《吉林省2015届高三上学期期中考试数学理试题 含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《吉林省2015届高三上学期期中考试数学理试题 含解析（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、长春外国语学校 2014-2015 学年第一学期期中考试高三数学理试题【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本能力为载体， ，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、向量、导数、函数方程，简单的线性规划、数列、三角函数的性质，椭圆，参数方程等；考查学生的能力。一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题四个选项中，只有一项正确. 【题文】1. 已知集合 ， ，则 （ ）2,10Ax|124xBBAA. B. C. D.1,0,02,1【知识点】集合及其运算 A1【答案解析】C =x 则 故答案为 C.x|24x
2、B2x,0【思路点拨】先求出集合 B 再求交集。【题文】2. ( )的为 奇 函 数是 1)(0xafaA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件【知识点】充分条件、必要条件 A2【答案解析】C a=0 得到 f(x)= 为奇函数，如果奇函数 f(0)=0 得到 a=0，所以为充要1x条件，故选 C。【思路点拨】根据奇函数的性质判定结果。【题文】3. 若命题 ： ，命题 ： ，则下列命题为真命p0log,2xRq02,0xR题的是（ ）A. B. C. D.qp)()(【知识点】命题及其关系 A2【答案解析】D 命题 ： 为假命题，命题 ： 假命题，p
3、0log,2xRq02,0xR所以 为真命题,故选 D。)(qp【思路点拨】根据命题间的关系判断真假。【题文】4.下列函数既是奇函数，又是 上的增函数的是（ ）),0(A. B. C. D. 2xy1xyxy3xy【知识点】函数的奇偶性函数的单调性 B3 B4【答案解析】D A 选项是偶函数，B 选项为奇函数但是为减函数，C 选项既不是奇函数也不是偶函数，故选 D。【思路点拨】根据奇函数偶函数的定义确定，再用增减性求出结果。【题文】5. 已知 , , ，则（ ）5.03a21log3bl3cA. B. C. D. cbaccab【知识点】指数对数 B6 B7【答案解析】A 1， 3 故选 C.
4、3log1x【思路点拨】根据对数函数的意义求出定义域。【题文】9.设随机变量 服从二项分布 ，且 , ,则（ ）),(pnB6.1)(E28.)(DA. B. 2.0,8pn4.0C. D.355,7【知识点】离散型随机变量及其分布列 K6【答案解析】A 随机变量 服从二项分布 ，且 , ，所以),(pnB6.1)(E28.)(DEX=np=1.6,D =np(1-p)相除得 p=0.2,n=8,故选 A。【思路点拨】根据随机变量符合二项分布，由二项分布的期望和方差求出。【题文】10.函数 的值域为（ ）124xyA. B. C. D.),0(),(),),(【知识点】函数的单调性与最值 B3
5、【答案解析】B 令 2x=t（t0） ，则函数 y=4x+2x+1+1 可化为： y=t2+2t+1=（t+1 ） 2，函数 y 在 t0 上递增， y1，即函数的值域为（1，+） ，故答案为：B.【思路点拨】令 2x=t（t0） ，将原不等式转化为 y=t2+2t+1 求出函数 y 在 t0 时的值域即可【题文】11.若 为定义在 上的偶函数， ，当 时，)(fR)(xff1,，则当 时， （ ）1)(2xf 5,3x)(xfA. B. C. D. 12)4(2x1)5(2x【知识点】函数的奇偶性与周期性 B4【答案解析】C ,则 x-4 -1,1,又因为 为偶函数，-1,0和0,1对53x
6、 1)(2f称，所以 f（x）= ,故选 C。1)4(2【思路点拨】根据函数的奇偶性和周期性求出解析式。【题文】12.已知函数 ,若方程 恰有七个不相同的3)(2xf 0)()(2cxbff实根,则实数 的取值范围是（ ）bA. B. C. D. )0,2()1,(),0(),(【知识点】函数与方程 B9【答案解析】B f（1）=f（3） =0，f（2 ）=1，f （x）0，若方程f（x） 2+bf（x）+c=0 恰有七个不相同的实根，t 2+bt+c=0，其中一个根为 1，另一个根在（0，1 ）内， g（t ）=t 2+bt+c，g（1）=1+b+c=0，g （- 0，0 - 1，b2g（0
7、）=c0 方程f（x） 2+bf（x）+c=0 恰有七个不相同的实根c=-1-b0，b-2，-2b 0 ，即 b 的范围为：（-2，-1 ）故选：B【思路点拨】画出 f（x）的图象，根据方程 f（x） 2+bf（x）+c=0 恰有七个不相同的实根，可判断方程f（x） 2+bf（x） +c=0 恰有七个不相同的实根，再运用根的存在性定理可判断答案第卷（非选择题 共 90 分）【题文】二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的指定位置.【题文】13.袋中有三个白球，两个黑球，现每次摸出一个球，不放回的摸取两次，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到白球的概率
8、为_.【知识点】随事件的概率 K1【答案解析】 记事件 A 为“第一次取到黑球”，事件 B 为“第二次取到白球” ，34则事件 AB 为“第一次取到黑球、第二次取到白球” ，依题意知 P（A）= ，P（AB ）= 2525，在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率是 P（B|A）= 34故答案为： 34【思路点拨】本题条件概率，需要做出第一次取到黑球的概率和第一次取到黑球、第二次取到白球的概率，根据条件概率的公式，代入数据得到结果【题文】14.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则)4,1(Nap)4(_.)42(p【知识点】正态分布 K8【答案解析】 若 ， 则 故答案为a1ap)4(
9、)4,1(N)42(pa212【思路点拨】根据正态分布图像求出。【题文】15.直线 与圆 （ 为参数）有公共点,则0sincoasin32coyx实数 的取值范围是_.a【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3【答案解析】 3-3 ， 3+3 直线 cos-sin+a=0，即 x-y+a=0，圆2（ 为参数）化为直角坐标方程为 （x+1） 2+（y-2） 2=9，表示以（-sinco1yx1，2）为圆心、半径等于 3 的圆由直线和圆相交可得圆心到直线的距离小于或等于半径，即 3，求得 3-3 a3+3 ，a2故答案为： 3-3 ， 3+3 【思路点拨】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程
10、，根据圆心到直线的距离小于或等于半径求得实数 a 的取值范围【题文】16.函数 的零点个数为_.21(0)()lnxfx【知识点】函数与方程 B9【答案解析】2 令 f（x）=0，得到 解得 x=-1；和 ，20x2ln0x令 y=2-x 和 y=lnx，在同一个坐标系中画出它们的图象，观察交点个数，如图函数 y=2-x 和 y=lnx，x0 时，在同一个坐标系中交点个数是 1 个，所以函数 f（x）的零点在 x0 时的零点有一个，在 x0 时零点有一个，所以 f（x）的零点个数为 2；故答案为：2【思路点拨】令 f（x）=0，得到方程根的个数，就是函数的零点的个数；在 x-2+lnx=0 时
11、，转化为 y=2-x 与 y=lnx 的图象的交点个数判断三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】17.(12 分) 已知数列 是首项为 1，公差不为 0 的等差数列，且 成等比na 521,a数列(1)求数列 的通项公式.na(2)若 , 是数列 的前 项和，求证: .1nbSnb21nS【知识点】等差数列及等差数列前 n 项和 D2【答案解析】 （1）a n=2n-1（2）略（1）设数列a n公差为 d，且 d0，a 1，a 2，a 5 成等比数列， a1=1（1+d） 2=1（1+4d ）解得 d=2，a n=2n-1（2）
12、=1nb()2nS n=b1+b2+bn= （1- ）+ （ - ）+ 351()21n2【思路点拨】 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用裂项求和即可得出【题文】18.（12 分）某站针对 2014 年中国好声音歌手 三人进行上投票，结果如下 CBA,（1） 在所有参与该活动的人中，用分层抽样的方法抽取 人，其中有 6 人支持 ，求 的值. nAn（2）若在参加活动的 20 岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取 7 人作为一个总体，从 7 人中任意抽取 3 人，用随机变量 表示抽取出 3 人中支持 的人数，写出 的分布列并计算XBX.)(,XDE【知识点】离散型随机变量及
13、其分布列 K6【答案解析】 （1）40（2 ） 049（1）利用层抽样的方法抽取 n 个人时，从“ 支持 A 方案”的人中抽取了 6 人， = ，解得 n=40，6068104（2）X=0 ，1，2X 0 1 2P274717E（X）=1 +2 = ，D（X ）= (0- )2+ (1- )2+ (2- )2= 4166467049【思路点拨】 （1）根据分层抽样时，各层的抽样比相等，结合已知构造关于 n 的方程，解方程可得 n 值（2）X=0 ，1，2 ，求出相应的概率，可得 X 的分布列并计算 E（X） ，D（X） 【题文】19.（12 分）如图，在几何体中，四边形1CDAB均为边长为 1
14、 的正方形.1,(1)求证： .(2)求二面角 的余弦值. BCAD1【知识点】空间中的垂直关系 G5【答案解析】 （1）略；（2） 3（1）证明：连结 AC、BD 交于 O，在几何体 ABCD-A1D1C1 中，四边形 ABCD，A 1ADD1，DCC 1D1 均为边长为 1 的正方形A1D1AD D1C1DC ADC 和A 1D1C1 方向相同所以：平面 ACD平面 A1D1C1观众年龄 支持 A支持 B支持 C20 岁以下 200 400 80020 岁以上（含 20 岁） 100 100 400AA1CC 1 且 AA1=CC1 四边形 A1ACC1 是平行四边形由四边形 ABCD 是正方形得到：ACBD 所以：BDA 1C1DD1A 1C1所以：A 1C1平面 BDD1BD1A 1C1（2）解：取 A1C1 的中点 E，根据 A1D1=C1D1根据正方形的性质：A 1B=BC1BEA 1C1所以：D 1EB 是二面角 D1-A1C1-B 的平面角所以：求出：D 1E= ，B D1= ，B E=2362在BD 1E 中，利用余弦定理：c os D1EB= =-2211BE3所以：二面角 D1-A1C1-B 的余弦值- 3【思路点拨】 （1）首先通过线线平行进一步证得面面平行，再得到线线垂直，利
