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1、2014 昌平高三二模数学理科第 1 页 共 12 页 昌平区 2014 年高三年级第二次统一练习 数 学 试 卷（理科）2014.04 第卷（选择题共 40 分） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项 . ） 1、 已知集合 213Axx , 2 4Bx x, 则ABU (A)21xx(B)2x x (C)21xx(D)2x x 2、 “1,1ab”是“1ab”的 （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 3、设 0.10.1 3 4,log 0.1,0.5abc，则 （A）abc
2、（B ）bac（C）acb（D）bca 4、 6 (2)x的展开式中 2 x的系数是 （A）120（B ）120（C）60（D）60 5、 在ABC中，2 3,2BCAC，6 ABC S，则C等于 （A ） 4 （B ） 3 （C） 4 或 3 4 （D） 3 或 2 3 6、 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （A）12（B）36 （C）24（D）72 7、 如图，AB是半圆O的直径，,C D是弧AB的三等分点， ,M N是线段 AB的三等分点，若 6OA，则MD NC u uu r uu u r 的值 是 （A） 2 （B）10（C） 26 （D） 28 左视图 4 俯视图 主
3、视图 3 6 主视图 左视图 俯视图 2014 昌平高三二模数学理科第 2 页 共 12 页 8、已知 1 1,1, ( ) ln , 01 x f x x xx ，若函数( )( )g xf xkxk只有一个零点， 则k的取值 范围是 （A）(, 1)(1,)U（ B）( 1,1)（ C）0,1（D）(, 10,1U 第二卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分. ） 9、 若数列 n a满足： 11 1 1,() 2 nn aaanN*，则 4 a_ . 10、圆 C ：2sin的圆心到直线:sin2l的距离为 _ . 11 、如图，已知e
4、 O中，弦2 3BC, BD 为e O直径 . 过 点C作e O的 切 线 ， 交BD的 延 长 线 于 点A， 30ABC. 则AD_ . 12、已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为(2,0)F， 则p_，过点(3,2)A向其准线作垂线，记与抛物线的交点为E，则EF_. 13、选派5 名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派方 法共有 _种 . 14 、已知正方体 1111 ABCDA BC D的棱长为2，在四边形 11 ABC D内随机取一点M, 则 90AMB的概率为 _ ，135AMB的概率为 _. 三、解答题（本大题共6 小题，共 80 分. 解答应
5、写出文字说明，证明过程或演算 步骤. ） 15、 ( 本小题满分13 分) 已知函数( )f x 2 cossin1,()xxxR. （）求 7 () 6 f 的值； （）当 2 , 63 x 时，求( )f x的取值范围 . 2014 昌平高三二模数学理科第 3 页 共 12 页 16 、( 本小题满分13 分) 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案: 应聘者从 6道备选题中一次性随机抽取3道 题, 按照题目要求独立完成. 规定 : 至少正确完成其中2道题的便可通过. 已知6道备选题中应 聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 2 3 , 且每题 正确完成与
6、否互不影响. ( ) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列, 并计算其数学期望； ( ) 请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？ 17 、( 本小题满分14 分) 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 2,4ABAA. （）求证： 1 BDAC； （）求二面角 11 AACD的余弦值； （）在线段 1 CC上是否存在点P，使得平面 11 ACD平面 PBD，若存在，求出 1 CP PC 的值；若不存在，请说明理由. 18 、( 本小题满分13 分) 已知函数( )lnf xaxx,(0)a. （）求( )f x的单调区间； （）当0a时，若对于任意的(0,)x，都有(
7、)31f xax成立，求a的取值范围 . 2014 昌平高三二模数学理科第 4 页 共 12 页 19 、( 本小题满分13 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，点(0,3)B为短轴的一个端 点， 2 60OF B. （）求椭圆C的方程； （）如图， 过右焦点 2 F，且斜率为(0)k k的直线l与 椭圆C相交于,E F两点，A为椭圆的右顶点，直线 ,AE AF分别交直线3x于点,M N，线段MN的中点 为P，记直线 2 PF的斜率为k. 求证 :k k为定值 . 20、 ( 本小题满分14 分) 已知数列 n a的各项均为正数，记 1
8、2 ( ) n A naaaL, 231 ( ) n B naaaL, 342 ( ),1,2, n C naaanLL. （）若 12 1,5aa， 且对任意n * N， 三个数( ),( ),( )A n B n C n组成等差数列， 求数列 n a 的通项公式 . （）证明：数列 n a是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n * N，三个数 ( ),( ),( )A nB n C n组成公比为q的等比数列 . 2014 昌平高三二模数学理科第 5 页 共 12 页 昌平区 2014 年高三年级第二次统一练习 数学试卷（理科）2014.4 参考答案 一、选择题（本大题共8 小题，每
9、小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项 中，选出符合题目要求的一项. ） 题 号1 2 3 4 5 6 7 8 答 案B A C D C A C D 二、填空题（本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分. ） 9、 1 8 ；10、3； 11、2； 12、4， 5 2 ； 13、 240 ；14、 2 16 ， 22 2 16 . （第一空2 分，第二空3 分） 三、解答题（本大题共6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤. ） 15/( 本小题满分13 分) 解： （）因为 2 ( )cossin1f xxx 2 1 sinsin1xx,1 分
10、2 sinsinxx 211 (sin) 24 x，,3 分 所以 22 77111113 ()(sin)() 66242244 f . ,6 分 （或 27313 ()()1 6224 f,3 分） （）因为 2 , 63 x所以 1 sin,1 2 x. ,8 分 所以 11 sin 1, 22 x. 所以 2 1 (sin)0,1 2 x. ,10 分 所以 21 (sin) 1,0 2 x. 所以 2113 1 (sin), 244 4 x. ,12 分 所以( )fx的取值范围为 3 1 , 4 4 . 13 分 16 、( 本小题满分13 分) 解:( ) 设甲正确完成面试的题数为
11、, 则的取值分别为1,2,3. ,1 分 2014 昌平高三二模数学理科第 6 页 共 12 页 12 42 3 6 1 (1) 5 C C P C ； 21 42 3 6 3 (2) 5 C C P C ； 30 42 3 6 1 (3) 5 C C P C ；,3 分 考生甲正确完成题数的分布列为 131 1232 555 E. ,4 分 设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为0,1,2,3. ,5 分 (0)P 03 3 11 () 327 C； 112 3 216 (1)() ( ) 3327 PC, 22 3 2112 (2)() ( ) 3327 PC, 33 3 28 (3)()
12、 327 PC. ,7 分 考生乙正确完成题数的分布列为 : 16128 01232 27272727 E. ,8 分 ( ) 因为 222 1312 (12)(22)(32) 5555 D, ,10 分 2222 161282 (02)(12)(22)(32) 272727273 D. ,12 分 （或 2 3 Dnpq）. 所以DD. (或：因为 31 (2)0.8 55 P, 128 (2)0.74 2727 P, 所以(2)(2)PP. ) 综上所述， 从做对题数的数学期望考查, 两人水平相当； 从做对题数的方差考查, 甲较稳定； 从至少完成2道题的概率考查, 甲获得面试通过的可能性大
13、. ,13 分 1 2 3 P 1 5 3 5 1 5 0 1 2 3 P 1 27 6 27 12 27 8 27 2014 昌平高三二模数学理科第 7 页 共 12 页 （说明 : 只根据数学期望与方差得出结论,也给分 . ） 17、 ( 本小题满分14 分) 证明： ( ) 因为 1111 ABCDA BC D为正四棱柱， 所以 1 AA平面ABCD，且ABCD为正方形 . ,1 分 因为BD平面ABCD， 所以 1, BDAA BDAC. ,2 分 因为 1 AAACA, 所以BD平面 1 A AC. ,3 分 因为 1 AC平面 1 A AC, 所以 1 BDAC. ,4 分 ()
14、如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz. 则 11 (0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),DABCAB 11 (0,2,4),(0,0,4)CD,5 分 所以 111 (2,0,0),(0,2, 4)D ADC uuuu ruuu r . 设平面 11 AD C的法向量 111 (,)xy zn. 所以 11 1 0, 0 D A D C uuuu r uuu r n n . 即 1 11 0, 240 x yz ,6 分 令 1 1z，则 1 2y. 所以(0,2,1)n. 由 （ ） 可 知 平 面 1 AAC的 法 向 量 为
15、 (2,2,0)DB uuu r . ,7 分 所以 410 cos, 55 2 2 DB uu u r n. ,8 分 因为二面角 11 AACD为钝二面角， 2014 昌平高三二模数学理科第 8 页 共 12 页 所以二面角 11 AACD的余弦值为 10 5 . ,9 分 ( ) 设 222 (,)P xy z为线段 1 CC 上一点, 且 1(0 1)CPPC uu ruuu r . 因为 2221222 (,2,),(,2,4)CPxyzPCxyz uu ruuu r . 所以 222222 (,2,)(,2,4)xyzxyz.,10分 即 222 4 0,2, 1 xyz . 所以 4 (0,2,) 1 P .,11分 设平面PBD的法向量 333 (,)xy zm. 因为 4 (0, 2,),(2,2,0) 1 DPDB uu u ruu u r ， 所以 0, 0 DP DB uu u r uu u r m m . 即 33 33 4 20, 1 220 yz
