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1、-范文最新推荐-1 / 15引人入胜的高中数学多边形中点问题本文探讨了关于多边形中点的一类问题并得出结论：三角形的各中点三角形与原三角形相似；正多边形的情况与三角形的类似，而四边形的情况则有所不同.【关键词】三角形，四边形，正 n 边形，中点，相似，相似比.定义：任意一个 n 边形，顺次连结各边中点得到的图形称为这个 n 边形的第1 个中点 n 边形；顺次连结第 1 个中点 n 边形各边中点得到的图形称为第 2 个中点 n 边形；重复同样的方法 m 次，得到的第 m 个图形称为第 m 个中点 n 边形AAB1C2B2C1(m = 1,2,3,⋅ ⋅ ⋅ n = 3
2、,4,5,⋅ ⋅ ⋅) .− 1 )¸öÖеãËıßÐÎÊÇÁâÐά¶ø&mi-范文最新推荐-3 / 15cro;Ú 2k 个中点四这样，对矩形来说，它的第( 2k边形是矩形（ k =1,2,3,…. 由此不禁想到，任意四边形的各个中点四边形之间是否也存在着类似矩形的49这种规律？三角形
3、、四边形、正多边形与其各中点多边形在周长、面积上有何数量关系？本人对以上问题进行了一些思索，现将探索的结论与大家共同商讨一下.结论 1ºÈçͼ 1¬ÈÎÒâ ABC ，其第 m 个中点三角形 Am BmCm ABC ，相似比为12m，周长比为12m，面积比为14m（ m =1,2,3….-范文最新推荐-5 / 15证明略.结论 2ºÈçͼ 2¬ÈÎ&Og
4、rave;âËıßÐÎ ABCD ，顺次连结各边中点得到四边形A1 B1C1 D1 ；由此类推直到得到第 m 个中点四边形 Am BmCm Dm ，则 4= S − ( S DD1C1 + S A1BB1 + S AA1D1 + S B1CC1 ) = 111S1 , S 3 = S 2 ,⋅ ⋅ ⋅, S m = S m −1 .2221S.2同理， S 2∴ Sm=11S ，即四边形 Am BmCm Dm 的面积是四边形 -范文最新推荐-7 /
5、 15ABCD 的面积的 m22mA3 B3BCCDDA1= 3 3= 3 3= 3 3= ,A2 C 2 B2 D2 A2 C 2 B2 D2 2.(2)Ò×Ö¤¬而A2 C 2 = A1 D1 = B1C1 , B2 D2 = A1 B1 = D1C1 ,∴A3 B3 B3C3 C3 D3 D3 A3 1=.B1C1 D1C1 A1D1A1B1 2A1 B1C1 D1 为平行四边形， A2 ,C 2 分别为 A1 B1 , C1 D1 的中点四边形50∴A2 C 2 / B1C1 ；而 A3 B3 / A
6、2 C 2 ，∴A3 B3 / B1C1 ；-范文最新推荐-9 / 15∴ ∠B1 B2 A2= ∠B2 A3 B3 .同理， ∠B2 A2 B1∴ ∠A1 B1C1= ∠D3 A3 A2 ；= ∠B3 A3 D3 ；= ∠A3 B3C3 , ∠C1D1 A1 = ∠B3C3 D3 , ∠D1 A1C1 = ∠C3 D3 A3 ；1.2 1；四边形2同理， ∠B1C1 D1∴四边形A3 B3 C 3 D3 四边形 D1A1B1C1 ，相似比为同
7、理，四边形A2 k +1 B2 k +1C 2 k +1 D2 k +1 与四边形 A2 k −1 B2 k −1C 2 k −1 D2 k −1 相似，相似比为1（ k 为正整数）.-范文最新推荐-11 / 152A2 k + 2 B2 k + 2 C 2 k + 2 D2 k + 2 与四边形 A2k B2kC2k D2k 相似，相似比为即，奇数次得到的各中点四边形彼此相似，偶数次得到的各中点四边形也彼此相似.结论 3º n 边形的第 m 个中点 n 边形与原正 n 边形的相似比为 sin 正 B1 B2n−2= sin
8、 ∠OB1Q = sin(⋅ 90°) .nA1 A2即，正 n 边形 B1 B2 n−2⋅ ⋅ ⋅ Bn 与正 n 边形 A1 A2 ⋅ ⋅ ⋅ An 的相似比为 sin ⋅ 90° .nm由此类推，第 m 次得到的正 n 边形与原正 n 边形的相似比为 sinn−2⋅ 90° .nn边形的面积之比为-范文最新推荐-13 / 15猜想：任意n边形（n=3,4,5, … ） 其 第，m个中点n边形与原n−2sin 2 m &
9、sdot; 90° （ m =1,2,3….n分析与疑问：由结论 1½áÂÛ 2 可知，当 n =3 ，n =4 时猜想都成立. 假设 n= k (k ≥ 3 且 k 为整数）时猜想也成立；那么，如何由“当 nk −2= k 时的面积之比 sin 2 m ⋅ 90° ”证得“当 n = k + 1 时，k有无其他方法证得“猜想”成立？这“猜想”到底成不成立？-范文最新推荐-15 / 15面积之比为 sin2m (k + 1) − 2⋅ 90° ”？
