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1、 普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研 2021.4考生注意:1.本场考试时间120分钟.试卷4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设全集，若集合，则 .2. 若复数（表示虚数单位），则 .3. 函数的零点为 .4
2、. 曲线的顶点到其准线的距离为 .5. 若，则 .6. 设棱长为的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 .7. 设，则 .8. 设无穷等比数列的前项和为，若，且，则公比 .9. 设、均为非负实数且满足，则的最小值为 .10. 某学校从名男生、名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这名宣讲员中男、女生各人的概率为 （结果用最简分数表示）.11. 设是直线上的动点，若，则的最大值为 .（第12题）12. 如图，在中，. 若为内部的点且满足，则 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 设、均
3、为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ） 14. 设，则双曲线的焦点坐标是（ ） 15. 设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则“”的一个充分非必要条件是（ ） ，且， ，且 ，且 ，且16. 已知函数，设（）为实数，且.给出下列结论： 若，则； 若，则.其中正确的是（ ）与均正确 正确，不正确不正确，正确 与均不正确三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，设底面半径为的圆锥的顶点、底面中心依次为、，为其底面的直径. 点位于底面圆周上，且. 异面直线与所成角的大小为.（第
4、17题）（1）求此圆锥的体积；（2）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数（）的反函数为.（1）解方程：；（2）设是定义在上且以为周期的奇函数.当时，试求的值.19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为（），米，为对角线和的交点.他以、为圆心分别画圆弧，一段弧与相交于、另一段弧与相交于，这两段弧恰与均相交于.设.（1）若两段圆弧组成“甬路”（宽度忽略不计），求的长（结果精确到米）；（第19题）（2）记此园地两个扇形面积之和为，其余区域的面积为.对
5、于条件（1）中的，当时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知曲线:的左、右焦点分别为、，直线经过且与相交于、两点.（1）求的周长；（2）若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程；（第20题）（3）设的一个方向向量，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 记实数、中的较大者为，例如，.对于无穷数列，记（），若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”.（1）根据下列所给
6、的通项公式，分别判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由.， ；（2）设首项为的等差数列的前项和为、公差为，且数列为“趋势递减数列”，求的取值范围；（3）若数列满足、均为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有.2020学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小
7、方格涂黑.题号13141516答案DBCA三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解: （1）设圆锥的高为.以为坐标原点，以、所在的直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，如图所示.根据题设条件，可得、.，3分由异面直线与所成角的大小为，得，解得.5分 圆锥的体积.6分（2）取的中点,连接、. 由，得；再由，得. 所以即为二面角的平面角.10分 圆锥的底面，所以，故为直角三角形.在中，故13分 即，故二面角的大小为14分 （坐标法比照给分）18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小
8、题满分8分）解：（1）（*）2分 将（*）变形，得，3分即，解得或.5分经检验为增根.所以原方程的解集为.6分（2）（），所以当时，9分， 由于是定义在上且以为周期的奇函数，所以对于任意实数，均有，.11分 故12分 又因为，所以，故即14分19. （本题满分14分，第（1）问7分，第（2）问7分）解：（1）根据题设条件，可得在中，.1分由正弦定理，得，即.3分故4分，所以5分 当时，米.答：甬路的长约为米.7分（2）由（1）得 ，在中，由余弦定理，得，故，所以10分（按思维框架给分），故13分（按思维框架给分）当时，.所以此人的设计是“用心”的.14分20. （本题满分16分，第（1）问4分
9、，第（2）问6分，第（3）问6分）（1）根据题设条件，可得，故，根据椭圆定义，可知，1分，2分 由，得的周长为.4分（2）设圆的方程为（） 令，得，故，得.6分 由与圆相切，得到直线：的距离.解得，8分故直线的方程为.10分（3）假设在轴上存在一点，设直线的方程为（），将直线的方程和椭圆的方程联立，得，消去并整理，得，必有令，则12分 13分故线段的中点的坐标为，则线段中垂线的方程为 14分令，得，点到直线的距离 15分又因为，所以，即 化简得，解得，故.16分21. （本题满分18分，第（1）问4分，第（2）问6分，第（3）问8分）解：（1）中，得（为正整数）且，故数列满足“趋势递减数列”的
10、定义，故为“趋势递减数列”.，（为正整数），其中，故中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”.4分（2）由数列为“趋势递减数列”，得.5分 若，则,即，也即，故. 此时，所以 故（），满足条件.7分若，则，得；，即，解得，所以.同理可以验证满足条件9分由可得，.10分（3）先证明必要性：用反证法. 假设存在正整数,使得，则令则数列从项开始以后的各项为，故，与是“趋势递减数列”矛盾.14分再证明充分性：由，得15分 因为中的项没有，所以对于任意正整数，.于是（为正整数）所以16分 当时，17分 当时，所以均有故为“趋势递减数列”的充要条件是数列的项中没有.18分普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研 第9页 (共4页)
