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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文史类） 乐享玲珑，为中国数学增光添彩！ 免费玲珑 3D 画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 一、选择题：本大题共9 小题，每小题5 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 . 1.复数i 1+iz（）( i为虚数单位 )在复平面上对应的点位于_ A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2. “1x2” 是“x2” 成立的 _ A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120 件，80 件，
2、 60 件。为了解它们的产品质 量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取 了 3 件，则n=_ A.9 B.10 C.12 D.13 4.已知( )f x是奇函数，( )g x是偶函数，且( 1)+gf(1) =2，(1)+gf(1) =4，则g (1)等于 _ A.4 B.3 C.2 D.1 5.在锐角ABC 中，角 A， B 所对的边长分别为,a b. 若2 sin3aBb，则角 A 等于 _ A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 6.函数( )lnf xx的图像与函数 2 ( )44g xxx的图像的交点个数为_ A.0 B.1 C
3、.2 D.3 7.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1 的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方 体的正视图的面积等于_ A 3 2 B.1 C. 21 2 D.2 8.已知a,b是单位向量，0a b =.若向量c满足 |cab|=1,则|c|的最大值为 _ A.21B.2C.21D.22 9.已知事件 “ 在矩形ABCD的边CD 上随机取一点P，使 APB 的最大边是AB”发生的概率为. 2 1 ，则 AD AB =_ A. 1 2 B. 1 4 C. 3 2 D. 7 4 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。 10.已知集合2,3,6,8,2,3,2,6
4、,8UAB,则 U ()ABe_ 11.在平面直角坐标系xOy中，若直线 1 21, : xs l ys （s 为参数）和直线 2 , : 21 xat l yt （t为参数）平 行，则常数a的值为 _ 12.执行如图1 所示的程序框图，如果输入a=1, b=2,则输出的a的值为 _ 13.若变量, x y满足约束条件 28, 04, 03, xy x y 则xy的最大值为 _ 14.设 F1，F2是双曲线 C， 22 22 1 xy ab (a0, b0)的两个焦点 .若在 C 上存在一点P，使 PF1PF2，且 PF1F2=30 ，则 C 的离心率为 _. 15.对于E= 12100 ,a
5、 aa 的子集X= 12 , k iii aaa, 定义X 的 “ 特征数列” 为 12100 ,x xx,其中 12 1 k iii xxa，其余项均为0，例如子集 23 ,aa的“ 特征数列 ” 为 0，1，1，0，0， ,0 (1) 子集 135 ,a a a的“ 特征数列 ” 的前三项和等于; (2) 若 E 的子集 P 的“ 特征数列 ” 12100 ,ppp满足 1 1p， 1 1 ii pp, 1 i 99; E 的子集 Q 的“ 特征数列 ” 12100 ,q qq满足 1 1q， 12 1 jjj qqq， 1j 98 ，则 PQ 的元素个数为_. 三、解答题；本大题共6 小
6、题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12 分） 已知函数( )coscos() 3 f xxx. ( )求 2 () 3 f 的值； ()求使 1 ( ) 4 f x成立的x的取值集合 17.(本小题满分12 分) 如图 2.在直棱柱ABC-A1B1C1中， BAC=90 ，AB=AC=2，AA1=3，D 是 BC 的中点，点E 在菱 BB1上运动 否 是 开始 输入,a b 8?a aab 输出a 结束 （I）证明： AD C1E； （II ）当异面直线AC ，C1E 所成的角为 60 时，求三棱柱C1-A2B1E 的体积 18.（本小题满分12 分）
7、 某人在如图3 所示的直角边长为4 米的三角形地块的每个格点（指纵、 横直线的交叉点以及三角形的顶点） 处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y(单位： kg)与它的 “ 相近 ” 作物株数X之间的关系如下表所示： 1234 51484542 X Y 这里，两株作物“ 相近 ” 是指它们之间的直线距离不超过1 米。 （）完成下表,并求所种作物的平均年收获量; 51484542 4 Y 频数 ()在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg 的概率 . 19.（本小题满分13 分） 设 n S为数列 n a 的前项和，已知0 1 a，2 nn SSaa
8、11 ，nN （）求 1 a， 2 a，并求数列 n a的通项公式；()求数列 n na的前n项和。 20.（本小题满分13 分） 已知 1 F， 2 F分别是椭圆1 5 : 2 2 y x E的左、右焦点 1 F， 2 F关于直线02yx的对称点是圆C的 一条直径的两个端点。 （）求圆C的方程； ()设过点 2 F的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b。当ab最大时，求直线l的方程。 21.（本小题满分13 分）已知函数 2 1 ( ) 1 x x f xe x . （）求( )f x的单调区间； （）证明：当 12 ()()f xf x 12 ()xx时， 12 0 xx. 参考答
9、案 一、选择题 1B 解：z = i(1+i) = i 1.所以对应点 (-1,1).选 B 2A 解： 若 “1 x2” 成立，则 “x2” 成立 ,所以 “1 x2” 是“x2” 的充分条件； 若“x2” 成立，则 “1 x2” 不一定成立 , 所以 “1 x2” 不是 “x2” 的必要条件 . 综上， “1 x2” 是“x2” 的充分不必要条件.选 A 3D 解：4, 63:60:80:120,babacba个样本，则抽取从甲乙丙三个车间依次 n = a + b + c=13. 选 D 4B 解：由题知 f（ 1）+g（1） = - f（ 1）+g（1）= 2, f（1）+g（ 1）=
10、f（1）+ g（1） = 4.上式相加，解得g(1) = 3 . 选 B 5A 解： 3 =A 22 3 =sinA sinB3=sinB2sinA :得b3=2asinB由A， 选 A 6C 解：在同一坐标系中画出对数函数f（x）= x 的图像和二次函数g（x） =x 2-4x+4 的图像，观察可 知交点个数为2 个。 选 C 7D 解： 正方体的侧视图面积为 .2.2212同，所以面积也为正视图和侧视图完全相为，所以侧视图的底边长选 D 8C 解：.2|ba|向量，是b,a单位可以这样认为：在直角坐标系中, 12|1|OF|F)0,2(EEF满足，动点定点 选 C 9D 解：).3, 1(
11、, 2,4CPPCD即的活动范围为由题中条件知，根据对称性设 4:7:.7344,3 22 ABADBCBFCP，解得时当 选 D 10862，解：86)(8 ,6，BBACAC UU . 114 解：4/.2:, 12: 212121 aKKllaxaylyxl则直线若直线直线直线. 12 4 解：a = a + b + b + b = 1+2+2+2+2=9. 13 6 解： .6)2,4().0,4(),3, 0( 2, 5 32,4取最大值时所以当时点），），（点（区域的顶点坐标分别是yx 1413解： 12122 ,22,1132131RT F F PcF FPFPFaPFPF在设则
12、， 2 31 31 c e a 15 （1） 2 （2） 17 解：(1) 由题知，特征数列为：1,0,1,0,1,0,0,0 0.所以前 3 项和= 2。 (2) P的“ 特征数列 ” :1,0,1,0 1,0. 所以 P = , 99531 aaaa. Q 的“ 特征数列 ” :1,0,0,1,0,0 1,0,0,1.所以 Q = , 10097741 aaaaa. 所以 , QP, 971371 aaaa,共有 17 个元素。 16解：(1) 4 1 ) 2 1 2cos 2 3 2(sin 2 1 ) 3 sinsin 3 cos(coscos)(xxxxxxf 4 1 ) 3 2 (
13、. 4 1 4 1 2 3 sin 2 1 ) 3 2 ( 4 1 ) 6 2sin( 2 1 ffx所以。 （2）由（ 1）知， )2,2() 6 2(0) 6 2sin( 4 1 4 1 ) 6 2sin( 2 1 )(fkkxxxx .), 12 , 12 7 (.), 12 , 12 7 (ZkkkZkkkx所以不等式的解集是： 17解：() 11C CBBADE面为动点，所以需证因为. ADBBABCADABCBBCBAABC 11111 ,面且面是直棱柱 ADBCBCDABCRT的中点，为是等腰直角且又. . 1111111 ECADCCBBECCCBBADBBBBC面且面由上两点
14、，且(证毕 ) （）660,/ 111111 AEECARTECAACCA中，在. 的高是三棱锥是直棱柱中，在 1111111111 .2CBAEEBCBAABCEBEBART. . 3 2 3 2 21 3 1 3 1 1111 11111111 的体积为所以三棱锥EBACEBSVV CBACBAEEBAC 18解：() 由图知，三角形中共有15 个格点 , 与周围格点的距离不超过1 米的格点数都是1 个的格点有2 个，坐标分别为(4,0),(0,4)。 与周围格点的距离不超过1 米的格点数都是2 个的格点有4 个，坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1) 。 与周围格点
15、的距离不超过1 米的格点数都是3个的格点有6 个， 坐标分别为 (1,0), (2,0), (3,0),(0 ， 1,) ,(0， 2),(0， 3,)。 与周围格点的距离不超过1 米的格点数都是4 个的格点有3 个，坐标分别为 (1， 1), (1,2), (2,1) 。 如下表所示： Y 51 48 45 42 频数2 4 6 3 平均年收获量46 15 342645448251 u. （）在15 株中，年收获量至少为48kg 的作物共有2+4=6 个. 所以， 15 株中任选一个，它的年收获量至少为48k 的概率 P=4.0 15 6 . 19解：() 111111 21.SSaanaS
16、时，当.1, 0 11 aa 11 1 11 1 1 1 222 22 1 nnnn nn nnn aaaa S aa S aa ssan时，当- .*,221 1 1 Nnaqaa n nn 的等比数列，公比为时首项为 （） nnnn qanqaqaqaqTanaaaT 321321 321321设 1432 321 nn anaaaqT 上式左右错位相减： nn n n nnn nna q q anaaaaaTq212 1 1 )1( 111321 *,12)1(NnnT n n 。 20解：() 先求圆 C 关于直线x + y 2 = 0 对称的圆D，由题知圆D 的直径为 关于）与圆心（圆心），半径（的圆心所以CDD0,0, 2b-
