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1、概率与代数、几何知识的综合 见 B 本 P56 (教材 P141 习题 25.2 第 9 题) 盒中有 x 枚黑棋和y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别 (1)从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是 3 8，写出表示 x 和 y 关系的表达式 (2)往盒中再放进10 枚黑棋，取得黑棋的概率变为 1 2，求 x 和 y 的值 解： (1)从盒中随机地取出一个棋子是黑色棋子的概率是 3 8， x xy 3 8，y 5 3x. (2)如果往盒中再放进10 颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为 1 2， x10 xy10 1 2. 由解得 x15， y25. 【思想方法】概率与代数、几何的综合运
2、用其本质还是求概率，只不过应用代数和几何的 方法确定某些限制条件的事件数一般的方法是利用列表或树状图求出所有等可能的情形， 再求出满足所涉及知识的情形，进一步求概率， 此类问题能很好地考查学生对概率与其他知 识的综合运用 一概率与代数的综合 有三张正面分别写有数字2， 1，1 的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡 片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为x 的值， 放回卡片洗匀， 再从三张卡片 中随机抽取一张，以其正面数字作为y 的值，两次结果记作(x， y) (1)用树状图或列表法表示(x，y)所有可能出现的结果； (2)求使分式 x 23xy x 2 y2 y xy有意义的 (x，
3、y)出现的概率； (3)化简分式 x 23xy x 2 y2 y xy，并求使分式的值为整数的 (x，y)出现的概率 解： (1)画树状图如下： 或列表如下： 第一次 第二次 211 2(2， 2)(1， 2)(1， 2) 1(2， 1)(1， 1)(1， 1) 1(2，1)(1，1)(1，1) 所有可能出现的结果为(2， 2)，(2， 1)，(2，1)，(1， 2)，(1， 1)，( 1，1)，(1， 2)， (1， 1)，(1，1) (2)要使分式 x 23xy x 2 y2 y xy有意义，则有 (xy)(xy) 0 ，只有 (2， 1)，( 2，1)，(1， 2)，(1， 2)符合条件
4、， 使分式 x 23xy x 2y2 y xy有意义的 (x，y)出现的概率为 4 9. (3) x 23xy x 2 y2 y xy x 23xy （xy）（ xy） y（xy） （x y）（ xy） x 23xy （xy）（ xy） xyy 2 （xy）（ xy） x 23xyxyy2 （ xy）（ x y） x 22xyy2 （ xy）（ xy） （xy）2 （ xy）（ xy） xy xy， 将符 合条件的 (2， 1)，(2，1)，(1， 2)，(1， 2)分别代入上式计算可得原式 1 3，3， 1 3， 3，使分式的值为整数的 (x， y)出现的概率为 2 9. 二概率与几何的综合
5、 如图 1，直线 a/b，直线 c 与 a，b 都相交，从所标识的1， 2， 3， 4， 5 这五个角中任意选取两个角，则所选取的两个角是互为补角的概率是(A) 图 1 A. 3 5 B.2 5 C.1 5 D. 2 3 小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图2 所示的靶子，点E，F 分别是矩 形 ABCD 的两边 AD，BC 上的点，且EFAB，点 M， N 是 EF 上任意两点，则投掷一次，飞 镖落在阴影部分的概率是(C) A. 1 3 B.2 3 C.1 2 D. 3 4 图 2 如图 3，4 张背面完全相同的纸牌(用，表示)，在纸牌的正面分别写 有四个不同的条件，小明将这4 张纸牌背面
6、朝上洗匀后，先随机摸出一张(不放回 )，再随机 摸出一张 (1)用树状图或列表法表示两次摸牌出现的所有可能结果； (2)以两次摸出牌上的结果为条件，求能判断四边形ABCD 是平行四边形的概率 图 3 解： (1)解法一：画树状图如图： 解法二：列表如下： 学科 (2)由(1)可知共 12 种可能性相等的情况，其中能使四边形ABCD 是平行四边形的有8 种，即 ，P(能判断四边形ABCD 是平行四 边形 ) 8 12 2 3. 如图 4，在方格纸中，ABC 的三个顶点及D， E，F，G，H 五个点分别位于小正 方形的顶点上 (1)现以 D，E，F，G，H 中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形
7、中与ABC 不全等 但面积相等的三角形是_(只需要填一个三角形)； (2)先从 D，E 两个点中任意取一个点，再从F，G，H 三个点中任意取两个不同的点，以所 取的这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与ABC 面积相等的概率(用画树状图或列表 的方法求解 ) 图 4 解： (1)DFG 或DHF ； (2)画树状图： 由树状图可知共有6 种等可能结果其中与ABC 面积相等的有3 种，即 DHF ， DGF 和 EGF. 所以所画三角形与ABC 面积相等的概率为P3 6 1 2. 答：所画三角形与ABC 面积相等的概率为 1 2. 三概率与方程 (或不等式 )的综合 从 3，0， 1， 2， 3
8、 这五个数中，随机抽取一个数，作为函数y(5m2)x 和 关于 x 的方程 (m 1)x2 mx10 中 m 的值，恰好使所得函数的图象经过第一、三象限， 且方程有实数根的概率为_2 5_. 四概率与坐标系的综合 如图 5，在平面直角坐标系中，A(2，2)，B(3， 2) (1)若点 C 与点 A 关于原点O 对称，则点C 的坐标为 _(2， 2)_； (2)将点 A 向右平移5 个单位得到点D，则点 D 的坐标为 _(3， 2)_； (3)由点 A，B，C，D 组成的四边形ABCD 内(不包括边界 )任取一个横、纵坐标均为整数的 点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率 图 5 解： (3
9、)四边形 ABCD 内(不包括边界 )任取一个横、纵坐标均为整数的点有15 个 ，如图 其中横、 纵坐标之和恰好为零的有3个， 所以所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率是 3 15 1 5. 五概率与一次函数的综合 甲、乙两个袋中均装有三张除所标数字外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片 上所标的数字分别为7， 1，3，乙袋中的三张卡片上所标的数字分别为2，1，6.先从 甲袋中随机取出一张卡片，用 x 表示取出的卡片上标的数字，再从乙袋中随机取出一张卡片， 用 y 表示取出的卡片上标的数字，把x，y 分别作为点A 的横坐标、纵坐标 (1)用适当的方法写出点A(x，y)的所有情况； (2)求点 A
10、落在第三象限的概率 解： (1)画树状图如图： 所以点 A 的所有坐标为(7， 2)，(7， 1)，(7，6)，( 1， 2)， (1，1)，(1，6)， (3， 2)， (3，1)，(3，6)； (2)由树状图可知， 所有等可能的情况共有9 种，点 A 落在第三象限的情况有2 种，所以 P(点 A 落在第三象限) 2 9. 在一个不透明的布袋里装有4 个标有 1，2，3，4 的小球，它们的形状、大小完全 相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3 个小球中随机取出 一个小球，记下数字为y. (1)计算由 x，y 确定的点 (x，y)在函数 y x 5的图象上的概率 (2
11、)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y 满足 xy6，则小明胜，若x，y 满足 xy 6，则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由若不公平，请写出公平的游戏规则 解：(1)列表如下： y x 1234 1(1， 2)(1，3)(1，4) 2(2，1)(2，3)( 2，4) 3(3，1)(3， 2)(3，4) 4(4，1)(4， 2)(4， 3) 由上表可知共有12 种等可能的情况，点(x，y)在函数 y x5 的图象上的有4 种，所以 所求的概率为 4 12 1 3. (2)由(1)可知， xy6 的概率为 4 12 1 3，xy 1 3，所以游戏不公平 公平的游戏规则为：若x，y 满足 xy6 ，则小明胜，若x，y 满足 xy6，则小红胜 六概率与二次函数的综合 2013 内江 同时抛掷A，B 两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字1， 2，3， 4，5，6)，设两立方体朝上的数字分别记为x，y，并以此确定点P(x，y)，那么点P 落在抛 物线 y x23x 上的概率为 (A) A. 1 18 B. 1 12 C.1 9 D. 1 6
