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1、 专题一 三角函数与平面向量高考中，三角函数主要考查学生的运算能力、灵活运用能力，在客观题中，突出考察基本公式所涉及的运算、三角函数的图像基本性质，尤其是对角的范围及角之间的特殊联系较为注重。解答题中以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算。三角函数部分，公式较多，易混淆，在运用过程中，要观察三角函数中函数名称的差异、角的差异、关系式的差异，确定三角函数变形化简方向。平面向量的考察侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行、垂直关系的坐标运算。向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算。但同时，平面向量的工具性不容忽视。以向量的平行、垂直、所成角为载体，与三角、解析几何、不等式等知识点的综
2、合是我们值得注意的方向。关于三角向量命题方向：（1）三角函数、平面向量有关知识的运算；（2）三角函数的图像变换；（3）向量与三角的综合运用及解三角形。 （4）与其它知识的结合，尤其是与解析几何的结合。小题大都以考察基本公式、基本性质为主，解答题以基础题为主，中档题可能有所涉及，压轴题可能性不大。1、同角的三角函数关系：平方关系 ；倒数关系 ；2222sincos11tacsinsinc1oetat 商数关系 sintacoi2、诱导公式可以概括为一句口诀：奇变偶不变，符号看象限。诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象限” ， “变”与“不变”是相对于对偶关系
3、的函数而言的，sin 与 cos 对偶， “奇” 、 “偶”是对诱导公式中 +2k的整数 k 来讲的，象限指 + 中，将 看作锐角时， + 所在象限，如将 cos( +)写成2k 2k 3cos（ +） ，因为 3 是奇数，则“cos”变为对偶函数符号 “sin”，又 + 看作第四象限角，cos(32 3+)为“+” ，所以有 cos( +)=sin。3、两角和与差的三角函数（1）和（差）角公式 ;sincosin)si( ;ico)cos( ta1t)ta(（2）二倍角公式： ；cosn2si ；22 in1s 2tnt（3）经常使用的公式升（降）幂公式： 、 、 ；21cssin2cos1
4、icosi辅助角公式： （ 由 具体的值确定） ；2oin()abab,ab正切公式的变形： 三角函数式的化简tt1t)常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式的逆用等。 （2）化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少； 使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角” ，如 等，
5、把所求角2(),()()用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。4、三角函数的图象与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4 -3 -2 432- oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4 -3 -2 432- oyx y=tanx322-32 -2 oyx三角函数的单调区间： xysin的递增区间是 22k， )(Z，递减区间是232k， )(Z； cos的递增区间是 ， )(k，递减区间是， )
6、(， xytan的递增区间是 2k， )(Z，函数 BxAysin），（ 其 中 0A最大值是 BA，最小值是 A，周期是 2T，频率是 2f，相位是 ，初相是 ；其图象的对称轴是直线 )(Zkx，凡是该图象与直线 y的交点都是该图象的对称中心由 ysin x 的图象变换出 ysin( x )的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 ysin x 的图象
7、向左( 0)或向右( 0平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 1倍( 0)，便得 ysin( x )的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将 ysin x 的图象上各点的横坐标变为原来的 1倍( 0)，再沿 x 轴向左( 0)或向右(0平移 |个单位，便得 ysin( x )的图象。 由 y Asin(x )的图象求其函数式：给 出 图 象 确 定 解 析 式 y=Asin（ x+） 的 题 型 ， 有 时 从 寻 找“五 点 ”中 的 第 一 零 点 （ ， 0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。对称轴与对称中心： sinyx的对称轴为 2xk，对称中
8、心为 (,0) kZ； cosyx的对称轴为 xk，对称中心为 2(,)k；对于 sin()y和 cosyx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意 A、 的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“ si()yAx、 cs()yx”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法五点法作 y=Asin（ x +）的简图：五点取法是设 x=x +，由 x 取 0、 2、 3、2 来求相应的 x 值及对应的 y 值，再描点作图。5、解三角形正、余弦定
9、理正弦定理 （ 是 外接圆直径）RCcBbAa2sinisinABC注： ； ；cba:si: Rcbsin2,si, 。cCBAsisiiinsi 余弦定理： 等三个；注： 等三个。Abcao22 bcaA2os。几个公式:三角形面积公式： ；)(21,)()(sin1 cbppCahSABC 内切圆半径 r= ；外接圆直径 2R=cba2 ;sinicBbA在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：ABC 中， isinAB6、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。向
10、量运算中的基本图形：向量加减法则：三角形或平行四边形；实数与向量乘积的几何意义共线；定比分点基本图形起点相同的三个向量终点共线等。7、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 + =OABC- =记 =(x1,y1)， =(x1,y2)OAB则 + =(x1+x2,y1+y2)- =（x 2-x1,y2-y1）加法与减法+ =B实数与向量的乘积=AaR记 =(x,y)a则
11、=(x,y)两个向量的数量积 =| | |abcos记 =(x1,y1), =(x2,y2)ab则 =x1x2+y1y28、 运算律加法： + = + ，( + )+ = +( + )ababcabc实数与向量的乘积：( + )= + ；(+) = + ，( )=() aaa两个向量的数量积： = ；( ) = ( )=( )，( + ) = +aabbcbc说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如( )2=ab2ba9、 重要定理、公式（1）平面向量基本定理；如果 + 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该
12、平面内任一向量1e2，有且只有一对数数 1， 2，满足 = 1 + 2 ，称 1 + 2 为 ， 的线性组合。a aee1e2根据平面向量基本定理，任一向量 与有序数对( 1, 2)一一对应，称( 1, 2)为 在基底 ，a1e下的坐标，当取 ， 为单位正交基底 ， 时定义( 1， 2)为向量 的平面直角坐标。2e1e2ij向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A(x，y)，则 =（x,y） ；当向量起点不在原点时，向量 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若 A（x 1,y1） ，OAABB（x 2,y2） ，则 =(x2-x1,y2-y1)（2）两个向量平行的
13、充要条件符号语言：若 ， ，则 =ab0ab坐标语言为：设 =（x 1,y1） ， =(x2,y2)，则 (x1,y1)=(x 2,y2)，即 ，或 x1y2-ab21yx x2y1=0（3）两个向量垂直的充要条件符号语言： =0ab坐标语言：设 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 x1x2+y1y2=0ab【名师点睛】给角求值问题，利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值；对于给值求值的问题的结构特点是“齐次式” ，求值时通常利用同角三角函数关系式，常数化为正弦和余弦的性质，再把正弦化为正切函数的形式.考点二 有关三角函数的性质问题例 3：已知函数 （）求函数 的最小正周期及在区
14、间2()23sincos1()fxxxR()fx 上的最大值和最小值；（）若 ，求 的值。0,2 006(),542fx0cosx解：（1）由 ，得2()23sincos1fxx2()3in)(cos1)fxx所以函数 的最小正周期为 因为 在区间3sincoi()6fin6f上为增函数，在区间 上为减函数，又 ，0,6,2(0)1,2,16fff所以函数 在区间 上的最大值为 2，最小值为-1()fx0,（）由（1）可知 又因为 ，所以00()2sin6fx06()5fx03sin265x由 ，得 从而0,42x07,63x 2004cos21i6所以 00003cos sinsin61xx 【名师点睛】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为 y Asin(x ) B 的形式，然后再求解(2)对于形如 y asin x bcos x 型的三角函数，要通过引入辅助角化为 y sin(x )a2 b2(cos ，sin )的形式来求aa2 b2 ba
