《高三复习知识梳理之四(导数及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三复习知识梳理之四(导数及其应用（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三复习知识梳理之四：导数及其应用（含定积分）【考点综述】本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则，为基础层面；第二层次是导数的简单应用，包括求单调区间、函数的极值、证明函数的增减性等，为导数应用的重点层次，以求导考察单调性为突破口；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的思想方法，这类问题用传统教材是难以甚至无法解决的；为导数应用的较高层次，用于设计压轴
2、题，突出导数应用的灵活性与思想方法的交汇性。预测：重点放在第二层次，已向第三层次进军（还常设计压轴题）！即：考查对导数本质的理解和计算，并力求结合应用问题，已经表现出逐步加深与综合考查的趋势，如已涉及理论探讨和较为严格的逻辑证明。【重点知识】1. 平均变化率及瞬时变化率：(1) 函数f(x)从x1到x2的平均变化率：（2）函数f(x)在x0处的瞬时变化率：=2. 导（函）数的定义：（1）在点x0处可导存在、都存在且相等。（2）在一点x=x0处的导数为=（3）若对任意都有=成立，则函数在区间上可导；在端点a、b处判断是否可导的方法是：若存在，则在（a,b上可导；若在存在，则在a,b）上可导；若，
3、都存在，则在a,b上可导。注：新课标对极限要求降低，上述定义涉及的极限表达式仅供理解定义本质时作参考。3. 基本初等函数的导数公式为常数）； 但不为零）； ； ； 4. 导数的四则运算法则 若的导数都存在，则：； 为常数）；特别地，；5. 复合函数求导公式（课本2021页）（1）复合层次的划分：对较为复杂函数准确求导的前提是：会熟练地进行复合函数层次的划分。以基本初等函数作为划分基本层次的标准。基本初等函数有以下六类：常函数；指数函数；对数函数；幂函数为常数）；三角函数； 反三角函数（略）。（2）求导法则设，则。例如：求导： 已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 6. 抽象函数求导问题
4、 如：设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是（ ）A. B. C. D.已知对任意实数，有，且时，则时（ ）ABCD【重点结论】1. 求导与单调性：若函数在区间I上可导，且使的点x仅有有限个，则在区间I上为严格递增（减）函数的充要条件为：对一切有 例如：1 / 16 已知函数在R上是减函数，求a的取值范围。 已知函数f(x) = 在(2，)内单调递减，求实数a的取值范围。2. 求导与极值：（课本2728页）若当时且当时，则为在上的极大（小）值。 注意：（1）正确理解极值定义： （2）极值也可能在不可导点取得，如：在处取得极小值，但是不可导。 （3）驻点即满足的点不一定是取得极值的
5、点，如：在点处。 综上，满足的点是此点是极值点的既不充分也不必要条件。 例如： 函数的极值点是（ ）A、x=2 B、x=1C、x=1或1或0D、x=0 求的极值点。已知函数的导数，若在处取到极大值，则的取值范围是 。（状元之路50页5）3. 求导与几何意义：以曲线上一点为切点的切线方程是（1）注意鉴别：“过曲线上一点的切线”与“在曲线上一点处的切线”的区别：“在曲线上一点处的切线”是指以此点为切点的切线，而“过曲线上一点的切线”只表示曲线的切线过“此点”，但是“此点”不一定就是切点！例如： 已知曲线，则过点P（2，4）的切线方程是 。（状元之路44页）练习：已知曲线上一点求过点P的切线方程。（
6、2）利用导数的几何意义识图：如 已知函数的导函数的图象如下图，那么的图象可能是（ ）4. 定积分重点结论（1）定义式；（2）面积与定积分的关系：若，则；若则；若，则。（面积与定积分的转化） “面积”与几何意义、物理意义（变力做功、位移等）均有密切关系。 （3）微积分基本定理：= F(b)-F(a)；（用于计算，寻找原函数） （4）（用于分段）【典例分析】题型1 求单调区间例1 设函数，其中a0。（1）求的单调区间；（2）解不等式1。题型2 研究极值问题例2 设函数f(x)=(a、b、c、dR)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值。(1)求a、b、c、d的值；(2)当x-1,1时，图
7、象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x1,x2-1,1时，求证：|f(x1)-f(x2)|。题型3 导数与图象特征结合例3 已知平面向量=(,-1)，=(,).(1) 证明；(2) 若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2-3) ，=-k+t，试求函数关系式k=f(t)；(3) 据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况. 例4已知函数在区间，内各有一个极值点（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式【启迪迁移】1已知函数（1）求曲线在
8、点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：总结：用导数方法讨论“函数与的图象交点个数”问题，一般步骤如下：1. 构造函数；2. 求导，研究的单调性与极值（必要时研究函数图象端点的极限情况）；3. 画出函数的图象（示意图），观察它与x轴的交点情况（以上不必写在卷面上），由此列出方程（组）或不等式（组）；4. 解方程或不等式（组）得解并作答。题型4 导数的实际应用例5 从边长为2a 的正方形铁片的四个角各截去一小块边为的正方形（如右图所示），再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度与底面正方形边长的比值不超过常数t. 问取何值时，容积V有最大值。题型5 用于证
9、明不等式或求“恒成立”型不等式参数范围（肇始于课本27页练习B3）例6 证明：当x0时，有【启迪迁移】1设函数。（）求函数的单调区间；（）已知对任意成立，求实数的取值范围。2. 已知数列an各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的nN*，都有4Sn=(an+1)2。(1)求数列an的通项公式；(2)若2ntSn对于任意的nN*成立，求实数t的最大值。3. 已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0ab,证明：0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.题型6.用于讨论某些超越方程的解例7讨论方程实根个数。 【启迪迁移】 1. 证明方
10、程x=sinx在(，)内只有一个实根。题型7.定积分应用 例8 求值：例9 求由抛物线，直线所围成图形的面积。例10 请先阅读：在等式（）的两边求导，得：，由求导法则得，化简得等式：（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：（2）对于正整数，求证：（i）；（ii）；（iii）【实战演练】一、选择题1对于R上可导的任意函数满足，则（ ）A. B. C. D. （状元之路49页）2已知曲线，这三条曲线与x=1的交点分别为A、B、C，又设k1、k2、k3分别为以A、B、C为切点且分别与这三条曲线相切的直线的斜率，则（ ） A k1k2k3 B k3k2k1 C k1k3k2
11、D k3k10，函数在上是单调增函数，则a的最大值是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 （状元之路47页4）4已知二次函数的导数为，对于任意实数x都有，则的最小值为（ ）A 3 B C 2 D （状元之路49页B1）5函数的导函数为，若，则实数x的取值范围是（ ） A. （0，1） B. C. D. 二、填空题6曲线与曲线在交点处的切线的夹角为 。7已知且，则的取值范围是 。8已知函数f (x)=ax3bx2，曲线y=f (x)过点P(1，2)，且在点P处的切线恰好与直线x3y=0垂直。若f (x)在区间m，m1上单调递增，则m的取值范围 。三、解答题9已知曲线，求与C1、C2均相切的直线
12、l的方程。10函数，过曲线上的点的切线方程为y=3x+1（1）若时有极值，求的表达式；（2）在（1）的条件下，求在-3，1上的最大值；（3）若函数在区间-2，1上单调递增，求b的取值范围。11某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线。（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效。 求服药一次治疗疾病有效的时间？当t=5时，第二次服药，问t时，药效是否连续？12设抛物线y=x2与直线y=xa（a是常数）有两个不同的交点
13、，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。13已知曲线。从点向曲线引斜率为的切线，切点为。（）求数列的通项公式；（）证明：。14. 已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）证明：若，则对于任意有。15. 已知函数f(x)=x+8x, g(x)=6lnx+m （）求f(x)在区间t,t+1上的最大值h(t);（）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。16.求定积分： (1) (2) 17. 已知,求值, 使.答案：【重点知识】5. 复合函数求导公式划分复合层次：， 求导：；法1 （代换法）由（1）得，即，（2）联立（1）（2）消去得，所求切线方程为，即 法2 （复合函数求导法）两边求导得，令x=1得 ，在原式中令x=1得，于是所求切线方程为，即注：法2用到复合函数求导的结论，此法的好处是可以不必求其解析式。6. 抽象函数求导问题构造特殊函数，适合题意要求，排除B,D；若取，可以排除C；故选A. 用结论：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，选B.【重点结论】1. 求导与单调性： 递减对任意恒成立
