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1、多面体多面体欧拉定理欧拉定理(二）二）制作：杨建楠制作：杨建楠1、欧拉定理（公式）、欧拉定理（公式）复习：复习：2、欧拉示性数、欧拉示性数是否所有的多面体的欧拉示性数都是是否所有的多面体的欧拉示性数都是2？3、什么样的多面体叫做简单多面体？、什么样的多面体叫做简单多面体？ 什么样的凸多面体叫做正多面体？什么样的凸多面体叫做正多面体？为什么正多面体只有五种呢？证明：设正多面体的每个面边数为证明：设正多面体的每个面边数为x，每个顶点的棱数为每个顶点的棱数为y,则多面体有则多面体有F个面，有个面，有V个顶点，棱数个顶点，棱数代入代入欧拉公式得：欧拉公式得： 又又 都不小于都不小于3，但，但又不能同时
2、大于又不能同时大于3，否则否则 不成立不成立 所以所以x, y 中至少有一个为中至少有一个为3，若，若x=3，则则同样同样所以满足条件所以满足条件 的情况为的情况为每个面的边数 X每个顶点的棱数 Y面数F多面体的名称3 3 4 正四面体正四面体 3 4 8 正八面体正八面体 4 3 6 正六面体正六面体 5 3 12 正十二面体正十二面体 3 5 20 正二十面体正二十面体所以正多面体只有五种所以正多面体只有五种例1：每个顶点处棱数都是3的正多面体有几种？解：设多边形的边数为解：设多边形的边数为x, 由题意由题意 代入欧拉公式得：代入欧拉公式得：有三有三种，正四、六、十二面体种，正四、六、十二
3、面体例例2：一个凸多面体每面的边数相同，每：一个凸多面体每面的边数相同，每个顶点处的棱数也相同，若各个面的内角个顶点处的棱数也相同，若各个面的内角总和为总和为36000，求这个多面体的面数，求这个多面体的面数F，顶顶点数点数V及棱数及棱数E。解：设多面体的每个面边数为解：设多面体的每个面边数为x，每个顶点连每个顶点连的棱数为的棱数为y,则则代入代入欧拉公式得欧拉公式得所以这个多面体的各面是三角形，各顶点处所以这个多面体的各面是三角形，各顶点处有有5条棱。条棱。这个多面体有这个多面体有12个顶点，个顶点，20个面，个面，30条棱。条棱。例3：设多面体共有V个顶点，求证：它的各面多边形内角和为（V
4、2） 3600 。证明：设各面为证明：设各面为E1、E2、EF边形，则内边形，则内角和为角和为例例4：求证：不存在：求证：不存在7条棱的凸多面体条棱的凸多面体证明：若存在证明：若存在7条棱的凸多面体，则由欧拉定理条棱的凸多面体，则由欧拉定理但但四面体有四面体有6条棱，五面体有条棱，五面体有8条棱。条棱。故不存在故不存在7条棱的凸多面体。条棱的凸多面体。课堂小结：1、欧拉定理、欧拉定理 简单多面体的顶点简单多面体的顶点 数数V、棱棱数数E、面数面数F间满足关系：间满足关系： V+FE=22、欧拉定理（公式）的应用、欧拉定理（公式）的应用 证明只有五种正多面体 （四、六、八、十二、二十） 证明有关多面体的问题作业：作业：课课练课课练P.6768
