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1、13 上期末东城理科第 1 页 共 7 页1 东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学(理科)2013.01 第卷(选择题共 40 分) 一、本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)设集合1,2A,则满足1,2,3AB的集合 B 的个数是 (A)1 (B) 3(C)4(D)8 (2)已知a是实数, i 1i a 是纯虚数,则a等于 (A)1(B )1(C) 2 (D) 2 (3)已知 n a为等差数列,其前n项和为 n S,若 3 6a, 3 12S,则公差d等于 ( A)1(B) 5 3 (C)2(D
2、)3 (4)执行如图所示的程序框图,输出的k的值为 ( A)4(B)5 ( C)6(D)7 (5)若a,b是两个非零向量,则“abab”是“ab”的 (A)充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 (6)已知x,y满足不等式组 0, 0, , 24. x y xys yx 当 35s时, 目标函数yxz23的最大值的变化范围是 ( A)6,15( B)7,15(C)6,8(D)7,8 (7)已知抛物线 2 2ypx的焦点F与双曲线 22 1 79 xy 的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点 A在抛物线上且|2 |AKAF,则AFK的面积为 (A)4
3、 ( B)8 (C)16 (D)32 ( 8)给出下列命题:在区间(0,)上,函数 1 yx, 1 2 yx, 2 (1)yx, 3 yx中有三个是增函数;若 log 3log 30 mn ,则01nm;若函数( )f x是奇函数,则(1)f x的图象关于点(1,0)A对称; 已知函数 2 3 3,2, ( ) log (1),2, x x f x xx 则方程 1 ( ) 2 fx有2个实数根,其中正确命题的个数为 13 上期末东城理科第 2 页 共 7 页2 (A)1(B)2(C)3(D)4 第卷(共 110 分) 二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分。 (9)若 3
4、sin 5 ,且tan0,则cos (10)图中阴影部分的面积等于 (11)已知圆C: 22 680 xyx,则圆心C的坐标为; 若直线ykx与圆C相切,且切点在第四象限,则k (12)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (13)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价%p, 第二次提价%q;方案乙:每次都提价% 2 pq ,若0pq, 则提价多的方案是 . (14)定义映射:fAB,其中(, ),Am n m nR,BR, 已知对所有的有序正整数对(, )m n满足下述条件: (,1)1f m;若nm,(, )0f m n;(1, )(, )(,1)f mnn f
5、 m nf m n, 则(2,2)f,( ,2)f n 三、解答题:本大题共6 小题,共80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共13 分) 已知函数 2 ( )3sincoscosf xxxxa ()求( )f x的最小正周期及单调递减区间; ()若( )f x在区间, 6 3 上的最大值与最小值的和为 3 2 ,求a的值 (16) (本小题共13 分) 已知 n a为等比数列,其前n项和为 n S,且2 n n Sa * ()nN. ()求a的值及数列 n a的通项公式; ()若(21) nn bna,求数列 n b的前n项和 n T. x y O 1 3 y
6、=3x 2 13 上期末东城理科第 3 页 共 7 页3 (17) (本小题共14 分) 如图,在菱形ABCD中,60DAB,E是AB的 中点,MA平面ABCD,且在矩形ADNM中, 2AD, 3 7 7 AM ()求证:ACBN; ()求证:AN/ 平面MEC; ()求二面角MECD的大小 . (18) (本小题共13 分) 已知aR,函数( )ln1 a f xx x ()当1a时,求曲线( )yf x在点(2,(2)f处的切线方程; ()求( )f x在区间 0,e 上的最小值 (19) (本小题共13 分) 在平面直角坐标系xOy中,动点P到两点(3 0),(3 0),的距离之和等于4
7、, 设点P的轨迹为曲线C , 直线l过点( 1,0)E且与曲线C交于A,B两点 ()求曲线C的轨迹方程; ()是否存在AOB面积的最大值,若存在,求出AOB的面积;若不存在,说明理由. (20) (本小题共14 分) 已知实数组成的数组 123 (,) n x x xx满足条件: 1 0 n i i x ; 1 1 n i i x. ( ) 当2n时,求 1 x, 2 x的值; ()当3n时,求证: 123 321xxx; ()设 123n aaaa,且 1n aa(2)n, 求证: 1 1 1 () 2 n iin i a xaa. A B C D E N M 13 上期末东城理科第 4 页
8、 共 7 页4 东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准(理科) 一、选择题(本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分) 1、 C 2 、B 3、C 4 、A 5、C 6、D 7、D 8、C 二、填空题(本大题共6 小题,每小题5 分,共 30 分) 9、 4 5 ; 10、1;11、(3,0), 2 4 ;12、754 10; 13 、乙 ; 14、2,22 n 、 注:两个空的填空题第一个空填对得3 分,第二个空填对得2 分 三、解答题(本大题共6 小题,共80 分) (15) (共 13 分) 解: () 31cos2 ( )sin 2
9、22 x fxxa 1 sin(2) 62 xa. ,3 分 所以T ,4 分 由 3 222 262 kxk,得 2 63 kxk 故函数( )f x的单调递减区间是 2 , 63 kk(kZ) ,7 分 ()因为 63 x,所以 5 2 666 x所以 1 sin(2)1 26 x ,10 分 因为函数( )f x在, 6 3 上的最大值与最小值的和 1113 (1)() 2222 aa,所以0a, 13 分 (16) (共 13 分) 解: ()当1n时, 11 2Saa. ,1 分 当2n时, 1 1 2 n nnn aSS. ,3 分 因为 n a是等比数列,所以 1 1 1 221
10、aa,即 1 1a.1a.,5 分 所以数列 n a的通项公式为 1 2 n n a * ()nN. ,6 分 ()由()得 1 (21)(21) 2 n nn bnan. 则 231 1 1 3 25 27 2(21) 2 n n Tn. 231 21 23 252(23) 2(21) 2 nn n Tnn. - 得 21 1 1222222(21) 2 nn n Tn,9 分 21 12(222)(21) 2 nn n 1 14(21)(21) 2 nn n (23) 23 n n. ,12 分 所以 (23) 23 n n Tn. ,13 分 (17) (共 14 分) 13 上期末东城
11、理科第 5 页 共 7 页5 解: ()连结BD,则ACBD. 由已知DN平面ABCD,因为DNDBD, 所以AC平面NDB. ,2 分 又因为BN平面NDB, 所以ACBN. ,4 分 ()CM与BN交于F,连结EF. 由已知可得四边形BCNM是平行四边形, 所以F是BN的中点 . 因为E是AB的中点, 所以/ANEF. ,7 分 又EF平面MEC, AN平面MEC, 所以/AN平面MEC.,9 分 ()由于四边形ABCD是菱形,E是AB的中点,可得DEAB. 如图建立空间直角坐标系Dxyz,则(0,0,0)D,( 3,0,0)E, (0,2,0)C, 3 7 ( 3,1,) 7 M. (
12、3, 2.0)CE , 3 7 (0,1,) 7 EM . ,10 分错误!未找到引用源。 设平面MEC的法向量为( , , )x y zn. 则 0, 0. CE EM n n 错误!未找到引用源。所以 320, 3 7 0. 7 xy yz 错误!未找到引用源。令2x. 所以 21 (2,3,) 3 n. ,12 分错误!未找到引用源。 又平面ADE的法向量(0,0,1)m,错误!未找到引用源。所以 1 cos, 2 m n m n m n . 错误!未找到引 用源。 所以二面角MECD的大小是60 . ,14 分 (18) (共 13 分) 解: ()当1a时, 1 ( )ln1f xx
13、 x ,),0(x, 所以 22 111 ( ) x fx xxx ,),0(x. ,2 分 因此 1 (2) 4 f 即曲线)(xfy在点(2,(2)f处的切线斜率为 1 4 .,4 分 又 1 (2)ln 2 2 f,所以曲线)(xfy在点(2,(2)f处的切线方程为 11 (ln 2)(2) 24 yx, 即44ln 240 xy,6 分 F A B C D E N M y x z 13 上期末东城理科第 6 页 共 7 页6 ()因为( )ln1 a fxx x ,所以 22 1 ( ) axa fx xxx 令( )0fx,得xa ,8 分 若a0 ,则( )0fx,fx在区间0,e
14、上单调递增,此时函数( )f x无最小值 若0ea,当0,xa时,( )0fx,函数fx在区间0,a上单调递减, 当,exa时,( )0fx,函数fx在区间,ea上单调递增, 所以当xa时,函数( )f x取得最小值ln a,10 分 若ea,则当0,ex时,( )0fx,函数fx在区间0,e上单调递减, 所以当ex时,函数( )f x取得最小值 e a ,12 分 综上可知,当a 0 时,函数fx在区间0,e上无最小值; 当0ea时,函数fx在区间0,e上的最小值为ln a; 当ea时,函数fx在区间0,e上的最小值为 e a ,13 分 (19) (共 13 分) 解 .( ) 由 椭 圆
15、 定 义 可 知 , 点P的 轨 迹C是 以(3 0),(3 0),为 焦 点 , 长 半 轴 长 为2的 椭 圆,3分故曲线C的方程为 2 2 1 4 x y ,5 分 ()存在AOB面积的最大值. ,6 分 因为直线l过点( 1,0)E,可设直线l的方程为1xmy或0y(舍) 则 2 2 1, 4 1. x y xmy 整理得 22 (4)230mymy ,7 分 由 22 (2)12(4)0mm设 1122 ()()A xyB xy, 解得 2 12 23 4 mm y m , 2 22 23 4 mm y m 则 2 21 2 43 | 4 m yy m 因为 12 1 2 AOB SOEyy 2 2 2 2 232 1 4 3 3 m m m m ,10 分 设 1 ( )g tt t , 2 3tm,3t 则( )g t在区间3,)上为增函数 所以 4 3