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1、微元法在高考物理中的应用河南省信阳高级中学 陈庆威 2013.10.06微元法是高中物理中的一个重要的思想方法。因其近年来在江苏高考物理试题中的频繁出现，尤其是它在2013年普通高等学校招生全国统一考试（课标卷I）第25题中的闪亮登场，让它在我们的高考备考中的地位变得更加重要。很多同学在学习过程中对这类问题因陌生而感到头痛，想集中训练又苦于很难在较短时间里收集到较好的题型，对很多顶尖的学生来说这类问题做起来也往往心有余而力不足。希望通过以下几个典型的微元法试题的训练，能让你从陌生到熟练。一、从真题中练方法例题1.（2013全国课标卷I）如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为，间距为L。导
2、轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求： mLBC电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；金属棒的速度大小随时间变化的关系。【答案】Q=CBLv 【解析】（1）设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为 平行板电容器两极板之间的电势差为 设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有 联立式得 （2）设金属棒的速度大小为v时经历的时间为t，
3、通过金属棒的电流为i，金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为 设在时间间隔内流经金属棒的电荷量为，按定义有 也是平行板电容器极板在时间间隔内增加的电荷量，由式得 式中，为金属棒的速度变化量，按定义有 金属棒所受的摩擦力方向斜向上，大小为 式中，N是金属棒对于导轨的正压力的大小，有 金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有 联立至式得 由式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动。T时刻金属棒的速度大小为 例题2.（2007江苏） 如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长，磁感应强度B=1T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形
4、磁场区域的间距均为d=0.5m，现有一边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻R=0.1的正方形线框MNOP以v0=7m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求：（1）线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小F；（2）线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q；（3）线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n 解：（1）线框边刚进入磁场时，感应电动势 ，感应电流 ，受到安培力的大小 =（2）水平方向速度为0，（3）用“微元法”解线框在进入和穿出条形磁场时的任一时刻，感应电动势 ，感应电流 ，受到安培力的大小 =，得，在时间内，由牛顿定律：求和，, 解得 ，线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n
5、=，取整数为4。例题3.（2008江苏） 如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为，导轨光滑且电阻忽略不计场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直 （设重力加速度为g） （1）若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动Ek（2）若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b 又恰好进入第2个磁场区域且ab在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相求b穿过第2个磁场区域过程中，两导
6、体棒产生的总焦耳热Q（3）对于第（2）问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v 解：因为a和b产生的感应电动势大小相等，按回路方向相反，所以感应电流为0，所以a和b均不受安培力作用，由机械能守恒得 设导体棒刚进入无磁场区时的速度为,刚离开无磁场区时的速度为,即导体棒刚进入磁场区时的速度为,刚离开磁场区时的速度为，由能量守恒得： 在磁场区域有： 在无磁场区域： 解得： 用微元法设导体棒在无磁场区域和有磁场区域的运动时间都为，在无磁场区域有： 且平均速度： 在有磁场区域，对a棒： 且：解得: 因为速度是变量，用微元法根据牛顿第二定律, 在一段很短的时间内则有因为导体棒刚进入磁场区时的速度
7、为,刚离开磁场区时的速度为, 所以, ，所以： 联立式,得（原答案此处一笔带过，实际上这一步很麻烦，以下笔者给出详细过程：代入得：， 代入得： +得：。）ab在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等, 所以a穿出任一个磁场区域时的速率v就等于所以。（注意：由于ab在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等，所以a穿出任一个磁场区域时的速率v都相等，所以所谓“第K个磁场区”，对本题解题没有特别意义。）例题4.（2009江苏）如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为L、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为。条形匀强磁场的宽度为，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面
8、垂直。长度为的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置。总质量为，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未画出）。线框的边长为（），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回。导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为。求：1) 装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；2) 线框第一次穿越磁场区域所需的时间；3) 经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离。【解答】设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框的安培力做功为W由动能定理且解得（1） 设线框刚离开
9、磁场下边界时的速度为，则接着向下运动由动能定理装置在磁场中运动的合力感应电动势感应电流安培力由牛顿第二定律，在到时间内，有则=有解得（2） 经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离之间往复运动，由动能定理解得。2、 在强化训练中提升能力1.（2004哈尔滨）如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。ab、cd是质量均为m的金属棒，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长。试求：（1）、ab、cd棒的最终速度；（2）、全过程中感应电流产生的焦耳热。2.(1999上海）如图所示，长电阻r0.3、m0
10、.1kg的金属棒CD垂直跨搁在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上，两导轨间距也是L，棒与导轨间接触良好，导轨电阻不计，导轨左端接有R0.5的电阻，量程为03.0A的电流表串接在一条导轨上，量程为01.0V的电压表接在电阻R的两端，垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过平面。现以向右恒定外力F使金属棒右移。当金属棒以v2m/s的速度在导轨平面上匀速滑动时，观察到电路中的一个电表正好满偏，而另一个电表未满偏。问：此满偏的电表是哪个表？说明理由。拉动金属棒的外力F多大？（3）此时撤去外力F，金属棒将逐渐慢下来，最终停止在导轨上。求从撤去外力到金属棒停止运动的过程中通过电阻R的电量。3.（2004广州）如图
11、所示，金属棒ab质量m5g，放在相距L1m、处于同一水平面上的两根光滑平行金属导轨最右端，导轨距地高h0.8m，电容器电容C400F，电源电动势E16V，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度B0.5T的匀强磁场中。单刀双掷开关S先打向1，稳定后再打向2，金属棒因安培力的作用被水平抛出，落到距轨道末端水平距离x6.4cm的地面上；空气阻力忽略不计，取g10m/s2.求金属棒ab抛出后电容器两端电压有多高？xCEKh214.（南京2010三模）如图所示，两根足够长的平行金属导轨由倾斜和水平两部分平滑连接组成，导轨间距，倾角=45，水平部分处于磁感应强度的匀强磁场中，磁场方向竖直向上，磁场左边界MN
12、与导轨垂直。金属棒质量，电阻，金属棒质量，电阻，导轨电阻不计，两棒与导轨间动摩擦因数。开始时，棒放在斜导轨上，与水平导轨高度差，棒放在水平轨上，距MN距离为。两棒均与导轨垂直，现将棒由静止释放，取。求：（1）棒运动到MN处的速度大小；（2）棒运动的最大加速度；（3）若导轨水平部分光滑，要使两棒不相碰，棒距离MN的最小距离。NchMbdaS0005. （2010模拟）如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨 MN、PQ 平行固定在倾角37的绝缘斜 面上，两导轨间距 L1m，导轨的电阻可忽略。M、P 两点间接有阻值为 R 的电阻。一 根质量 m1kg、电阻 r0.2?的均匀直金属杆 ab 放在两导轨上
13、，与导轨垂直且接触良 好。整套装置处于磁感应强度 B0.5T 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。自图示 位置起，杆 ab 受到大小为 F0.5v2（式中 v 为杆 ab 运动的速度，力 F 的单位为 N） 、 方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻 R 的电流随时 间均匀增大。g 取 10m/s2，sin370.6。 试判断金属37FRB杆 ab 在匀强磁场中做何种运动，并请写出推理过程； 求电阻 R 的阻值；（3）求金属杆下滑1m所需的时间t以及此过程产生的焦耳热。6.（2012虹口二模）如图（甲）所示，MN、PQ为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距L为0.5m，导轨左端连接一个阻值为2的定值电阻R，将一根质量为0.2kg的金属棒cd垂直放置在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒cd的电阻r=2，导轨电阻不计，整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度为B=2T。若棒以1m/s的初速度向右运动，同时对棒施加水平向右的拉力F作用，并保持拉力的功率恒为4W，从此时开始计时，经过一定时间t金属棒的速度稳定
