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1、24.2.2直线和圆的位置关系第3课时 切线长定理一、新课导入1.导入课题:情景:如图,纸上有一个O, PA为O的一条切线,沿着直线PO将纸对折,设与点A重合的点为B.问题1:OB是O的半径吗?PB是O的切线吗?问题2:猜一猜图中的PA与PB有什么关系?APO与BPO有什么关系?这节课我们继续探讨圆的切线的性质切线长定理(板书课题).2.学习目标:(1)知道什么是圆的切线长,能叙述并证明切线长定理.(2)会作三角形的内切圆,知道三角形内心的含义和性质.(3)能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.3.学习重、难点:重点:切线长定理及其运用.难点:切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆
2、.二、分层学习1.自学指导:(1)自学内容:教材第99页“思考”之前的内容. (2)自学时间:8分钟.(3)自学方法:完成探究提纲.(4)探究提纲:过O外一点P画O的切线.动手画图,看看这样的切线能作几条?能作两条.在经过圆外一点的圆的切线上, 这点和切点之间线段的长 叫做这点到圆的切线长,如图的线段PA与线段PB的长就是点P到O的切线长.PA与PB,APO与BPO有什么关系?你能证明它们成立吗?PAPB,APOBPO.可利用HL证明RtAOPRtBOP,进而得出结论.分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.文字语言:从圆 外 一点引圆的 两 条切线,它们的切线长 相等 ,这一点和圆心的连线
3、平分 两条切线的 夹角 .几何语言:PA切O于点A,PB切O于点B.PA = PB,OP平分 APB .2.自学:学生结合自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:明了学情:看学生能否顺利完成定理的证明.差异指导:根据学情确定指导方案.(2)生助生:小组内相互交流、研讨.4.强化:(1)切线长定理及它的证明.(2)交流:在提纲的几何图形中,若连接AB交OP于点C,则图中有哪些垂直关系?哪些全等三角形?若设线段OP与O的交点为D,且PA4,PD2,你能求出O的半径长吗?解:ABOP,OAAP,OBBP;OACOBC,OAPOBP,ACPBCP.设O的半径为r,则OP=OD+PD=r+2,在RtO
4、AP中,OA2+AP2=OP2,即r2+42=(r+2)2.解得r=3. 即O的半径长为3.1.自学指导:(1)自学内容:教材第99页“思考”到第100页的内容.(2)自学时间:8分钟.(3)自学方法:阅读,画图,推理,猜想.(4)自学参考提纲:如图,作与ABC的三边都相切的I.因为I与BA,BC都相切,所以点I在ABC的平分线上;因为I与CA,CB都相切,所以点I在ACB的平分线上;所以点I是ABC与ACB平分线的交点.a.作ABC的平分线,ACB的平分线,交于点I;b.过I作IDBC于D,以 I 为圆心,ID为半径画圆,则I即为所求.三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆,内切圆的圆心叫
5、三角形的内心.它是三角形三条角平分线的交点,它到各条边的距离都相等.已知:如图,在ABC中,AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F,求AF、BD和CE的长.设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得x=4.因此AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.3.助学:(1)师助生:明了学情:关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路.差异指导:注意帮助学生理清前后知识间的联系.(2)生助生:生生互动,交
6、流,研讨.4.强化:(1)三角形内切圆的作图和内心的概念和性质.(2)如图,ABC中,ABC=50,ACB=75,点O是ABC的内心,求BOC的度数.解:点O是ABC的内心,OB平分ABC,OC平分ACB,OBC+OCBABC+ACB=(50+75)62.5.BOC=180-OBC-OCB117.5.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标):这节课你学到了哪些知识?掌握了哪些解题方法?2.教师对学生的评价:(1)表现性评价:点评学生学习的态度、积极性、学习的方法、效果及存在的问题等.(2)纸笔评价:课堂评价检测.3.教师的自我评价(教学反思):本节课的教学是直线与圆的位置关系的继续,从探究切
7、线长定理开始,通过如何作一个三角形的内切圆,引出三角形的内切圆和三角形内心的概念,经历这些探究过程,能使学生掌握图形的基本知识和基本技能,并能解决简单的问题.(时间:12分钟满分:100分)一、基础巩固(70分)1.(10分) 如图,ABC的内切圆O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=11cm,BC=14cm,CA=13cm,则AF的长为(C)A.3cmB.4cmC.5cmD.9cm2.(10分) 如图,点O是ABC的内心,若BAC=86,则BOC=(C)A.172B.130C.133D.1003.(10分)如图,已知VP、VQ为T的切线,P、Q为切点,若VP=3cm,则VQ=3
8、cm.若PVQ60,则T的半径PT.4.(20分)如图,PA、PB是O的切线,A、B为切点,AC是O的直径,BAC=25,求P的度数.解:PA是O的切线.OAP=90.BAC=25,BAP=65.OAOB,OBA=OAB=25.PB是O的切线,OBP=90,ABP=65.P=180-BAP-ABP=50.5.(20分)如图,一个油桶靠在墙边,量得WY=1.65m, 并且xYWY,这个油桶底面半径是多少?解:设圆心为O,连接OW,Ox.YW,Yx均是O的切线,OWWY,OxxY,又xYWY,OWYOxYWYx90,四边形OWYx是矩形,又OW=Ox.四边形OWYx是正方形.OW=WY=1.65m
9、.即这个油桶底面半径是1.65m.二、综合应用(15分)6.(15分)ABC的内切圆半径为r,ABC的周长为l,求ABC的面积.(提示:设ABC的内心为O,连接OA、OB、OC)解:设ABC的内心为O,连接OA、OB、OC.则.三、拓展延伸(15分)7.(15分)如图,AB、BC、CD分别与O相切于E、F、G三点,且ABCD,BO6cm,CO8cm,求BC的长.解:AB、BC、CD分别与O相切,则OB平分EBF,DC平分FCG.ABCD,EBF+GCF=180.BOC=180-OBF-OCF=180-12(EBF+GCF)=90.在RtBOC中,BC=OB2+OC2=62+82=10(cm).