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1、贵州省毕节市纳雍县第五中学2021-2021学年高一数学上学期期中试题(含解析)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列集合与3,4是同一集合的是( )A. 3,4B. (3,4)C. (4,3)D. 4,3【答案】D【解析】【分析】分别对A,B,C,D进行分析,从而得出答案【详解】对于A中元素是集合,而不是实数,所以不是同一个集合;而B、C选项的集合是点集,不是数集,所以不是同一个集合;对于D:由集合的互异性得:4,3与3,4是同一个集合,故选:D【点睛】本题考查了集合的相等问题,注意看清集合中的元素,属于基础题2.已知函数,则的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4
2、【答案】D【解析】 由函数 ,可得,所以,故选D.3.用二分法计算在内的根的过程中得:, ,则方程的根落在区间( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】首先根据题中所给的条件, ,根据函数零点存在性定理求得结果.【详解】用二分法计算在内的根的过程中得:, ,而方程的根就是函数的零点,根据函数零点的存在性定理可得方程的根落在区间内,故选D.【点睛】该题考查的是有关方程的根所在的区间的判断问题,涉及到的知识点有函数零点存在性定理,属于简单题目.4.下列函数中,在其定义域内既为奇函数且又为增函数的是()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行
3、判断即可【详解】解:A函数是奇函数,在定义域上不是单调函数 B函数是奇函数,在(-,+)上是增函数,满足条件 C,函数是偶函数,不满足条件 D,函数是偶函数,不满足条件 故选:B【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见函数的单调性和奇偶性5.设P是平面内的动点,AB是两个定点,则属于集合P|PA=PB的点组成的图形是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 线段AB的垂直平分线D. 直线AB【答案】C【解析】【分析】利用集合与线段的垂直平分线点性质即可得出结论【详解】解:P是平面内的动点,AB是两个定点,则属于集合P|PA=PB的点组成的图形是线段AB的垂直平分线 故选:
4、C【点睛】本题考查了集合与线段的垂直平分线点性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题6.已知函数是R上的偶函数,且,则下列各式一定成立的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数是偶函数,将结论转化为f(3)和f(1)的大小关系进行判断即可【详解】因为函数是偶函数,所以f(1)=f(1),因为f(3)f(1),所以f(3)f(1)故选:C【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用,比较基础7.若3a=5b=225,则+=()A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】先化对数式,再由换底公式可得结果.【详解】解: 则故选:A【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对
5、数的换底公式的简单应用,属于基础试题8.设,则的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】解:首先,b,c都小于1,又故选A点评:本题考查对数值大小关系的比较,是基础题解题时要认真审题,仔细解答,注意对数函数和指数函数性质的灵活运用9.若,则下列等式中正确的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由,所以A是错误的; 由,所以B是错误的; 由,所以C是错误的,故选D.点睛:本题主要考查了实数指数幂的运算法则和对数的运算法则,试题比较基础,属于基础题,解题时要认真审题,注意实数指数幂和对数的运算法则的合理运用,其中熟记实数指数幂的运算法则和对数的运算公式是解答此类问题
6、的关键.10.下列四组中,与表示同一函数的是( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】D【解析】【分析】A项对应关系不同;B项定义域不同;C项定义域不同,初步判定选D【详解】对A,与对应关系不同,故A错对B,中,定义域,与定义域不同,故B错对C,中,定义域,与定义域不同,故C错对D,当时,当时,故,D正确故选:D【点睛】本题考查同一函数的判断,应把握两个基本原则:定义域相同;对应关系相同(化简后的函数表达式一样)11.已知函数的定义域是R,则实数a的取值范围是()A. aB. 12a0C. 12a0D. a【答案】B【解析】【分析】由题意可知对于一切实数都成立,分类讨论,求出实数a的取值范
7、围.【详解】由题意可知对于一切实数都成立,当a0时,不等式成立,即符合题意;当时,要想对于一切实数都成立,只需,解得12a0,综上所述,实数a的取值范围是12a0,故本题选B.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,考查了分类思想.12.对于任意实数x,符号 x表示不超过x的最大整数(如,则的值为( )A. 0B. C. D. 1【答案】C【解析】 由题意得,故选C.点睛:本题主要考查了对数的运算法则的应用,其中解答中熟记对数的运算法则和对数的运算性质,估算出每个式子的近似值是解答的关键,同时要认真审题,仔细作答和正确理解函数的定义,试题有一定的难度,属于中档试题.二、填空题(本大题共4小题,每小
8、题5分,共20分)13.若幂函数的图象经过点,则的值是_;【答案】【解析】由条件得,即,所以。,。答案:14.函数的图像一定经过定点为_【答案】【解析】【分析】令对数的真数等于1,求得x、y的值,即为定点的坐标【详解】令2x31,求得x2,y3,故函数y3+loga(2x3)的图象必经过的定点坐标为(2,3),故答案为:(2,3)【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题,属于基础题15.函数的零点个数是_个.【答案】2【解析】【分析】由题意可求得方程的实根个数,通分后解得分子为0的实根即可得交点个数【详解】的零点即为方程的实根,即的实根,即求的实根,解得,有两个根,所以f(x)的零点个数
9、为2故答案为:2【点睛】本题考查函数的零点个数,考查了函数与方程的关系,注意运用转化思想,属于基础题16.函数的单调增区间为 【答案】【解析】试题分析:,或,在时递减,在时递增,又单调递减,所以原函数的单调减区间是考点:函数的单调性【名师点晴】本题考查复合函数单调性,函数,的值域为,且,则复合函数的单调性与的关系是:同增或同减时,是单调递增,当的单调性相反时,是单调递减求函数的单调区间必先求函数的定义域,象本题由得或,然后在区间和上分别研究其单调性即可三、解答题(本大题共6小题,第17题10分,其余每题12分,共70分)17.设全集R,求及.【答案】 ;【解析】【分析】由已知条件,利用并集、交
10、集、补集的性质,能求出结果【详解】Ax|x7,Bx|2x10,ABx|2x7;又ABx|x10;R(AB)x|x2或x10;【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算,是基础题,解题时要注意不等式性质的合理运用18.求下列各式的值(1) (2)【答案】(1)-1; (2)【解析】【分析】(1)根据指数的运算性质解答即可;(2)根据对数的运算性质解答即可【详解】(1)原式 .(2)原式 +lg(254)+2+lg102+2.【点睛】本题主要考查指数幂的运算和对数的运算性质的应用,属于基础题19.已知集合是函数的定义域.(1)求集合,并求出满足不等式的的取值范围;(2)若集合是函数的值域,求出集合,并
11、求出.【答案】(1) ; (2) ;【解析】【分析】(1)通过对数的真数大于0即可求出函数的定义域,得到集合A,利用对数函数的运算性质化简不等式,然后求解的x的取值范围;(2)利用指数函数的单调性,求出函数g(x)2x,x1,2的值域,得到集合B,然后求出AUB【详解】(1)函数有意义的条件是,得, 故函数的定义域是,即.,原不等式变形为. 又函数是单调减函数,得. 又因为, 所求的取值范围是 (2)函数在区间上是单调增函数, , 故函数的值域是, 即 .【点睛】本题考查指数函数与对数函数的单调性的应用,考查函数的定义域,集合的并集的求法,考查计算能力20.已知函数 .(1)求的定义域.(2)
12、用定义法证明的奇偶性.【答案】(1) (-1,1) (2) 奇函数.证明见解析【解析】【分析】(1)由题意可得0,解不等式即可得到所求定义域;(2)函数为奇函数,首先判断定义域是否关于原点对称,再计算f(x),与f(x)比较即可得到结论【详解】(1)函数有意义,可得0,即(1x)(1+x)0,解得1x1,则定义域为(1,1);(2)函数为奇函数,定义域(1,1)关于原点对称,且f(x)lglgf(x),则f(x)为奇函数【点睛】本题考查函数的定义域和奇偶性的判断,注意运用定义法解题,考查运算能力,属于基础题21.已知为偶函数,且时,.(1)判断函数在上的单调性,并证明;(2)若在上的值域是,求
13、的值;(3)求时函数的解析式.【答案】(1) 增函数,证明见解析;(2) (3) 【解析】【分析】(1)利用函数的单调性的定义进行判断和证明即可.(2)由(1)可知函数f(x)在区间,2上的单调性,结合单调性及已知函数的值域可求a。(3)可设x(,0),则x(0,+),结合已知x0时函数解析式及函数为偶函数可求.【详解】(1)函数在上是增函数证明如下:任取,设, ,即,在上为增函数 (2)由(1)知函数在区间上是增函数,值域为, , 即,解得. (3)设,则,. 又因为为偶函数,所以.【点睛】本题综合考查了函数的单调性、函数的奇偶性及函数的值域等知识的综合应用,解题的关键是熟练掌握函数的基本性
14、质.22.函数的定义域为,且对任意,有,且当时.(1)证明:是奇函数;(2)证明:在上是减函数;(3)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3) 最大值是6,最小值是-6.【解析】【分析】(1)令xy0,则可得f(0)0;yx,即可证明f(x)是奇函数,(2)设x1x2,由已知可得f(x1x2)0,再利用f(x+y)f(x)+f(y),及减函数的定义即可证明(3)由(2)的结论可知f(3)、f(3)分别是函数yf(x)在3、3上的最大值与最小值,故求出f(3)与f(3)就可得所求值域【详解】(1)因为的定义域为,且,令得,所以;令,则,所以,从而有,所以,所