导数的几何意义和应用导数求曲线的切线 典型例题： 例 1. （2012 年全国课标卷文 5 分）曲线在点（1,1）处的切线方程为 yx 3lnx1 【答案】y=4x3 【考点】导数的应用，曲线的切线方程 【解析】，yx 3lnx1 3 y3lnx1x=3lnx4 x x=1 y4 曲线在点（1,1）处的切线方程为，即yx 3lnx1y14 x1 y=4x3 例 2. （2012 年广东省理 5 分） 曲线在点 （1， 3） 处的切线方程为 3 3yxx 【答案】210 xy-+= 【考点】曲线的切线方程，导数的应用 【解析】，， 32 (3)31yxxx 1 |2 x y 由点斜式得所求的切线方程为 ，即32(1)yx-=-210 xy-+= 例 3. （2012 年辽宁省理 5 分）已知 P，Q 为抛物线上两点，点 P，Q 的横坐标分 2 2xy 别为 4，2，过 P、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于 A，则点 A 的纵坐标为 【答案】4 【考点】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法 【解析】点 P，Q 的横坐标分别为 4，2，代人抛物线方程得 P，Q 的纵坐标分别为 8，2。
由得，过点 P，Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4， 2 2xy 2 1 2 yxyx 2 过点 P，Q 的抛物线的切线方程分别为来源:Zxxk.Com48,22yxyx 联立方程组解得点 A 的纵坐标为4来源:Zxxk.Com1,4xy 例 4. （2012 年陕西省理 5 分）设函数，是由轴和曲线 ln ,0 ( ) 21,0 xx f x xx Dx 及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域， 则在上的最大值为 ( )yf x(1,0)2zxyD . 【答案】2 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，简单线性规划 【解析】 先求出曲线在点（1，0） 处的切线，然后画出区域 D，利用线性规划的方法求出目 标函数 z 的最大值即可： ，， 1 ,0 ( ) 2,0 x yfxx x (1)1 f 曲线及该曲线在点处的切线方( )yf x(1,0) 程为1yx=- 由轴和曲线及围成的封闭区域为三角形在点x( )yf x1yx=-2zxy(0,1)- 处取得最大值 2 例 5. （2012 年北京市理 13 分）已知函数 23 f xax1 a0 ,g xxbx （1）若曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求 a、b 的值； f x g x （2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间（，1）上的最大 2 a4b f xg x 值。
【答案】解：（1）（1，c）为公共切点， f 1a1=c, g 11b=c ，即a1 1bab 又， 2 f x2ax, gx3xb f 12a, g 13b 又曲线与曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线， f x g x 2a3b 解，得ab=3 （2），设 2 a4b 322 1 h x =f xg x =xaxa x+1 4 则 22 1 hx =3x2axa 4 令，解得 22 1 hx =3x2axa =0 4 12 aa x =x = 26 ， ，a0 aa 26 < 又在各区间的情况如下： hx x a 2 ， a 2 aa 26 ， a 6 a 6 ， hx 00 在单调递增， 在单调递减， 在 f xg x a 2 ， aa 26 ， a 6 ， 上单调递增 若，即时，最大值为； a 1 2 a2 f xg x 2 a f1g1 =a 4 若，即时，最大值为 aa 1 26 <<2a6< 最大值为 1。
f xg x 【考点】函数的单调区间和最大值，切线的斜率，导数的应用 【解析】（1）由曲线与曲线有公共点（1，c）可得；由曲线与 f x g x f 1 g 1 f x 曲线在它们的交点（1，c）处具有公共切线可得两切线的斜率相等，即 g x f 1 g 1 联立两式即可求出 a、b 的值 （2）由 得到只含一个参数的方程，求导可得的 2 a4b f xg x f xg x 单调区间；根据 ，和三种情况讨论的最大值 a 1 2 aa 1 26 < n 当 n=0，1，2 时，显然 3 1721 n n 当时，对所有自然数都成立17a 3 3 ( )1 ( )11 f nn f nn 满足条件的的最小值是a17 （ ） 由 （ 1 ） 知， 则，( )= n f na 2 11 11 = ( )(2 ) nn kk kk f kfkaa (1)( ) (0)(1)1 n ff naa ffa 下面证明： 1 127(1)( ) ( )(2 )4(0)(1) n k ff n f kfkff 首先证明：当 0
2 27 ( )()1,01 4 g xx xxx 812 ( )() 43 g xx x 当时，；当时，， 2 0 3 x x0g（ ） 2 1 3 x( )0g x 在区间（0,1）上的最小值 min=g )g x( )g x0) 3 2 ( 当 0
)yf x(1,(1))f 3 2 yx 3 (1) 2 f 13 2 ab a 又， 2 1 ( )fxa ax 13 (1) 2 fa a 解得：2,1ab 【考点】基本不等式的应用，导数的应用 【解析】 （I）应用基本不等式即可求得的最小值 22 2abab( )f x （II）由和联立方程组，求解即可求得的值 3 (1) 2 f 3 (1) 2 f , a b 例 8. （2012 年湖北省文 14 分）设函数 f(x)axn(1x)b(x0)，n 为整数，a，b 为常 数曲线 yf(x)在(1，f(1))处的切线方程为 xy1. （）求 a，b 的值； （II）求函数 f(x)的最大值； （III）证明：f(x). 1 ne 【答案】解：（）f(1)b，由点(1，b)在 xy1 上，可得 1b1，即 b0 f(x)anxn1a(n1)xn，f(1)a 又切线 xy1 的斜率为1，a1，即 a1 a1，b0 （II）由（）知，f(x)xn(1x)xnxn1，f(x)(n1)xn1 ( n n1x) 令 f(x)0，解得 x，即 f(x)在(0，)上有唯一零点 x0。
n n1 n n1 在上，f(x)0，f(x)单调递增；在上，f(x)<0，f(x) (0， n n1) ( n n1，) 单调递减， f(x)在(0，)上的最大值为 f n ( n n1) ( n n1) (1 n n1) nn n1n1 （III）证明：令 (t)lnt1 (t0)，则 (t) (t0) 1 t 1 t 1 t2 t1 t2 在(0,1)上，(t)0，(t)单调递减；在(1，)上，(t)0，(t)单调递 增， (t)在(0，)上的最小值为 (1)0 (t)0(t1)，即 lnt1 (t 1 t 1) 令 t1 ，得 ln，即 ln n1lne 1 n n1 n 1 n1 ( n1 n ) n1e，即 ( n1 n ) nn n1n1 1 ne 由（II）知，f(x)，所证不等式成立 nn n1n1 1 ne 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究曲线 上某点切线方程来源:Z.xx.k.Com 【解析】 （I）由题意曲线 yf(x)在(1，f(1))处的切线方程为 xy1，故可根据导数的几何 意义与切点处的函数值建立关于参数的方程求出两参数的值。
（II）由于 f(x)xn(1x)xnxn1，可求 f(x)(n1)xn1，利用导数研究 ( n n1x) 函数的单调性，即可求出函数的最大值 （III） 结合（II） ，欲证 ： f(x)由于函数 f(x)的最大值 f n 1 ne ( n n1) ( n n1) (1 n n1) ，故此不等式证明问题可转化为证明 ，对此不等式两边求以 e 为底 nn n1n1 nn n1n1 1 ne 的对数发现，可构造函数 (t)lnt1 (t0)，借助函数的最值辅助证明不等式 1 t 例 9. （2012 年湖南省理 13 分）已知函数，其中0.( ) a x f xexa （）若对一切R，1 恒成立，求的取值集合.x( )f xa （） 在函数的图像上取定两点，记直线 AB 的斜( )f x 112212 ( ,()), (,())()A xf xB xf xxx 率为，问：是否存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不k 012 xxx （ ， ） 0 ()fxk 0 x 存在，请说明理由. 【答案】解：（）若，则对一切，，这与题设矛盾，0a 0 x ( )f x1 ax ex 又，故0a 0a 令。
)1, ax fxae 11 ( )0,lnfxx aa 得 当时，单调递减； 11 lnx aa ( )0,( )fxf x 当时，单调递增. 11 lnx aa ( )0,( )fxf x 当时，取最小值 11 lnx aa ( )f x 11111 (ln)lnf aaaaa 于 是 对 一 切恒 成 立 ， 当 且 仅 当,( )1xR f x 111 ln1 aaa 令则 )ln ,g tttt ( )lng tt 当时，单调递增 ； 当时，单调01t ( )0, ( )g tg t1t ( )0, ( )g tg t 递减， 当时，取最大值1t ( )g t(1)1g 当且仅当即时，式成立来源:学科网 ZXXK 1 1 a 1a 综上所述，的取值集合为来源:学网a 1 （）存在由题意知， 21 21 2121 ()() 1 axax f xf xee k xxxx 令则 21 21 ( )( ), axax ax ee xfxkae xx 1 21 () 121 21 ()() 1 , ax a xx e xea xx xx 2 12 () 212 21 ()() 1 ax a xx e xea xx xx 令，则。
)1 t F tet ( )1 t F te 当时，单调递减；当时，单调0t ( )0,( )F tF t0t ( )0,( )F tF t 递增， 当，即0t ( )(0)0,F tF10 t et ， 21 () 21 () 10 a x。