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1、2 立重复试验与二项分布 自 主 预 习 学习目标 理解二项分布3能利用独立重复试验模型及二项分布解决一些简单的实际问题 点是 难点是应用二项分布解决实际问题 独立重复试验 在 条件下 做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验 相同 重复问题思考 1 ： 在 n 次独立重复试 验中，各次试验的结果相互有影响吗？ 提示： 在 n 次独立重复试验中，各次试验的结果相互间无影响因为每次试验是在相同条件下独立进行的 2 二项分布 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，则 P ( X k ) ( k 0,1,2 ， ， n ) 此时称随机变
2、量 X 服从二项分布，记作 ，并称 p 为 X B(n， p) 成功概率C kn p k (1 p ) n k 问题思考 2 ： 二项分布与两点分布的关系是什么？ 提示： 二项分布是指 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率分布列，需 要在相同条件下做 n 次试验，两点分布指的是一次试验的两个结果的概率分布两者的含义不同，将两点分布的试验进行 n 次，恰好发生 k 次的概率分布就成了二项分布 . 要 点 导 学 要点一 独立重复试验的概率求法运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为 n 次独立重复 试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只
3、有两种 ( 即要么发生，要么不发生 ) ，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率 某气象站天气预报的准确率为 80% ，计算：( 结果保留到小数点后面第 2 位 ) (1) 5 次预报中恰有 2 次准确的概率； (2) 5 次预报中至少有 2 次准确的概率 (3) 5 次预报中恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率 【思路启迪】 由于 5 次预报是相互独立的，且结果只有两种 ( 准确或不准确 ) ，符合独立重复 试验模型 【解】 (1) 记预报一次准确为事件 A ， 则 P ( A ) 5 次预报相当于 5 次独立重复试验， 2 次准确的概率为 P 因此 5
4、次预报中恰有 2 次准确的概率为 (2) “ 5 次预报中至少有 2 次准确 ” 的对立事件为 “ 5 次预报全部不准确或只有 1 次准确 ” ， 其概率为 P ( 2 所求概率为 1 P 1 0 (3) 说明第 1, 2,4,5 次中恰有 1 次准确 概率为 P 8 恰有 2 次准确，且其中第 3 次预报准确的概率约为 独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，解决此类题型常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式 一位病人服用某种新药后被治愈的概率为 服用这种新药的有甲、乙、丙 3 位病人，且各人之间互不影响，有下列结论： 3 位病人都被治愈的概率为 3
5、人中的甲被治愈的概率为 3 人中恰好有 2 人被治愈的概率是 2 3 人中恰好有 2 人未被治愈的概率是 3 3 人中恰好有 2 人被治愈， 其中正确结论的序号是 _ ( 把正确结论的序号都填上 ) 解析： 中事件为 3 次独立重复试验恰有 3 次发生的概率，其概率为 正确；由独立重复试验中，事件 A 发生的概率 相同，知 正确； 中恰有 2 人被治愈的概率为 P ( X 2) p ) 3 从而 错误； 中恰好有 2 人未被治愈相当于恰好 1 人被治愈，故概率为 3 而 正确 中恰有 2 人被治愈且甲被治愈，可分为甲、乙被治愈，丙未被治愈或甲、丙被治愈，乙未被治愈，其概率为 2 从而 错误 答
6、案： 要点二 二项分布二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布，它应用十分广泛，利用二项分布的模型可以快速地写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量取每一个具体概率值的过程，因此我们应熟练掌握二项分布，利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为 n 次独立重复试验，随机变量是否为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布 从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 的分布列 【思路启迪】 求随机变
7、量的分布列，首先应根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值，然后再计算离散型随机变量取各个值的概率 【解】 由题意 B3 ，25，则 P ( k ) 25k353 k P ( 0) 25035327125； P ( 1) 25135254125； P ( 2) 25235136125； P ( 3) 2538125. 所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3 P 2712554125361258125 二项分布的主要应用是求 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率解题的一般思路是：根据题意设出随机变量 分析出随机变量服从二项分布 找到参数 n ， p 写出二项分布的分布列 将 k
8、 值代入求解概率 某大厦的一部 电梯从底层出发后只能在第 18,19,20 层停靠若该电梯在底层载有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用 X 表示这 5 位乘客在第 20 层下电梯的人数，求随机变量 X 的分布列 解： 可视一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验，相当于做了 5 次独立重复试验，故 X B5 ，13，所以 P ( X k ) 13k235 k， k 0,1,2,3,4,5. 从而 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 32243802438024340243102431243要点三 独立重复试验与二项分布的综合应用对于概率问题的综合题
9、， 首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是 A B 还是确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、 n 次独立重复试验的概率公式求解 某学生在上学路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是 2 m (1) 求 这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2) 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4 m 概率 【思路启迪】 (1) 第三个路
10、口首次遇到红灯，表示前 2 个路口是绿灯，第 3 个路口是红灯 (2) 中事件指这名学生在上学路上最多遇到 2 个红灯 【解】 (1) 设 “ 这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯 ” 为事件 A . 因为事件 A 等价于事件 “ 这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯 ” ，所以事件 A 的概率为 P ( A ) 1 131 1313427. (2) 设 “ 这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是 4 m 为事件 B ， “ 这名学生在上学路上遇到 k 次红灯 ”为事件 k 0,1,2,3,4) 由题意得 P ( 2341681， P ( 1312333
11、281， P ( 1322322481. 由于事件 B 等价于事件 “ 这名学生在上学路上至多遇到 2次红灯 ” ，所以事件 B 的概率为 P ( B ) P ( B 0 ) P ( B 1 ) P ( B 2 ) 89. 在解含有相互独立事件的概率题时，首先要把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次要将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积这两个步骤做好了，问题的思路就清晰了，接下来就是按照相关的概率值进行计算的问题了如果某些相互独立事件符合独立重复试验模型，就可将这部分用独立重复试验的概率计算公式解答这就是解决含有相互独立事件的概率题的基本思路 甲、乙两队参加知识竞赛，每队
12、3 人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中 3 人答对的概率分别为23，23，12，且各人回答正确与否相互之间没有影响用 表示甲队的总得分 (1) 求随机变量 的分布列 (2) 用 A 表示 “ 甲、乙两个队总得分之和等于 3 ” 这一事件，用 B 表示 “ 甲队总得分大于乙队总得分 ” 这一事件，求P ( 解： (1) 由题意知， 的可能取值为 0,1,2,3 ，且 P ( 0) 1 233127， P ( 1) 1 23229， P ( 2) 2321 2349， P ( 3) 233827. 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 1272949827(2) 用 C 表示 “ 甲得 2 分乙得 1 分 ” 这一事件，用 D 表示 “ 甲得 3 分乙得 0 分 ” 这 一事件，所以 C D ，且 C ， D 互斥，又 P ( C ) 2321 23 23131213231213 13121034 ， P ( D ) 233131312435 ， 由互斥
