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1、几种常见函数的几种常见函数的 导导 数数一、复习一、复习1.解析几何中解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与过曲线某点的切线的斜率的精确描述与 求值求值;物理学中物理学中,物体运动过程中物体运动过程中,在某时刻的瞬时速在某时刻的瞬时速 度的精确描述与求值等度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同都是极限思想得到本质相同 的数学表达式的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和将它们抽象归纳为一个统一的概念和 公式公式导数导数,导数源于实践导数源于实践,又服务于实践又服务于实践.2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:说明说明:上面的方法中把上面的方法中把x换换x0即为求函
2、数在点即为求函数在点x0处的处的 导数导数. 3.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x= x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 4.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y= f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。（2）根据直线方程
3、的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即二、新课二、新课几种常见函数的导数几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式公式1: .公式公式2: .公式公式3: .公式公式4: 三、例题选讲三、例题选讲例例1:求过曲线求过曲线y=cosx上点上点P( )且与过这点的切线垂且与过这点的切线垂 直的直线方程直的直线方程.注注:满足条件的直线称为曲线在满足条件的直线称为曲线在P点的点的法线法线.O A xM Py例例2:如图如图,质点质点P在半径为在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速的圆上逆时针做匀角速 运动运动
4、,角速度角速度1rad/s,设设A为起始点为起始点,求时刻求时刻t时时,点点P在在 y轴上的射影点轴上的射影点M的速度的速度.解解:时刻时刻t时时,因为角速度因为角速度1rad/s, 所以所以 .故点故点M的运动方程为的运动方程为:y=10sint.故时刻故时刻t时时,点点P在在 y轴上的射影点轴上的射影点M的速度为的速度为10costcm/s.例例3:已知两条曲线已知两条曲线y=sinx,y=cosx,问是否存在这两条问是否存在这两条 曲线的一个公共点曲线的一个公共点,使在这一点处使在这一点处,两条曲线的切两条曲线的切线线 互相垂直互相垂直?并说明理由并说明理由.解解:设存在一个公共点设存在
5、一个公共点P(x0,y0)满足题设条件满足题设条件.由两条曲线的切线在点由两条曲线的切线在点P互相垂直互相垂直,则则cosx0(-sinx0) =-1,得得sinx0cosx0=1,即即sin2x0=2.这不可能这不可能,所以不存在满足题设条件的一个点所以不存在满足题设条件的一个点.练习练习1:曲线曲线y=sinx在点在点P( )处的切线的倾斜角为处的切线的倾斜角为 _.例例4:已知曲线已知曲线 在点在点P(1,1)处的切线与直线处的切线与直线m平行且平行且 距离等于距离等于 ,求直线求直线m的方程的方程.设直线设直线m的方程为的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公由平行线间的距离公式得式得:故所求的直线故所求的直线m的方程为的方程为3x+y+6=0或或3x+y-14=0.四、小结与作业四、小结与作业1.要切实掌握四种常见函数的导数公式要切实掌握四种常见函数的导数公式:(1) (c为为常常 数数;(2) ;(3) ;(4)2.对于简单函数的求导对于简单函数的求导,关键是合理转化函数关系式为关键是合理转化函数关系式为 可以直接应用公式的基本函数的模式可以直接应用公式的基本函数的模式.3.能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综能结合直线的知识来解决一些与切线有关的较为综 合性问题合性问题.4.作业作业:p.233234课后强化训练课后强化训练.
