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1、1怎样把形象思维渗透到数学教育中杨浩民 (河北广宗形体数学发明人)内容提要：数学知识的抽象性与学生的一般认知规律之间存在着尖锐矛盾，要解决此矛盾首先应为基础数学的各知识点配备典型化直观模型，使其能通过直观形象展现各种数学规律，以借助形象思维发展抽象思维。形体数学是笔者的研究成果。关键词：中小学数学 形象思维 直观模型 操作活动现代科学家、数学家、教育家从不同研究领域就人的智能发展方面得出了不约而同的共识：即人的抽象思维与形象思维应当协调发展、互动发挥；没有严谨的抽象思维产生不了科学，没有活跃的形象思维就没有科学的创新与发展，充分激发人的左、右脑潜能，运用全脑学习，是实现高效学习的必由之路。数学
2、是具有广泛应用价值的科学，是中小学生的必修课。由于它具有高度的抽象性和严密的逻辑性，与中小学生的认知特点存在着尖锐矛盾，因此中小学生普遍对数学缺乏兴趣。据教育部对全国中小学生关于数学学习状况的调查显示：“学生一般都欠缺对数学学习的兴趣，较多学生对数学学习难以形成愉快体验，普遍状况是随着年级的升高，学生的愉快体验却大幅度下降即使是学生看到数学的成功应用和获得较好成绩之时，其对数学也难以真正喜欢。 （通过对初中代数、几何双百分的一百名数学“优秀生”的调查反映了这样的事实） ”是什么原因造学生不愿学数学呢？主要矛盾是什么？主要的矛盾方面在哪里？我认为，主要矛盾是数学的抽象形式与学生的学习特点、认知规
3、律之间的矛盾，主要的矛盾方面则在于学校的教学模式和学生的学习方式。教学模式和学习方式要实现革命性飞跃，必须要完成如下课题：为数学抽象形式配备一套具有典型化的直观化呈现系统。笔者于1998 年开始这项课题研究，2004 年中央教科所和北师大学术专家约我去北京座谈，他们对我的研究给予热情鼓励和充分肯定，并建议把我的研究成果定名形体数学。我研究形体数学的事迹在报纸上披露后，国内相关媒体纷纷转载，引起普遍关注；中国首席作家徐富敏先生以“形体数学之光”为题写了长篇报道，发表在报告文学杂志上引起广泛影响。特别值得一提的是形体数学成果得到了全国高新技术创新委员会的重视，常务主任朱松林同志对我的形体数学成果给
4、予高度评价，布置录制了四集形体数学视频讲座，在其官方网站的世界大学城中的世界发明城中广泛宣传展播。形体数学是关于中小学数学教学和学生自我探究学习的一套思想方法。它为中小学数学的各种数学知识点均配备了相应的直观模型，它选择方形体为一切数学知识的原始生长点，把各种数量关系、空间形式均与人们熟悉的方形建立直接联系。由于基础数学有了属于它的典型化载体，从此，基础数学的展现形式为之一新，数学的教学模式和学习方式为之一新，形象思维的火种为学生的抽象思维发展带来一片光明。具体讲，形体数学有以下创新：一、创编了形体数学系列教材。此教材为中小学数学新课程中的各个知识点分别设计了相应的直观模型和操作演示活动以及相
5、应问题的图解例题。此教材既可作课堂教学的导入材料，也可作为学生开展自我探究学习的参考。 二、开辟了形体教学课堂模式。此模式能把数学的抽象知识，通过直观模型演示生动形象地展现出来，能有效激发学生学数学的兴趣，大幅度缩短教学时间。 三、发明了方形图解题法。此解题法具有以不变应万变的特点，可在课堂练习、课后作业以及解决问题的过程中普遍运用。此解题法能充分发挥形象思维与抽象思维互动互用，能化繁为简、化静为动、化难为易。学生一经掌握此方法，便能攻必克、战必胜，有效增强学生挑战难题的自信心。 下面从三个问题入手，具体介绍怎样把形象思维渗透到数学教育的各个环节中。一、为什么选择方形作为数学教学的典型化载体形
6、体数学是中、西方数学文化优势相结合的产物。众所周知，我国数学有着鲜明的民族特色，特色之一是擅长借助直观形体揭示数学抽象规律。我国古代曾发明过用算丸计数、用算盘进行运算和用算筹解方程的方法。算丸、算筹虽然已不再使用，但是， “以形代数” 、“以操作演示揭示数学规律”的思想方法并不过时，恰恰相反，在现代基础数学教育跨入2新世纪前页，人们对我国上述思想方法的回归便已形成世界性思潮。前英国皇家协会主席、牛顿研究所所长阿迪雅认为：20 世纪下半叶数学的发展已回归到更多的庞家莱精神，即强调数学的几何思维。中国科学院陆其铿院士在21 世纪数学一文中指出：形象思维应渗透到数学的各个领域，甚至在代数和数论领域里
7、也是如此，这是 21 世纪基础数学发展的总趋势。值得欣喜的是，形体数学在充分发挥形象思维并将其渗透在基础数学教学领域里的研究，已取得突破性进展。发现数学与方形之间的联系并选择方形作为数学的典型化载体；把基础数学的知识点均与方形建立直接联系；开发出一系列可用于操作活动的直观模型；借用方形规律解决数学问题等，这均是对我国以形代数、以操作活动揭示数学规律的思想方法在新世纪条件下的继承和发展。下面分别阐述选择方形作数学典型化载体的理由。1、方形是体现人类创造性思维最具典型意义的形体。我在为数学选择典型化形象载体的过程种发现：自然界物体形态的特点是“圆” 。例如，天上的太阳、月亮、星星，它们的形体基本上
8、是圆球形的；地球上植物的躯干、茎基本上是圆柱形的，地球上动物的躯体都有圆球和圆柱的影子。一句话，大到天体宇宙、小到基本粒子，圆无处不在。在现实世界里，方形是人类独特的创造！可以这样说：圆由大自然造就，它简单和谐而统一；而方形则是人类创造性思维的化身，它有棱、有角、有度、有点、有线、有面。大自然的规律之“圆”与人；类的思维之“方”相结合，才产生了神奇美妙的数学。数学是人类抽象思维的典范，是体现人类创造思维的精华。正是从这一意义上讲，数学与方形最具同一性。另外，方形状态稳定，组合方便；既便于观察也便于测量。所以，选择方形用于数学教学是最理想的形象载体。2、方形是中小学生最熟悉的图形。关于学习，香港
9、教育家汪广仁教授有这样一句名言：“高效学习的决窍是把要学的与已知的或已记住的东西联系起来。 ”毫无疑问，数学教学也应该是这样。我在为数学教学选择典型化形象载体的过程中发现：方形是学生普遍熟悉和已知的形体。尽管每个学生的生活环境不同、经历不同，他们已知的东西存在很大差别。但是，方形则是他们普遍熟悉的。因为人一生下来所处的房屋就是一个方形世界，屋子里的墙壁、门窗、地板都是方形的；学生一入学就又与课桌、书本、黑板等方形打交道，方形是他们每天都接触、感受到的，是学生们感性认识最丰富、最熟悉的图形。3、方形与数学有着天然的联系性。数学中的许多基本概念，比如平方、立方、乘方、开方、方程、方根都与方形密切相
10、关。我们知道，物体体积的大小是以“立方”为单位的，物体面积的大小是以“平方”为单位的，长方形面积公式是一切规则图形面积公式的基础。比如三角形、平行四边形、梯形以至圆，它们的面积公式均是以方形面积公式为基础推导的，即使是神奇美妙的函数曲线也脱离不开方的框架。另外，方形中的等量关系也非常丰富。例如，方形的对边相等，对角相等，邻角相等，对角线相等可以说方形就是数学方程天然的形象载体。方形体还具有综合特性。比如长度、面积、体积，这些截然不同的单位却能完美地统一在方形体之中。所以，把方形内在关系作为数学知识的原始生长点不仅可行，而且确切。4、方形内在关系与许多数学规律有密切联系。数学里的许多著名定理、定
11、律或公式常与平方、立方有不解之缘。例如，著名的勾股定理就是以方形的两直角边平方与对角线平方的关系构成的；又如，具有重要美学价值的黄金分割定律，也是以比例中项的平方式表达才最简捷。另外，为什么无理数存在于正方形边长为正整数的对角线之中？为什么许许多多的数学模型常以平方、立方形式展现？一句话，自然规律使然！5、方形组合变换活动是开发数学智力的有效途径。我国在探究、运用方形组合转化规律方面有着源远流长的历史，有着得天独厚的经验积累。例如，自古至今在民间广泛流传的“七巧板” 、 “魔方” 、 “华容道” 、 “折纸”等智力活动，它们都是方形组合位置巧妙变换的经典，都具有精深的数学机理。把这些富有民族特
12、色的方组合变换活动与数学活动联系起来，并使其发扬光大，这是我们炎黄子孙的历史责任。6、用方形组合展示数量关系具有易简特性。方形组合模型就外观形式而言，它仅有“完全方”和“非完全方”两类，就图形的组合形式而言，仅有“并列”与“重叠”之分，借助于方形图解题，千变万化的数量关系问题只表现为求面积和求边长两个简单问题，错综复杂的数量关系展现只有“分”与“合”两种演示，可以说运用方形组合展现数量关系达到了易、简境界。由以上介绍可知，选择方形作为数学教学的典型化载体具有客观必然性。3二、怎样把方形组合模型用于课堂教学课堂教学是数学教育的重要环节。把方组合模型作为数学的典型化载体，首先体现在课堂教学上。新课
13、标对于新课程的课堂教学提出了许多新要求，比如要求课堂教学要体现操作活动、观察活动开展发现学习，倡导让学生经历知识形成、发展的过程等。但是要把这些理念付诸实施，必须要有相应的教学模式。试问，有多少学校在课堂教学中真正贯彻实施了上述理念呢？可以肯定地说：有，但少之又少。我们在调研中发现：新课程尽管早已实施，但穿新鞋走老路的现象却仍然相当普遍。就教学模式和学习方式而言，基本上还是沿用着从抽象到抽象、从概念到概念、上课老师讲、讲后学生练的教学模式。初中以上的数学教学更是如此。实际上，上述状况也不能全怪学校和教师，因为适合新理念的数学教学模式仍在摸索探求中或尚不成熟，难以普遍推行。教学模式和学习方式的创
14、新是要以理论创新和学术突破为基础的。形体教学模式和学习方式之所以能完美实施新课标所倡导的教学理念，是因为形体数学发现了基础数学的典型化载体，并建立了各种数学知识点与其直观模型的系统联系性，它能让学生借助对直观模型的观察、操作变换活动，从中发现、感悟出与课本知识相一致的结论来，从而形成深刻难忘的学习效果。下面结合具体问题，展示一例：题目：11-20 各数的认识先展出 11-20 不同数的十组模型教学步骤：先让学生分别数出各组直观模型的方块数，然后再让学生站在直观模型的正前方进行观察，亲身体验和感受 20 以内各数与如上图形之间的内在联系性，可组织学生进行交流，最后在老师的引导下，完成 20 以内
15、数位意义的认识，并归纳、抽象出两位数的概念与写法。通过以上过程，能使学生亲身体验并感受到由形象到抽象的升华过程。形体数学为基础数学的各个知识点均设计了直观模型，借助模型能使学生直观看出知识点的内在规律，能强化记忆深化理解。再举一例：题目：一元二次方程一般形式的根与系数关系我们知道，一元二次方程的一般形式通过二次项系数化一，可得出 + + 0ba ca的形式，此方程可用下图直观展现： + + 0(a0) ba ca由上图我们能直观看出适合 + - 的图形有横竖两组。观察以上图形不难发ca ba现：一元二次方程的两个根分别对应于常数项 方形的长、宽边长。那么，一元二次方程ca的两个根与系数是怎么样
16、一种关系呢？由图能直观看出：两个根与系数有如下关系： 1 + 2- 1 2ba ca4著名心理学家皮亚杰说：儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系思维就不能得到发展。我们都有这样的体会，亲自动手做一做的效果往往比单纯的听讲要深刻得多。在课堂教学中，运用数学直观模型能通过操作活动生动展现或揭示抽象数式的内在关系，给学生以深刻难忘的印象。下面，以平方差公式为例，介绍其操作活动过程：1、先在展示板上摆出一个大正方形，在其横竖边长中间标上 a，面积标 a，见下图（1） 。2、从大正方形一角挖去一个小正方形，设小正方形边长为 b，面积为 b，在大正方形边长的剩余边长中间标上 a-b，所剩下的非完全方面积即为 a-b，见下图（2） 。引导学生参照图形想：怎样把 a-b这个非完全方面积转化为完全方面积呢？经观察容易发现：可运用图形割补的方法。即割下虚线部分的 s 面积补到实线处的 s 位置，a-b这个非完全方图形即转换成(a+b)
