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1、13 上期末东城理科第 1 页 共 7 页1 东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学（理科）2013.01 第卷（选择题共 40 分） 一、本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）设集合1,2A，则满足1,2,3AB的集合 B 的个数是 （A）1 (B) 3(C)4(D)8 （2）已知a是实数， i 1i a 是纯虚数，则a等于 （A）1（B ）1（C） 2 （D） 2 （3）已知 n a为等差数列，其前n项和为 n S，若 3 6a， 3 12S，则公差d等于 （ A）1（B） 5 3 （C）2（D
2、）3 （4）执行如图所示的程序框图，输出的k的值为 （ A）4（B）5 （ C）6（D）7 （5）若a，b是两个非零向量，则“abab”是“ab”的 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 （6）已知x，y满足不等式组 0, 0, , 24. x y xys yx 当 35s时， 目标函数yxz23的最大值的变化范围是 （ A）6,15（ B）7,15（C）6,8（D）7,8 （7）已知抛物线 2 2ypx的焦点F与双曲线 22 1 79 xy 的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点 A在抛物线上且|2 |AKAF，则AFK的面积为 （A）4
3、 （ B）8 （C）16 （D）32 （ 8）给出下列命题：在区间(0,)上，函数 1 yx, 1 2 yx, 2 (1)yx, 3 yx中有三个是增函数；若 log 3log 30 mn ，则01nm；若函数( )f x是奇函数，则(1)f x的图象关于点(1,0)A对称； 已知函数 2 3 3,2, ( ) log (1),2, x x f x xx 则方程 1 ( ) 2 fx有2个实数根，其中正确命题的个数为 13 上期末东城理科第 2 页 共 7 页2 （A）1（B）2（C）3（D）4 第卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。 （9）若 3
4、sin 5 ，且tan0，则cos （10）图中阴影部分的面积等于 （11）已知圆C： 22 680 xyx，则圆心C的坐标为； 若直线ykx与圆C相切，且切点在第四象限，则k （12）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （13）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价%p, 第二次提价%q；方案乙：每次都提价% 2 pq ，若0pq， 则提价多的方案是 . （14）定义映射:fAB，其中(, ),Am n m nR，BR， 已知对所有的有序正整数对(, )m n满足下述条件: (,1)1f m；若nm，(, )0f m n；(1, )(, )(,1)f mnn f
5、 m nf m n， 则(2,2)f，( ,2)f n 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15） （本小题共13 分） 已知函数 2 ( )3sincoscosf xxxxa （）求( )f x的最小正周期及单调递减区间； （）若( )f x在区间, 6 3 上的最大值与最小值的和为 3 2 ，求a的值 （16） （本小题共13 分） 已知 n a为等比数列，其前n项和为 n S，且2 n n Sa * ()nN. （）求a的值及数列 n a的通项公式； （）若(21) nn bna，求数列 n b的前n项和 n T. x y O 1 3 y
6、=3x 2 13 上期末东城理科第 3 页 共 7 页3 （17） （本小题共14 分） 如图，在菱形ABCD中，60DAB，E是AB的 中点，MA平面ABCD，且在矩形ADNM中， 2AD， 3 7 7 AM （）求证：ACBN； （）求证：AN/ 平面MEC； （）求二面角MECD的大小 . （18） （本小题共13 分） 已知aR，函数( )ln1 a f xx x （）当1a时，求曲线( )yf x在点(2,(2)f处的切线方程； （）求( )f x在区间 0,e 上的最小值 （19） （本小题共13 分） 在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(3 0)，(3 0)，的距离之和等于4
7、， 设点P的轨迹为曲线C ， 直线l过点( 1,0)E且与曲线C交于A，B两点 （）求曲线C的轨迹方程； （）是否存在AOB面积的最大值，若存在，求出AOB的面积；若不存在，说明理由. （20） （本小题共14 分） 已知实数组成的数组 123 (,) n x x xx满足条件： 1 0 n i i x ； 1 1 n i i x. ( ) 当2n时，求 1 x， 2 x的值； （）当3n时，求证： 123 321xxx； （）设 123n aaaa,且 1n aa(2)n， 求证： 1 1 1 () 2 n iin i a xaa. A B C D E N M 13 上期末东城理科第 4 页
8、 共 7 页4 东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准（理科） 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分） 1、 C 2 、B 3、C 4 、A 5、C 6、D 7、D 8、C 二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分） 9、 4 5 ； 10、1；11、(3,0)， 2 4 ；12、754 10； 13 、乙 ； 14、2，22 n 、 注：两个空的填空题第一个空填对得3 分，第二个空填对得2 分 三、解答题（本大题共6 小题，共80 分） （15） （共 13 分） 解： （） 31cos2 ( )sin 2
9、22 x fxxa 1 sin(2) 62 xa. ,3 分 所以T ,4 分 由 3 222 262 kxk，得 2 63 kxk 故函数( )f x的单调递减区间是 2 , 63 kk（kZ） ,7 分 （）因为 63 x，所以 5 2 666 x所以 1 sin(2)1 26 x ,10 分 因为函数( )f x在, 6 3 上的最大值与最小值的和 1113 (1)() 2222 aa，所以0a, 13 分 （16） （共 13 分） 解： （）当1n时， 11 2Saa. ,1 分 当2n时， 1 1 2 n nnn aSS. ,3 分 因为 n a是等比数列，所以 1 1 1 221
10、aa，即 1 1a.1a.,5 分 所以数列 n a的通项公式为 1 2 n n a * ()nN. ,6 分 （）由（）得 1 (21)(21) 2 n nn bnan. 则 231 1 1 3 25 27 2(21) 2 n n Tn. 231 21 23 252(23) 2(21) 2 nn n Tnn. - 得 21 1 1222222(21) 2 nn n Tn,9 分 21 12(222)(21) 2 nn n 1 14(21)(21) 2 nn n (23) 23 n n. ,12 分 所以 (23) 23 n n Tn. ,13 分 （17） （共 14 分） 13 上期末东城
11、理科第 5 页 共 7 页5 解： （）连结BD，则ACBD. 由已知DN平面ABCD，因为DNDBD， 所以AC平面NDB. ,2 分 又因为BN平面NDB， 所以ACBN. ,4 分 （）CM与BN交于F，连结EF. 由已知可得四边形BCNM是平行四边形， 所以F是BN的中点 . 因为E是AB的中点， 所以/ANEF. ,7 分 又EF平面MEC， AN平面MEC， 所以/AN平面MEC.,9 分 （）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DEAB. 如图建立空间直角坐标系Dxyz，则(0,0,0)D，( 3,0,0)E, (0,2,0)C， 3 7 ( 3,1,) 7 M. (
12、3, 2.0)CE ， 3 7 (0,1,) 7 EM . ,10 分错误！未找到引用源。 设平面MEC的法向量为( , , )x y zn. 则 0, 0. CE EM n n 错误！未找到引用源。所以 320, 3 7 0. 7 xy yz 错误！未找到引用源。令2x. 所以 21 (2,3,) 3 n. ,12 分错误！未找到引用源。 又平面ADE的法向量(0,0,1)m，错误！未找到引用源。所以 1 cos, 2 m n m n m n . 错误！未找到引 用源。 所以二面角MECD的大小是60 . ,14 分 （18） （共 13 分） 解： （）当1a时， 1 ( )ln1f xx
13、 x ，),0(x， 所以 22 111 ( ) x fx xxx ，),0(x. ,2 分 因此 1 (2) 4 f 即曲线)(xfy在点(2,(2)f处的切线斜率为 1 4 .,4 分 又 1 (2)ln 2 2 f，所以曲线)(xfy在点(2,(2)f处的切线方程为 11 (ln 2)(2) 24 yx， 即44ln 240 xy,6 分 F A B C D E N M y x z 13 上期末东城理科第 6 页 共 7 页6 （）因为( )ln1 a fxx x ，所以 22 1 ( ) axa fx xxx 令( )0fx，得xa ,8 分 若a0 ，则( )0fx，fx在区间0,e
14、上单调递增，此时函数( )f x无最小值 若0ea，当0,xa时，( )0fx，函数fx在区间0,a上单调递减， 当,exa时，( )0fx，函数fx在区间,ea上单调递增， 所以当xa时，函数( )f x取得最小值ln a,10 分 若ea，则当0,ex时，( )0fx，函数fx在区间0,e上单调递减， 所以当ex时，函数( )f x取得最小值 e a ,12 分 综上可知，当a 0 时，函数fx在区间0,e上无最小值； 当0ea时，函数fx在区间0,e上的最小值为ln a； 当ea时，函数fx在区间0,e上的最小值为 e a ,13 分 （19） （共 13 分） 解 .（ ） 由 椭 圆
15、 定 义 可 知 ， 点P的 轨 迹C是 以(3 0)，(3 0)，为 焦 点 ， 长 半 轴 长 为2的 椭 圆,3分故曲线C的方程为 2 2 1 4 x y ,5 分 （）存在AOB面积的最大值. ,6 分 因为直线l过点( 1,0)E，可设直线l的方程为1xmy或0y（舍） 则 2 2 1, 4 1. x y xmy 整理得 22 (4)230mymy ,7 分 由 22 (2)12(4)0mm设 1122 ()()A xyB xy， 解得 2 12 23 4 mm y m ， 2 22 23 4 mm y m 则 2 21 2 43 | 4 m yy m 因为 12 1 2 AOB SOEyy 2 2 2 2 232 1 4 3 3 m m m m ,10 分 设 1 ( )g tt t ， 2 3tm，3t 则( )g t在区间3,)上为增函数 所以 4 3
