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1、95503統資軟體課程講義統資軟體課程講義符號數學運算軟體符號數學運算軟體符號數學運算軟體符號數學運算軟體1銘傳大學應用統計資訊學系 蔡桂宏 製作何謂符號數學運算軟體何謂符號數學運算軟體n允許使用者作數學符號之運算允許使用者作數學符號之運算n可做無誤差的任意位數或者精確至任意位可做無誤差的任意位數或者精確至任意位數的算術和數學計算數的算術和數學計算n可做曲線區面等函數之二度可做曲線區面等函數之二度,三度空間繪圖三度空間繪圖及展示及展示n符號數學運算包含了符號數學運算包含了微分,積分,分解因式,多項式求解,泰勒級數,微分方程求解,拉普拉斯轉換,矩陣及線性代數運算,向量和向量微積分等2銘傳大學應用
2、統計資訊學系 蔡桂宏 製作範例範例1:基本代數及運算基本代數及運算# Basic algebra and arithmatics 5*(9-3)/2; simplify( (2/27)*(2/3); (1+ 2*I)*(4+ I); #基本計算基本計算 igcd(123, 456 , 789); ilcm(123, 456 , 789); lcm( x2 +2*x+1, x2-1, x3 +1); #最大公因數最大公因數 最小公最小公因數因數 式式 gcd(gcd( x2 +2*x+1, x2-1), x3 +1); # 因式分因式分解解convert(x/(x+2)2-3*x+2,parfr
3、ac,x); convert(exp(x),confrac,x); #部分分式 連續分式3銘傳大學應用統計資訊學系 蔡桂宏 製作範例範例2:基本代數及運算基本代數及運算 isprime(37); isprime(235-1); ifactor(235 -1); #質數判斷質數判斷 solve(3-x)2+(5-y)2=r2,(2-x)2+(4-y)2=r2,(6-x)2+(1-y)2=r2,x,y,r); #方方程式求解程式求解 solve (1/(1+x) + 1/(2+x) = 4 , x); solve(sqrt(x+1)-sqrt(x-1)=a,x); solve(sqrt(x)+sq
4、rt(y)-2,x-y+1,x,y); isolve(3*x-4*y=7); #求整數解求整數解4銘傳大學應用統計資訊學系 蔡桂宏 製作範例範例3:微積分的應用微積分的應用 limit( (x+h)3 - x3)/h, h = 0); limit(sin(x)/x, x=0); limit(x(1/x), x=infinity); limit(abs(x)/x, x=0); limit(abs(x)/x, x=0 , right); # 極限極限 含有無限大含有無限大 limit(sin(x)+tan(x)/(exp(x)+exp(-x)-2),x=0, left ); # LHopitals
5、 rule sum(1/n2,n=1.infinity); sum(n*xn/(n+1),n=1.infinity); # 級數求和級數求和 diff(exp(-x2) + log(x2-1), x); diff(x2+y3+2*x2* y2, x,y); # 微分微分 int(x3*cos(x), x); int(x3 * sqrt(x2-a2), x=a.2*a); int(1/(1+x2),x=0.infinity); int(1/(x+exp(x), x=0.1); evalf(%); #不定不定積分積分 及含有無限大的定積分及含有無限大的定積分5銘傳大學應用統計資訊學系 蔡桂宏 製作
6、範例範例4:微積分的應用微積分的應用 limit( (x+h)3 - x3)/h, h = 0); limit(sin(x)/x, x=0); limit(x(1/x), x=infinity); limit(abs(x)/x, x=0); limit(abs(x)/x, x=0 , right); # 極限極限 含有無限大含有無限大 limit(sin(x)+tan(x)/(exp(x)+exp(-x)-2),x=0, left ); # LHopitals rule sum(1/n2,n=1.infinity); sum(n*xn/(n+1),n=1.infinity); # 級數求和級數
7、求和 diff(exp(-x2) + log(x2-1), x); diff(x2+y3+2*x2* y2, x,y); # 微分微分 int(x3*cos(x), x); int(x3 * sqrt(x2-a2), x=a.2*a); int(1/(1+x2),x=0.infinity); int(1/(x+exp(x), x=0.1); evalf(%); #不定不定積分積分 及含有無限大的定積分及含有無限大的定積分6銘傳大學應用統計資訊學系 蔡桂宏 製作範例範例5:線性代數線性代數# Linear Algebra #examples;# 1. Hilbert Matrix. with (
8、linalg): # read library file mat_a:= hilbert(10);det(mat_a); #行列行列式式 ainv:=inverse(mat_a);# 反矩陣反矩陣 及利用來求解及利用來求解 vec_b:= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10; evalm(ainv &* vec_b); 7銘傳大學應用統計資訊學系 蔡桂宏 製作範例範例6: Inner product problem內積空間 # Define the inner product space by the integration of f(t)*g(t) from 0 to 2 Pi. Sh
9、ow that 1, sin(t), cos(t), sin(2t), cos(2t), . orthogonal to each other. int( sin(m*t) * cos(n*t), t=0.2*Pi); simplify(subs(m=3,n=100, %);int(sin(m*t) * sin(n*t), t=0.2*Pi); simplify(subs(m=3,n=100, %); int( cos(m*t) * cos(n*t), t=0.2*Pi); simplify(subs(m=3,n=100, %);# Hence we have shown that 1=cos
10、(0t), sin(t), cos(t),. are orthogonal to each # other. Next we will find the corresponding norms for these vectors; 8銘傳大學應用統計資訊學系 蔡桂宏 製作範例範例6: Inner product problem內積空間 int(sin(n*t) * sin(n*t), t=0.2*Pi); simplify(subs(n=97, %);int( cos(n*t) * cos(n*t), t=0.2*Pi); simplify(subs(n=100, %); int(1,t=0.
11、2*Pi);# Hence 1/sqrt(2Pi), sin(t)/c,cos(t)/c,sin(2t)/c,cos(2t)/c,. are orthonormal basis where c=sqrt(Pi); 9銘傳大學應用統計資訊學系 蔡桂宏 製作範例範例7:函數的近似與繪圖比較函數的近似與繪圖比較# Find the Continue Fraction , Taylor and Pade approximations for f(x):=exp(-x2) by using 2-D Plot. f:= exp(-x*2); cf:=convert(f, confrac,x); taylo
12、r(f,x=0,7); tf:=convert(%, polynom); with(numapprox); pf:= pade(f,x,5,5); plot(f,cf, tf, pf, x=-2.2); 10銘傳大學應用統計資訊學系 蔡桂宏 製作當前主要的符號數學運算軟體當前主要的符號數學運算軟體nMaplenMathematicanDerivenMacsyma11銘傳大學應用統計資訊學系 蔡桂宏 製作符號數學運算軟體之優越性符號數學運算軟體之優越性-1n所有數值運算軟體可得到之數值計算,在符號數學運算軟體均可獲得n能以符號,等式(不等式),等表達正確的數學關係n可做不定積分,微分方程求解等得
13、到數學公式而非僅得到數值解答n可做含有無限大為上下限之定積分和及數求和等數學運算12銘傳大學應用統計資訊學系 蔡桂宏 製作符號數學運算軟體之優越性符號數學運算軟體之優越性-2n可以完全克服數值計算之捨去誤差因而可得到合宜之解答n可做任意位數精確度的數學運算,使得所得之數值結果,誤差控制在適當的範圍內13銘傳大學應用統計資訊學系 蔡桂宏 製作Maple軟體的優越性軟體的優越性n數學函數庫最大範圍最廣n所得到的結果最具信賴nFourier轉換函數最完整適合工程師使用nHelp系統結合了網際網路使用方便,範例充足使用方便n可結合文書編輯製作圖文並茂,文章與數學結果並存的優異文書並能與視窗充分配合n自行定義函數及程序方便, 擁有討論社群,交流方便14銘傳大學應用統計資訊學系 蔡桂宏 製作
