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1、1,10.4 环路定理和电势,！,一 .静电场的保守性 环路定理,即点电荷电场中，静电场力的功只与路径的起点和终点位置有关，而与路径形状无关。,dlcos = dr,qo在q的电场中，由a到b, 电场力的功为,2,可见，在点电荷系的电场中，静电场力的功也只与路径的起点和终点位置有关，而与路径形状无关。,qo在点电荷系q1,q2,qn的电场中，从a到b，电场力的功为,3,在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分(环流)为零。这就是静电场的环路定理。 环路定理表明:,静电场是保守力场，也就是无旋场。,令电荷qo在静电场 中沿环路L移动,可得：,4,矢量微分算符：,旋度：,无旋场：,也称为环路定理
2、的微分表达形式。,5,可见，静电场力的功可写为,我们定义：,wa是qo在a点时系统的电势能; wb是qo在b点时系统的电势能。,则有：电场力的功等于电势能增量的负值。,二 .电势能,6,若取b点为电势能的零点(零势点)，则qo在a点的电势能为,上式的意义是：qo在场中某点a的电势能等于将qo从该点a经任意路径移到零势点时电场力对qo所作的功。,wa-wb=-(wb-wa),7,我们定义：场中a点的电势 ：,电场中某点的电势等于单位正电荷在该点的电势能；,也等于将单位正电荷从该点经过任意路径移到零势点时电场力所作的功。,三 .电势和电势差,8,得,得,电势差(电压) = 两点电势之差,9,(1)
3、原则上电势零点可任意选择，视方便而定 。 对有限大小的带电体,规定取无穷远为零势点,于是,在实际问题中，也常常选大地的电势为零。 (2)电势是相对量，随零势点的不同而不同。而电势差是绝对量，与电势零点的选择无关。 (3)电势是标量, 没有方向, 其值可正可负。,10,1.点电荷q场中p点的电势,即点电荷的电势、电场为,取无穷远为电势零点，由定义式有,&,四. 电势的计算,11,2.点电荷系(q1,q2,qiqn)场中的电势,即,式中: Ui代表第i个点电荷qi单独存在时在a点产生的电势。 上式表明:一个点电荷系的电场中任一点的电势等于每一个点电荷单独存在时在该点所产生的电势的代数和。这一结论称
4、作电势叠加原理。,因,12,3.带电体电场中的电势,第二种方法：按电势的定义式进行计算：,以上内容的学习重点：熟练掌握求电势、电势差及电场力作功的方法。,(用高斯定理求电场),第一种方法：将带电体分为许多电荷元dq(点电荷)，利用点电荷的电势公式积分:,13,解,Uo=,+1,= - Uo,例题4.1 (1)正六边形边长a，单位正电荷从到中心o点，电场力的功为,14,解,(2)点电荷qo从a经半圆b移到c的过程中,电场力对qo的功为,15,问: qo从abc, 电场力的功A=?,=0,16,解,或：无穷远为电势零点时有,A、B点间的电势差即为所求：,= 45V,(3) q=10-9C，A、B与
5、q相距分别为10cm、20cm。取B点电势为零，求A点电势。,17,例题4.2 长L的均匀带电直线段带电q；求P点的电势。(取无穷远为电势零点),解 将带电直线分为许多电荷元dq(点电荷)，利用点电荷电势公式积分：,18,Uo=,解,Up=,例题4.3 求圆弧圆心、圆环轴线上的电势。(取无穷远为电势零点),19,.2rdr,4od,例题4.4 求均匀带电薄圆盘( 、R)轴线上任一点的电势。(取无穷远为电势零点),解 将圆盘分为若干个圆环,利用圆环公式积分。,20,例题4.5 一圆台(R1、R2)，侧面均匀带电，电荷面密度为，求顶点o的电势。(取无穷远为电势零点),解, 2rdx,4ox,由于,
6、得,21,解 将平面分为若干个圆环积分。,x, 2rdr,圆环:,例题4.6 一无限大平面( ), 中部有一半径为R的圆孔，求圆孔中心轴线上p的场强和电势。 (取o点的电势为零),22,取o点的电势为零, 求p点的电势。,23,解,r R:,r R:,例题4.7 求均匀带电球面(R、q)内外的电势分布。(取无限远处的电势为零 ),24,例题4.8 均匀带电球壳(R1R2， )，求各区域的电势。,解,0,25,R1 r R2:,r R2:,r R1:,26,rR:,rR:,例题4.10 一带电球体(R， =Ar, A为常量)；求: 球内外的电场和电势。,解 (1)电场,27,(2)电势,rR:,
7、rR:,28,解 (1) 设内外圆筒单位长度分别带电，,R1rR2:,例题4.11 两同轴金属薄圆筒(R1=0.5mm， R2=4.5 mm)，V=UB-UA=300伏, 忽略边缘效 应，求: (1)两筒间的电场；,29,故电场为,两筒间的电势差：,V=UB-UA=300伏,30,(2)一电子刚从A筒表面出发时所受的力:,方向沿半径指向B 筒。,(3)电子到达B筒时的速度。, = 1.03107(m/s)。,31,(4)若击穿场强Eo=200kV/cm, R1可调整, 能承受的最大电压是多少?,=33kV,32,解,dx,dx,例题4.12 均匀带电球面(R，q)外有一均匀带电细线( , 长为
8、l )。求细线受的力和细线在球面电场中的电势能。,33,五 . 等势面与电势梯度,等势面与场强之间有如下的一般关系: (1)电场强度方向与等势面处处正交，并指向电势降低的方向。 (2)等势面分布较密的地方，电场强度较大。 (3)电荷沿等势面移动时，电场力不作功。,电场中,电势相等的点所组成的曲面叫等势面。,34,电偶极子的电场线和等势面,思考：有无可能存在平行但距离不均匀的电场线？,35,设有两个十分接近的等势面1和2，其电势分别为U和U+dU，并设dU0。,电势沿法线方向的变化率最大。,我们定义：场中某点电势梯度矢量的方向为该点电势增加率最大的方向，,其大小等于沿该方向单位长度上的电势增量。
9、,是沿等势面法线的单位矢量，方向指向电势升高的方向。,36,(gradient梯度), 矢量微分算符（梯度算符）,于是有,37,注意到dn=dlcos, 于是有,表明：静电场中任何一点的电场强度等于该点电势梯度矢量的负值。,38,即电场强度在任一方向的分量等于电势沿该方向上的空间变化率的负值。 在直角坐标系中，显然有,39,1.场强大的地方，电势一定高。,6.场强不变的空间，电势处处相等。,5.电势不变的空间，场强处处相等。,4.电势为零的地方，电场也一定为零。,3.电场为零的地方，电势也一定为零。,2.电势高的地方，电场一定大。,问题：,40,例题4.13 求半径为R、均匀带电q的圆环轴线上一点的电势和场强。,解,41,解,例题4.14 设空间电势分布为: U=2xy2, 求空间电场分布。,42,例题4.15 设空间电场分布为: 求空间电势分布。,解,43,
