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1、中考数学专项练习第4讲 绝对值的几何意义一、利用绝对值的几何意义求两点间的距离及解方程知识导航的几何意义：在数轴上，表示 这个数的点到原点的距离 的几何意义：在数轴上，表示数 ， 的两点之间的距离的几何意义：在数轴上，表示数 ，的两点之间的距离例题1的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离(1) 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离；则 (2) 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若，则 (3) 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若，则 (4) 同样道理表示数轴上有理数 所对点到和 所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数 ，使得
2、，这样的整数是 二、利用绝对值的几何意义求最值 知识导航的几何意义：数轴上，数x到数a的距离与数x到数b的距离之和的几何意义：数轴上，数x到数a的距离与数x到数b的距离之差7 / 7例题21求代数式的最小值2计算的最小值3的最小值 4数轴上是否存在数 ，使的值最小？若存在，请求出最小值及 的值；若不存在，请说明理由例题3当的值最小时，求的最大值与最小值例题4请回答下列问题：(1) 已知，求的最大值与最小值(2) 已知，求的最大值与最小值例题5求的最值三、利用绝对值的几何意义解决实际问题例题6如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区， 个工厂 ， ， 分布在公路的两侧，由一些小路
3、（细线）与公路相连现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在 点又建立了一个工厂，并且沿着图上的细线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？四、课后作业练习1我们都知道 表示数 在数轴上对应的点到原点的距离，解决下面问题：(1) 数 的数轴上对应的点到的距离为 (2) 若数轴上表示 的点在（包括）到 （包括 ）之间时，则的最小值等于 练习2认真阅读下面的材料，完成有关问题材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示 、 在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示 、在数轴上对应的两点之间的距离:，所以表示
4、 在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点 、点 在数轴上分别表示有理数 、 ，那么点 、点 之间的距离可表示为(1) 点 、 、 在数轴上分别表示有理数 、 ，那么点 到点 的距离与点 到点 的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）(2) 利用数轴探究：1满足的 的取值范围是 2满足的 的所有值是 3设，当 的值取在不小于且不大于 的范围时， 的值是不变的，而且是 的最小值，这个最小值是 (3) 拓展1的最小值为 2的最小值为 3的最小值为 ，此时 的取值范围为 练习3结合数轴与绝对值的知识回答下列问题(1) 数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ；表示和 两点之间的距离是 (2) 如果，那
5、么 (3) 若，且数 、 在数轴上表示的点分别是点 、点 ，则 、 两点间的最大距离是 ，最小距离是 (4) 求代数式的最小值(5) 若 表示一个有理数，则代数式有最大值吗？若有，请求出最大值； 若没有，请说明理由练习4若代数式的结果是 ，则最小值是 练习5已知，求的最大值与最小值练习6请回答下列各题求的最值练习7如图所示，在一条笔直的公路上有 个村庄，其中 、 、 、 、 、 到城市的距离分别为 、 、 、 、 千米，而村庄 正好是的中点现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？城市A.处B.处C.处D.处五、课后故事等宽曲线圆是与一个定点的距离
6、等于定长的所有点组成的曲线。车轮就直接地应用了圆的这个性质。车轮正是由于它的等长的车辐，使车轴处于一定的高度，从而得到一个平稳的水平运动。倘若车轮不是圆的，那么车轴将会产生一种忽上忽下的运动。运动中如果有很大的载重，轮和轴就不能保持十分坚固。有时我们要移动重物，可以如同图1那样把重物放在圆木棍上滚动，并平稳地前进。圆用来作滚动的原因是由于圆有这样的性质，即当圆不管怎样滚动时，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的。即圆在任意方向都有相同的宽度，因而圆也就是所谓的“等宽曲线”。然而令人惊讶的是，对于完成流动所需要的性质来说，棍的横断面未必要是圆的!事实上存在着大量的非圆等宽曲线，最简单的等宽曲线不
7、是圆，而是如图2所示的曲边三角形。它的画法如下：1画一个等边三角形；2以所作的等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对的圆弧。显然，这个等宽曲线的宽度等于原来等边三角形的边长。请你亲自动手做个实验。把一硬纸卡片剪出一个如上所画的等宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞。如果正方形的边长等于曲线的宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个等宽曲线板可以在正方形内紧密无间地自由转动（如图3）。实际上，任何等宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间而自由地转动；反之，可以在正方形内紧密而自由地转动的曲线也是等宽曲线。用这种等宽曲线做横断面的滚子，也
8、能使载重物水平地移动，而不致于上下颠簸（如图4）。这种具有奇特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发现的，所以也称为鲁列斯曲边三角形。在鲁列斯的等宽曲线上有尖点，即在两条圆弧相交处形成角顶。我们希望它光滑一些，可以按下面的方法得到没有任何角顶的新的等宽曲线：把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段；以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和；内角的对顶角所对的圆弧，等于延长线的长。由这样的六条圆弧组成的等宽曲线克服了尖点，因此光滑得多了（如图5）。画等宽曲线的关键的想法是：圆弧的中心是它所对的角顶。下面介绍一种等宽的曲边多边形的一般画法，并使它的宽度
9、为b。开始可以把任意点B作为第一个角顶，以B为圆心、b为半径画弧；在这个弧上， 选择A和C二点作为新角顶，以C为圆心、b为半径画弧（该弧必经过B）；在这个弧上，选择另一个角顶D，以D为圆心、b为半径画弧（该弧必经过C），如果我们希望结束这个过程，可以在这个弧上选择角顶E，使它也处在以A为圆心、b为半径的弧上（该弧必经过点B）。也就是E是两个弧的交点。最后，用一个以E为圆心、b为半径的弧连接A和D，这样就得到一个等宽的曲边五边形ADBEC（如图6）。边数更多的多边形，可用同样的方法作出来，这只要多作几步，然后使曲线成为闭合的就可以了。同样的原理，我们还可以利用这些曲线得到没有任何角顶的等宽曲线。这些方法使我们可以构作无数个等宽曲线，它们都是由许多圆弧组成的。但不要误解为等宽曲线只能由圆弧组成，实际上有这样的等宽曲线，它的一部分不管是多么小，都不是圆弧。在这里我们不可能介绍它，因为已经超出了初中几何知识的范围。日常生活中，我们看到许多加盖的盛具，如锅、杯、壶、缸、桶之类，都是圆口圆盖的形状。这除了容易加工制造以外，主要还是应用圆是等宽曲线的特性。圆形的盖子，只要它不变形，从任何方向都不会掉进盛具里去。为了提高观赏价值与品茶雅兴，一些艺术茶壶的壶盖可以设计成其他等宽曲线的形状。
