人教版高中数学必修2_全册教案

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1、第一章 空间几何体第一章 课文目录1空间几何体的结构 1空间几何体的三视图和直观图 13 空间几何体的表面积与体积 知识结构：表面积 体积度 量空间几何体柱体 球体 锥体 台体 中心投影 平行投影棱柱 圆柱 棱锥 圆锥 棱台 圆台 三视图 直观图 一、空间几何体的结构、三视图和直观图1柱、锥、台、球的结构特征圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三

2、角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角锥、四边锥、五边锥的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体。（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆

3、台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。圆台和棱台统称为台体。（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。几种常凸多面体间的关系一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质：名称 棱柱 直棱柱 正棱柱图 形定 义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱 平行且相

4、等 平行且相等 平行且相等侧面的形状 平行四边形 矩形 全等的矩形对角面的形状 平行四边形 矩形 矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台图形定义 有一个面是多 底面是正多边 用一个平行于 由正棱锥截得边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分的棱台侧棱 相交于一点但不一定相等 相交于一点且相等 延长线交于一点 相等且延长线交于一点侧面的形状三角形 全等的等腰三角形梯形 全等的等腰梯形对角面的形状三角形 等腰三角形 梯

5、形 等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等几种特殊四棱柱的特殊性质：名称 特殊性质平行六面体 底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体 侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体 底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体 棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分2空间几何体的三视图三视图是观测者从

6、不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；三视图画法规则：高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等3空间几何体的直观图（1）斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的 OX,OY,使=450（或 13

7、50） ，它们确定的平面表示水平平面；XOY画对应图形，在已知图形平行于 X 轴的线段，在直观图中画成平行于 X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于 Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线） 。（2）平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。注意：画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。例题讲解：例

8、 1将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 分别是 三边的中点）ABC， ， GHI得到几何体如图 2，则该几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）EFDIAH GB CEFDAB C侧视图 1 图 2BEABEBBECBED例 3正方体 ABCD_A1B1C1D1 的棱长为 2，点 M 是 BC 的中点，点 P 是平面 ABCD 内的一个动点，且满足 PM=2，P 到直线 A1D1 的距离为 ，则点 P 的轨迹是（ ）5A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线解析： 点 P 到 A1D1 的距离为 ，则点 P 到 AD 的距离为 1，满足此条件的 P 的轨迹5是到直线 AD 的距

9、离为 1 的两条平行直线，又 ， 满足此条件的 P 的轨迹是以 M 为圆心，半径为 2 的圆，这两种轨迹2M只有两个交点.故点 P 的轨迹是两个点。选项为 C。点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。例 4两相同的正四棱锥组成如图 1 所示的几何体，可放棱长为 1 的正方体内，使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）A1 个B2 个 C3 个D无穷多个解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形 ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四

10、棱锥底面正方形 ABCD 的面积，问题转化为边长为 1 的正方形的内接正方形有多少种，所以选D。点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。例 9画正五棱柱的直观图，使底面边长为 3cm 侧棱长为 5cm。解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于 Z 轴方向平移即可得。作法：（1）画轴：画 X，Y，Z轴，使XOY =45（或 135） ，XOZ=90 。（2）画底面：按 X轴，Y轴画正五边形的直观图 ABCDE。（3）画侧棱：过 A、B、C、 D、E 各点分别作 Z轴的平行线，并在

11、这些平行线上分别截取 AA，BB ，CC ，DD，EE。（4）成图：顺次连结 A， B，C，D，F，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线。点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。例 10 是正ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若 的面积B CBA为 ，那么ABC 的面积为_。3解析： 。62点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。逻辑思维能力。例 12多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点 A 在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到

12、 的距离分别为1，2 和 4，P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则 P 到平面 的距离可能是： 3； 4； 5； 6； 7以上结论正确的为_（写出所有正确结论的编号）解析：如图，B、D、A 1到平面 的距离分别为1、2、4，则 D、A 1的中点到平面 的距离为 3，所以 D1到平面 的距离为 6；B、A 1的中点到平面 的距离为 ，所以 B1到平面 的距离为 5；则 D、B 的5中点到平面 的距离为 ，所以 C 到平面 的距离32为 3；C、A 1的中点到平面 的距离为 ，所以 C1到72平面 的距离为 7；而 P 为 C、C 1、B 1、D 1中的一点，所以选。 A BCD A1 B1C1

13、D1A1点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。例 13（1）画出下列几何体的三视图解析：这二个几何体的三视图如下（2）如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图（单位：cm）点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。例 14某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状解析： 该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是 从三个不同的方向看同一物体得到的三个 视图。点 评：主视图反映物体的主要形状特征，主 要体现物体

14、的长和高，不反映物体的宽。 而俯视图和主视图共同反映物体的长要相 等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。二、空间几何体的表面积和体积1多面体的面积和体积公式：名称 侧面积(S 侧 ) 全面积(S 全 ) 体 积(V)棱柱 直截面周长l S 底 h=S 直截面 h棱柱 直棱柱 ch S 侧 +2S 底 S 底 h（2）棱锥 各侧面积之和棱锥 正棱锥 ch21S 侧 +S 底 S 底 h31棱台 各侧面面积之和棱台 正棱台 (c+c)h S 侧 +S 上底 +S 下底h(S 上底 +S 下底 +)下 底下 底 表中 S 表示面积，c、c 分别表示上、下底面周长，

15、h 表斜高，h表示斜高，l 表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式：名称 圆柱 圆锥 圆台 球S 侧 2rl rl (r 1+r2)lS 全 2r(l+r) r(l+r) (r 1+r2)l+(r21+r22) 4R2V r2h(即r 2l)r 2h31h(r 21+r1r2+r22)3R 34表中 l、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。3探究柱、锥、台的体积公式：1、棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积 和高 的积，即 ShVSh柱 体2、类似于柱体，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等棱锥的体积公式可把一个棱柱分成三个全等的棱锥得到，由于底面积为 ，高为 的棱柱的体积，所以 VSh棱 锥 13VSh锥 体3、台体（棱台、圆台）的体积可以转化为锥体的体积来计算如果台体的上、下底面面积分别为 ，高为 ，可以推得它的体积是