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1、2011 东城二模数学理科第 1 页 共 10 页 北京市东城区 2010-2011 学年第二学期高三综合练习（二） 数学（理科） 2011.5 一、本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项。 1、若复数 2 ()i i xxx z（xR）为纯虚数，则x等于 （A） 0 （B）1（C）-1 （D）0 或 1 2、给出下列三个命题： xR，0 2 x； 0 xR，使得 2 00 xx成立； 对于集合,M N，若xMN，则xM且xN. 其中真命题的个数是 （A） 0 （B）1 （C）2 （D）3 3、沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图
2、所示，则该几何体的左视图为 （A）（ B）（C）（D） 4、极坐标方程02sin（0）表示的图形是 （A）两条直线（B）两条射线 （C）圆（D）一条直线和一条射线 5、已知正项数列 n a中，11a，22a， 222 11 2(2) nnn aaan，则 6 a等于 （A） 16 （ B）8 （C）22（D）4 6、已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab ，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N两 点，O为坐标原点 . 若OMON，则双曲线的离心率为 （A） 13 2 （B ） 13 2 （C） 15 2 （D） 15 2 7、ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且2O
3、AABAC0， | |OAAB ，则CA CB等 于 （A） 3 2 （B） 3 （C）3（D）2 3 2011 东城二模数学理科第 2 页 共 10 页 CO P B A 8、已知函数 2 1,0, ( ) log,0, xx f x xx 则函数1)(xffy的零点个数是 （A） 4 （B）3 （ C）2 （D）1 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。 9、 251 ()x x 的展开式中， 4 x的系数为 （用数字作答） 10、某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相 关人员中， 抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调
4、查小组的总人数为； 若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员 的概率为 11、在ABC中，若 ,2 4 Bba，则C 12、如图，BC是半径为2的圆O的直径，点P在BC的延长线上，PA是圆O的切线，点A在 直径BC上的射影是OC的中点，则ABP= ；PB PC 13 、 已 知 点(2, )Pt在 不 等 式 组 40, 30 xy xy 表 示 的 平 面 区 域 内 ， 则 点( 2, )Pt到 直 线 341 00 xy距离的最大值为_ 14、对任意xR，函数( )f x满足 2 1 (1)( )( ) 2 f xf xf x，设)()( 2 nf
5、nfan，数 列 n a的前 15 项的和为 31 16 ，则(15)f 相关人员数抽取人数 公务员32 x 教师48 y 自由职业者64 4 2011 东城二模数学理科第 3 页 共 10 页 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15、 （本小题共13 分） 已知 72 sin() 410 A， (,) 4 2 A （）求cos A的值； （）求函数 5 ( )cos2sinsin 2 f xxAx的值域 16、 （本小题共14 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，5ABAC，D，E分别为BC， 1 BB的中点，四 边形 11 B
6、BCC是边长为6的正方形 （）求证： 1 A B平面 1 AC D； （）求证：CE平面 1 AC D； （）求二面角 1 CACD的余弦值 17、 （本小题共13 分） 甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多 2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为 1 () 2 p p，且各局胜负相互独立已知第二 局比赛结束时比赛停止的概率为 5 9 （）求p的值； （）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望E 18、 （本小题共13 分） 已知函数xaxxfln)( 2 (Ra) （）若2a，求证：)(xf在(1,)上是增函数； （）求)
7、(xf在1，e上的最小值 2011 东城二模数学理科第 4 页 共 10 页 19、 （本小题共13 分） 在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点 1 (0,) 4 F的距离比点P到x轴的距离大 1 4 ， 设动点P 的轨迹为曲线C，直线:1lykx交曲线C于,A B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴 的垂线交曲线C于点N （）求曲线C的方程； （）证明：曲线C在点N处的切线与AB平行； （）若曲线C上存在关于直线l对称的两点，求k的取值范围 20、 （本小题共14 分） 在单调递增数列 n a中，2 1 a，不等式 n an)1( n na2对任意 * nN都成立 . （）求 2 a的取
8、值范围； （）判断数列 n a能否为等比数列？说明理由； （）设 11 (1 1)(1)(1) 22 nn b，) 2 1 1 (6 nn c， 求证：对任意的 * nN，0 12 n nn a cb . 2011 东城二模数学理科第 5 页 共 10 页 北京市东城区 2010-2011 学年第二学期高三综合练习（二） 高三数学（理科）参考答案及评分标准2011.5 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分） 1、B 2、C 3、B 4、 A 5、D 6、D 7、C 8、 A 二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分） 9、10 10、9 5 3 11、 7
9、12 12、3012 13、4 14、 3 4 注：两个空的填空题第一个空填对得2 分，第二个空填对得3 分 三、解答题（本大题共6 小题，共80 分） 15、 （共 13 分） 解： （）因为 42 A，且 7 2 sin() 410 A， 所以 3 244 A， 2 cos() 410 A 因为 coscos()cos()cossin()sin 444444 AAAA 227 223 1021025 所以 3 cos 5 A6分 （）由（）可得 4 sin 5 A 所以 5 ( )cos2sinsin 2 fxxAx 2 12sin2sinxx 2 13 2(sin) 22 x，xR 因为
10、sin 1,1x，所以，当 1 sin 2 x时，( )f x取最大值 3 2 ； 当sin 1x 时，( )f x取最小值 3 所以函数( )f x的值域为 3 3, 2 13 分 16、 （共 14 分） 2011 东城二模数学理科第 6 页 共 10 页 O E A1 D C C1 B1B A z x y E A DG C B1B C1 A1 （）证明：连结 1 AC，与 1 AC交于O点，连结OD 因为O，D分别为 1 AC和BC的中点， 所以OD 1 AB 又OD平面 1 AC D， 1 AB平面 1 AC D， 所以 1 AB平面 1 AC D4 分 （）证明：在直三棱柱 111
11、ABCABC中， 1 BB平面ABC，又AD平面ABC， 所以 1 BBAD 因为ABAC，D为BC中点， 所以ADBC又 1 BCBBB， 所以AD平面 11 B BCC 又CE平面 11 B BCC， 所以ADCE 因为四边形 11 B BCC为正方形，D，E分别为BC， 1 BB的中点， 所以RtCBERt 1 CCD， 1 CC DBCE 所以 1 90BCEC DC 所以 1 C DCE 又 1 ADC DD， 所以CE平面 1 AC D9 分 （）解：如图，以 11 BC的中点G为原点，建立空间直角坐标系 则 1 (0,6,4),(3,3,0),( 3,6,0),( 3,0,0)A
12、ECC 由（）知CE平面 1 AC D，所以(6, 3,0)CE 为平面 1 AC D的一个法向量 设( , )x y zn为平面 1 ACC的一个法向量， ( 3,0, 4)AC ， 1 (0, 6,0)CC 由 1 0, 0. AC CC n n 可得 340, 60. xz y 2011 东城二模数学理科第 7 页 共 10 页 令1x，则 3 0, 4 yz 所以 3 (1,0,) 4 n 从而 8 cos5 25| | CE CE, CE n n n 因为二面角 1 CACD为锐角， 所以二面角 1 CACD的余弦值为 8 5 25 14 分 17、 （共 13 分） 解： （）当甲
13、连胜2 局或乙连胜2 局时，第二局比赛结束时比赛停止， 故 22 5 (1) 9 pp，解得 1 3 p或 2 3 p 又 1 2 p，所以 2 3 p6 分 （）依题意知的所有可能取值为2，4，6 5 (2) 9 P， 5520 (4)(1) 9981 P， 52016 (6)1 98181 P， 所以随机变量的分布列为： 246 P 5 9 20 81 16 81 所以的数学期望 52016266 246 9818181 E13 分 18、 （共 13 分） （）证明：当2a时，xxxfln2)( 2 ， 当), 1(x时，0 ) 1(2 )( 2 x x xf， 所以)(xf在), 1(
14、上是增函数5 分 2011 东城二模数学理科第 8 页 共 10 页 （）解：)0( 2 )( 2 x x ax xf，当 1,ex， 22 22,2exaaa 若2a，则当x1,e时，0)(xf， 所以)(xf在1,e上是增函数， 又1)1(f，故函数)(xf在1,e上的最小值为1 若 2 2ea，则当x, 1e时，0)(xf， 所以)(xf在1,e上是减函数， 又(e)f 2 ea，所以)(xf在1,e上的最小值为 2 ea 若 2 22ea，则当 2 1 a x时，0)(xf，此时)(xf是减函数； 当e 2 a x时，0)(xf，此时)(xf是增函数 又()ln 2222 aaaa f
15、， 所以)(xf在1,e上的最小值为ln 222 aaa 综上可知，当2a时，)(xf在1,e上的最小值为1； 当 2 22ea时，)(xf在1,e上的最小值为ln 222 aaa ； 当 2 2ea时，)(xf在1,e上的最小值为 2 ea13 分 19、 （共 13 分） （）解：由已知，动点P到定点 1 (0,) 4 F的距离与动点P到直线 1 4 y的距离相等 由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以 1 (0,) 4 为焦点，直线 1 4 y为准线的抛物 线 所以曲线C的方程为 2 yx3分 （）证明：设 11 (,)A x y， 22 (,)B xy 由 2 , 1, yx ykx 得
16、2 10 xkx 所以 12 xxk， 12 1x x 设 00 (,)M xy，则 0 2 k x 2011 东城二模数学理科第 9 页 共 10 页 因为MNx轴， 所以N点的横坐标为 2 k 由 2 yx，可得2yx 所以当 2 k x时，yk 所以曲线C在点N处的切线斜率为k，与直线AB平行8 分 （）解：由已知，0k 设直线l的垂线为 l： 1 yxb k 代入 2 yx，可得 2 1 0 xxb k （ *） 若存在两点 3344 (,),(,)D x yE xy关于直线l对称， 则 34 1 22 xx k ， 34 2 1 22 yy b k 又 3434 (,) 22 xxyy 在l上， 所以 2 11 ()1 22 bk kk ，
