判别法 若交错级数 （ ） ，满足下述两个条件：（i）数列 单调nnu1)(0nu递减；（ii） ,则级数收敛.0lim
10、nu5注：用 Leibniz 判别法判定 时，可以用以下几种方法：比值法：考察是否有 ；1nu 1nu差值法：考察是否有 ；导数法：即建立一个连续可导的函数 ，使01nu )(xf，考察是否有 .),21()nuf )(f例 9 判定级数 的敛散性.11ln)(n解：因为此级数为交错级数 ，设 ，易证 ，lnun 01lnlimli unn下面判定 ，下面我们用导数的知识判定数列 单调递减.设 ，1nunul)(fn则 ，又设 ，则 , 单1l2 nfn g1l01gng调递减， ， ， 单调递减， ，由 Leibniz 判别法，知原级数0g0ff 1nu发散.（2）绝对收敛若级数 各项绝对值
11、组成的级数 收敛，则原级数绝对收敛.1nu1nu性质：绝对收敛的级数一定收敛.此定理的逆命题不成立，即：若 收敛，不能判定1nu也收敛.1nu（3）Abel 判别法 若 为单调有界数列，且级数 收敛，则级数 收敛.nanbnba例 10 判定级数 的收敛性.2 rct41l1n解：根据 Leibniz 判别法知级数 收敛.因为 递增有界，故由 Abel 判别法2ln-n n1知级数 收敛，又因 递减有界，再由 Abel 判别法知原级数收敛.21ln1n arct46(4)Dirichlet 判别法 若数列 单调递减，且 ，又级数 的部分和数列有界，则级数 收敛.na0limnanbnba例 1
12、1 判定级数 的敛散性.2,s1xn解：由于当 时，有 ，即 的部分和数列有界，而数列2,0x2sin1i1xk1sinx单调递减，且 ，故由 Dirichlet 判别法知，原级数收敛.1n0limn对于交错级数敛散性判定问题，应先判定其是否绝对收敛，即若 收敛，则 收敛;若1nu1nu不是绝对收敛，则根据 Leibniz 判别法，Abel 判别法，Dirichlet 判别法判定其是否条件收敛. 3、巧妙判别数项级数敛散性以上介绍了一些判别数项级数敛散性的基本方法，但是在实际的应用中往往需要多种方法结合，且有时还有一定的技巧性，下面结合一些实例列举一些常用的判别方法和技巧.3.1 等价无穷小替
13、换的方法判断级数敛散性应用定理：设 和 是两个正项级数，且当 时， 和 为等价的无穷小量，则1nu1nvnnuv和 的敛散性保持一致.1nu1nv证明：由于当 时， 和 为等价的无穷小量，即 ，由比较判别法的极限nuv 01limnvu形式可知级数 和级数 同时收敛或同时发散.1n1n例 1 判定级数 的敛散性.142l-n解：设 ，则 ，而级数lun 142lnun n,427收敛，所以原级数绝对收敛.123n3.2 运用常用不等式判断级数的敛散性常用的不等式有： ， ， nlx1l xex1例 2 判定级数 的敛散性.1ln解：此题我们可以利用不等式 ，x1ln有 11llln nun因为
14、级数 收敛，故原级数收敛.1n3.3 运用平均不等式 判断级数敛散性2ba应用定理：若级数 和级数 都收敛，则级数 绝对收敛.12n12n1nba证明：已知级数 和级数 都收敛，根据级数收敛的性质，则级数 收敛，12na12nb 21nba由于有不等式 ，再根据比较判别法，知级数 收敛，所以级数 绝2nnb1nba1n对收敛.例 3 设常数 ，级数 收敛，判断级数 的敛散性.012na12nn解：因为级数 收敛，并且级数 也收敛，所以级数 收敛，12n12n 21an又因为 ，由比较判别法可知，级数 收222 aann 2an敛，故原级数绝对收敛.3.4 拉格朗日微分中值定理判断级数敛散性应用定理：设 在
