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1、.,第三章 金属塑性变形的力学基础,本章重点： 质点的应力应变分析、屈服准则、塑性应力应变关系 基本概念： 应力(偏)张量、 应力(偏)张量不变量、主应力、主切应力、等效应力、应变张量、几何方程、应变增量、塑性变形体积不变条件、Tresca屈服准则、Mises屈服准则、简化屈服准则、塑性变形的增量理论（Levy-Mises方程）、全量理论、真实应力应变曲线 基本原理： 塑性变形体积不变条件的表达与应用、屈服准则的表达与应用、塑性应力应变增量理论的表达与应用、 真实应力应变曲线的表达与应用,.,塑性理论的研究内容,塑性力学是研究物体变形规律的一门学科，是固体力学的一个分支。它研究变形体受外界作用
2、（外载荷、边界强制位移、温度场等）时，物体形状及相关物理量在变形体内发生变化的规律（应力场、应变场、应变速度场等）。 塑性力学的基本假设 变形体连续 变形体均质和各向同性 变形体静力平衡 体积力和体积变形不计,.,塑性理论涉及到的理论知识,与其它工程力学（理论力学、材料力学、断裂力学）的区别：研究方法、对象、结果的差异。弹塑性力学的研究对象是整个（而不是分离体）变形体内部的应力、应变分布规律（而不是危险端面）。,静力学 变形体静力平衡，平衡方程 几何学 变形体连续，几何方程、连续方程 物理学 应力应变关系，本构方程、屈服准则,.,物体受力变形的力学分析 已知：外力、位移边界条件 求解：应力 、
3、位移、应变,外部载荷,位移约束,几何方程,塑性应力应变关系,弹性应力应变关系,应力应变曲线,应力平衡微分方程,屈服准则,协调方程,.,弹性、塑性变形的力学特征,可逆性：弹性变形 可逆；塑性变形 不可逆 - 关系：弹性变形 线性；塑性变形 非线性 与加载路径的关系：弹性 无关；塑性 有关 对组织和性能的影响：弹性变形 无影响；塑性变形 影响大（加工硬化、晶粒细化、位错密度增加、形成织构等） 变形机理：弹性变形 原子间距的变化； 塑性变形 位错运动为主 弹塑性共存：整体变形中包含弹性变形和塑性变形；塑性变形的发生必先经历弹性变形；在材料加工过程中，工件的塑性变形与工模具的弹性变形共存。,.,3.1
4、 外力与应力,一、外力,外力 施加在变形体上的外部载荷 面力（接触力） 体积力,设备提供主动力：压力，拉力，剪切力,工具的反作用力，成对出现的平衡力系,.,镦粗时的受力分析,体积力 体积力与变形体内各质点的质量成正比，一般可忽略不计；但在高速成形、电磁成形时，需要考虑。 重力 电磁力 惯性力,.,内力 在外力作用下，物理内各质点之间产生的相互 作用的力(N ) 。方向、大小。 应力 单位面积上的内力(N /mm2) 。方向、大小。 截面法,S 全应力 正应力 切应力,二、内力与应力,.,应力（stress） 应力S 是内力的集度 内力为矢量，应力为张量，都有方向和分量 应力的单位：1Pa=1N
5、/m2 = 0.10197kgf/mm2 1MPa=106 N/m2 应力是质点坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同。 应力是质点在坐标系中方向余弦的函数，即同一点不同方位截面上的应力是不同的。,.,垂直于拉伸轴的横截面上,任意横截面上,S、 、 与0 和 相关,单向拉伸的应力,.,3.2 一点的应力状态分析,扭转,一点的应力状态 变形体内一点任意方位微小面积上所承受的应力情况，即应力的方向、大小和个数。,单向拉伸,平面问题,过一点y面上的应力沿坐标轴向的分解,.,一、应力分量与应力张量,1、应力分量 多向受力的三维情况下，只取某一方向切面上的应力不足以表示出一点的受力状态。取座标系，取微元
6、体，微元体各面上的应力沿座标轴分解得到九个应力分量，可以用矩阵表达形式为, 正应力 切应力,.,正负号规定 ： 正面、负面，正方向、负方向 正面上正方向应力为正，反之为负 负面上负方向应力为正，反之为负,合力矩等于零 切应力互等定理,九各分量中六个独立的分量,.,2、应力张量,九个分量能确定一个应力状态，不同参考坐标系分量不同，应力状态确定；九个分量组成可坐标变换的相互联系的物理量数学上称为二阶张量。 应力张量,取直角坐标系，坐标轴为 x, y, z 或x1, x2, x3 或 1, 2, 3,简写,.,对于轴对称体，可以采用圆柱坐标系，坐标轴取为 , , z 。,圆柱坐标系,.,二、张量简介
7、与求和约定,1、张量简介 张量：对于一些物理量，必须要用符合特定坐标变化规律的分量来描述，这些分量的组合可称为张量。（粗略说明，具体的数学定义见相关参考书张量分析等） 张量有阶次、存在不变量，有主值和主方向，可叠加和分解，存在对称、反对称、非对称张量等相关特性。 应力张量 应变张量 0 阶张量 标量：温度、密度、质量等 一阶张量 矢量：位移( ui )、速度、加速度、力等 二阶张量：应力( ij ) 、应变( ij )等 高阶张量：弹性张量（Dijkl）等,.,2、求和约定 张量可采用相关规则的符号来表示，主要运用下标记号法，常用相关的运算符号与规则（如求和约定）为：,三个等式，j 为自由标，
8、i 为哑标,克氏符号(Kronecher delta),哑标符号替换,共九项,.,三、任意斜面上的应力,斜面的投影面积,直角坐标系，坐标轴x , y , z ； 任意斜面，面积dA，法线N。,斜面上全应力的分解,S Sx， Sy ，Sz（沿坐标轴） S ， （沿法线和斜面）,.,四面体力的平衡 x方向,y方向,z方向,.,应力边界条件 当在物体边界上，表面力的分量为Fx、Fy、Fz，法线方向余弦为l、 m、 n，则应力边界条件为,.,， 切面的l , m , n。切应力 0的平面 主平面、主方向（应力主轴）；应力 主应力。,四、主应力和应力不变量,1、主应力,.,三个主应力1, 2, 3；三个
9、主方向互相垂直。,系数矩阵行列式为零,应力状态方程,一般可取,.,2、应力张量不变量,对于一个确定的应力状态，只有一组主应力，其大小、方向是不随坐标系变化的。应力状态特征方程及其系数J1, J2, J3也不变，称为应力张量第一、第二、第三不变量。,ij 的分量随坐标系变化，但J1, J2, J3不变，这表明了一个确定的应力状态其应力分量之间的确定关系 物理意义。 存在主值(主应力)，主方向(主轴)，不变量 张量的重要特性。,.,任意坐标系 主轴坐标系,.,椭球方程,3、应力椭球,应力椭球,单向应力状态 点 平面应力状态 椭圆或圆 轴对称应力状态 旋转椭球面 球应力状态 球面,.,4、主应力图,
10、存在九种主应力状态，主应力状态的不同对金属的塑性有一定影响。 单向应力状态 纯剪切应力状态 平面应力状态 轴对称应力状态 球应力状态 一般应力状态,.,总结和讨论： 1、可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的； 2、三个主平面是相互正交的； 3、三个主应力均为实根，不可能为虚根； 4、应力特征方程的解是唯一的； 5、对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性； 6、应力第一不变量J1反映变形体体积变形的大小，与塑性变形无关；J3也与塑性变形无关；J2与塑性变形有关； 7、应力不变量不随坐标而改变，是确定点的应力状态异同的判据。,.,J115，J2 60，J3 54,ij , 1, 2, 3代
11、入方程求方向,例3-1 求主应力,?,因式分解法，卡尔丹公式,.,应力状态是否相同，按应力张量不变量或主应力是否对应相等判别。,例3-2 判别应力状态是否相同,J12(a + b) ，J2 4 a b，J3 0,应力张量不变量对应相等 应力状态相同,.,五、主切应力与最大切应力,切应力取极值,主切应力,主应力,.,主切应力平面上的应力,切应力 12( 1 - 2)/2 23 ( 2 - 3)/2 31 ( 3 - 1)/2 正应力 12 ( 1+ 2)/2 23 ( 2+ 3)/2 31 ( 3+ 1)/2,最大切应力maxmax 12, 23, 31 ； 当 时，max ( 3 - 1)/2
12、 ； 当 1 2 3时， 1223310，无切应力； 当三个主应力同时加减相同值时，主切应力不变。,.,1、应力张量的分解,六、应力球张量和应力偏张量,张量可叠加和分解,应力偏张量 应力球张量,.,m 称为平均应力，是不变量、是单值。,.,应力球张量 ij m 是一种静水应力状态，无切应力存在，只使物体产生体积变形，不能使物体产生形状变形。,应力偏张量,.,应力偏张量的三个不变量,2、应力偏张量不变量,主轴坐标系,主轴坐标系,去除静水应力成分，不产生体积变形,与屈服准则有关,决定变形类型： 0，伸长类变形； =0，平面应变变形； 0 ，压缩类变形；,.,例3-3,.,七、八面体应力与等效应力,
13、1、八面体应力,主轴坐标系下，八个等倾斜面构成八面体，面上的应力 八面体应力。,主应力 主切应力 八面体应力,特殊面上的应力，是不变量,.,等效应力是一个不变量； 等效应力在数值上等于单向均匀拉伸（或压缩）时的拉伸（或压缩）应力1，即 =1。 等效应力并不代表某一实际平面上的应力，因而不能在某一特定的平面上表示出来； 等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用，或主应力、主切应力的综合效果。,2、等效应力,.,总结和讨论： 1. 等效的实质？ 是（弹性）应变能等效（相当于）。 2. 什么与什么等效？ 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效 3. 如何等效？ 等效公式
14、（注意：等效应力是标量，没有作用面）。 4. 等效的意义？ 屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。,.,直角坐标系下，Q点、 Q点，单元体dx、dy、dz，应力分量坐标的连续函数,过Q点x面上正应力,同理得过Q点的其它应力分量,八、应力平衡微分方程,.,单元体的静力平衡,单元体的静力平衡,应力平衡微分方程 关系相邻质点间应力的关系，应力在变形体内分布规律。,.,圆柱坐标系下的平衡微分方程,.,1、平面应力状态,变形体内各质点在与某座标轴向（如 z 向）垂直的平面上没有应力作用，即z=zx=zy=0，z 轴为主方向，只有x、y、xy 三个独立的应力分量; x、y、xy 沿 z 轴方向均匀分
15、布，即应力分量与z 轴无关，对 z 轴的偏导数为零。,九、平面应力状态和轴对称应力状态,.,斜面上的应力,应力平衡微分方程,.,应力状态特征方程,应力不变量,主应力,主切应力(3=0),平面应力状态中z=0，但不一定z = 0,等效应力,.,2、平面应变状态下的应力状态,平面变形 变形体在某一方向不产生变形，变形只发生在某一平面内。应力状态 平面应变状态下的应力状态。 不产生变形的方向（如z向）为主方向，yz=zx=0； 存在z 的主应力， 弹性变形时z =(x+y)，塑性变形时z=(x+y)/2=m ，是应力不变量； 应力分量沿 z 轴方向均匀分布，即应力分量与z 轴无关，对 z 轴的偏导数
16、为零； 若以应力主轴为坐标轴，平面变形时应力状 态就是纯切应力状态叠加一个应力球张量。,.,应力张量,应力平衡微分方程、斜面上的应力、主应力等与平面应力状态一致,等效应力,主切应力,.,当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，则旋转体内质点所处的应力状态称为轴对称应力状态。 变形体的子午面没有扭曲变形， 面上无切应力，即 z= =0， 为主应力; 应力分量与 坐标无关，对 的偏导数为零。,3、轴对称应力状态,应力平衡微分方程,应力张量,.,平面应力状态与轴对称应力状态都是简单的特殊的应力状态，有各自的特点。 平面应力状态、平面应变状态下的应力状态和轴对称应力状态的特点; 这些简单应力状态的应力分量、主应力、主切应力、应力张量不变量、等效应力的表达式； 纯剪切应力状态与平面应变状态下的应力状态的关系；
