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1、第三节,一、隐函数的导数,二、由参数方程所确定的函数的导数,隐函数和由参数方程所确定的函数的导数,第二章,一、隐函数的导数,1. 定义,注 1,如：,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,函数 y 为由此方程所确定的隐函数 .,则称,2,确定了一个隐函数：y = y(x),解出，则称此隐函数可显化；,例1,3,确定了一个隐函数：,但不能显化.,y = y(x), x(-, 0 ),事实上，,总有唯一确定的 y0 ，,例2,问题: 隐函数不易显化或不能显化时如何求其导数?,解,(方法1),(方法2),另一方面，,一方面，,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,( 含导数 y 的方程 ),用复合函
2、数求导法则，直接对方程两边求导，,2. 隐函数求导法则,解,解得,求由方程,所确定的隐函数 y,的导数,方程两边对 x 求导,由原方程知,例3,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,3. 隐函数求导法的应用 对数求导法,(1) 方法,不易求导,易求导,(2) 适用范围,注意:,取对数得,两边求导：,例4 求,的导数 .,解,两边对 x 求导,求幂指函数导数用对数求导法,(方法1),对数求导法,两边取对数 , 化为隐式方程：,(方法2),复合函数求导法,注,?,?,例5,解,例6,两边对 x 求导：,二、由参数方程所确定的函数的导数,例如，,消去参数,问题: 消去参数困难或无
3、法消去参数时，如何 求函数的导数?,结论,(由参数方程所确定的函数的求导公式),则由参数方程所,单调且连续的反函数,且能构成复合,确定的函数,可导，,函数：,且,定点的轨迹称为摆线 ,一个半径为a的圆在定直线上滚动时,圆周上任一,所确定的函数 y = y (x) 的导数,解,例7,计算由摆线的参数方程:,摆线简介：,即,半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时 ,M 的轨迹即为摆线 .,其上定点,解,例8,先写出曲线的参数方程：,例9,解, 求,设,方程组两边同时对 t 求导, 得,内容小结,直接对方程两边求导,2. 对数求导法 :,适用于幂指函数及某些用连乘,连除,乘方,开方表示的函数,由参数
4、方程所确定的函数求导法,用极坐标方程给出的函数求导,转化,1. 隐函数求导法则,思考题,求,提示: 分别用对数求导法求,答案:,备用题例3-1,解,例3-2 求椭圆,在点,处的切线方程.,解 椭圆方程两边对 x 求导,故切线方程为,即,例3-3,在 x = 0 处的导数,解 方程两边对 x 求导,得,由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故,确定的,例3-3,求由方程,隐函数,求其反函数的导数 .,解,(方法1),(方法2),等式两边同时对 求导,例3-4,设,例4-1,解,设,解,等式两边取对数得,求,例6-1,解,例7-1,例7-2,抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.,解 先求速度大小:,速度的水平分量为,铅直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设 为切线倾角,则,在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,解,例8-1,例9-1 设由方程,确定函数,求,解 方程组两边对 t 求导 , 得,故,
