3.4 群的同构定理 同态基本定理：设是群到群的一个同态满射，则 用图表示： 将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理定理1 (第一同构定理) 设是群到群的一个满同态，且 ，记，则 ，或 当时，，，第一同构定理退化成同态基本定理第一同构定理也可以用图表示：证明 首先，由有作映射： ， ，以下验证是到的一个同构映射1）是映射：设，则，于是，从而， 即中的每个赔集在下的像唯一，因此确为到的一个映射2）是满射：，因为是满射，所以存在，使得，从而存在，使得，即是满射3）是单射：设，即，从而但是满同态且，所以，使得于是由已知条件得，从而，即是单射 （4）又由于， 所以是到的一个同态映射 综上所述，是到的一个同构作业：P104第4题（提示：用同态基本定理）推论1. 设且，则 证明 取自然同态，，其核在第一同构定理中取，取为这里的，并注意，由第一同构定理得 例1 设，证明 证明 由又显然，直接由推论得 注意：交换的位置也可以得 定理2 (第二同构定理) 设是群，，，则，且 。
第二同构定理也可以用图表示：证明：由，有，且作映射 ，，，则显然是到的满同态且 ， 于是由同态基本定理得 例2 设分别为3次、4次对称群，是Klein四元群， 证明： 证明 首先（见前面）以下验证： 且，再用第二同构定理即可得证事实上，把中的每个置换看成保持4不动，则显然成立于是 又且，所以于是由第二同构定理 定理3(第三同构定理) 设是群，且，，则（1）存在的唯一子群，使得；（2）当时，存在的唯一正规子群，使得，且 第三同构定理表明：商群的子群仍为商群，且呈的 形式，其中；而且是的正规子群当且仅当是的正规子群证明 （1）取自然同态，，其核由上一节定理4知，在的包含的子群与的所有子群之间可以建立一个保持包含关系的双射，因此当时，必然存在的唯一的子群与之对应，即另一方面，根据的定义有，所以2）还是由上一节定理4，当时，存在的唯一的正规子群，使得再由第一同构定理得 。