勾股定理经典例题(含)-修订编选

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1、1 经典例题透析经典例题透析 类型一：勾股定理的直接用法类型一：勾股定理的直接用法 1、在 RtABC 中，C=90 (1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40，b=9，求 c； (3)已知 c=25，b=15，求 a. 思路点拨思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：解析：(1) 在ABC 中，C=90，a=6，c=10,b= (2) 在ABC 中，C=90，a=40，b=9,c= (3) 在ABC 中，C=90，c=25，b=15,a= 举一反三举一反三 【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=

2、3,则 AB 的长是多少? 【答案】ACD=90 AD=13, CD=12 AC2 =AD2CD2 =132122 =25 AC=5 又ABC=90且 BC=3 由勾股定理可得 AB2=AC2BC2 =5232 =16 AB= 4 AB 的长是 4. 类型二：勾股定理的构造应用类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，. 求：BC 的长. 思路点拨思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 D，则有 ，再由勾股定理计算出 AD、DC 的长，进而求出 BC 的 长. 解析解析：作于 D，则因， （的两个锐角互余） （在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

3、 根据勾股定理，在中， . 根据勾股定理，在中， 2 . . 举一反三举一反三【变式 1】如图，已知：，于 P. 求证：. 解析解析：连结 BM，根据勾股定理，在中， . 而在中，则根据勾股定理有 . 又 （已知） ， . 在中，根据勾股定理有 ， . 【变式 2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。 分析分析 ： 如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、DC 交于 F，或延长 AD、BC 交于点 E，根 据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析解析：延长 AD、BC 交于 E。 A=60

4、，B=90，E=30。 AE=2AB=8，CE=2CD=4， BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。 S四边形 ABCD=SABE-SCDE=ABBE-CDDE= 类型三：勾股定理的实际应用类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题（一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中， 小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了 到达 B 点，然后再沿北偏西 30方向走了 500m 到达目的地 C 点。 3 （1）求 A、C 两点之间的距离。 （2）确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。

5、解析解析：（1）过 B 点作 BE/AD DAB=ABE=60 30+CBA+ABE=180 CBA=90 即ABC 为直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得： 所以 （2）在 RtABC 中， BC=500m，AC=1000m CAB=30 DAB=60 DAC=30 即点 C 在点 A 的北偏东 30的方向 举一反三举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该 工厂的厂门? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH如图所示，点 D 在 离厂门

6、中线 0.8 米处，且 CD， 与地面交于 H 解：解：OC1 米 (大门宽度一半)， OD0.8 米 （卡车宽度一半） 在 RtOCD 中，由勾股定理得： CD.米， C.（米）.（米） 因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门 4 （二）用勾股定理求最短问题（二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位 于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了 四种架设方 案，如图实 线部分请你帮助 计算一下，哪种架设方案最省电线 思路点拨思路点拨 ： 解答本题的

7、思路是 ： 最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论 解析解析：设正方形的边长为 1，则图（1） 、图（2）中的总线路长分别为 AB+BC+CD3，AB+BC+CD3 图（3）中，在 RtABC 中 同理 图（3）中的路线长为 图（4）中，延长 EF 交 BC 于 H，则 FHBC，BHCH 由FBH 及勾股定理得： EAEDFBFC EF12FH1 此图中总线路的长为 4EA+EF 32.8282.732 图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线 举一反三举一反三 【变式】 如图， 一圆柱体的底面周长为 20cm， 高为 4cm， 是上底面的直径

8、 一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程 解：解： 5 如图，在 Rt中，底面周长的一半cm， 根据勾股定理得 （提问：勾股定理） AC （cm） （勾股定理） 答：最短路程约为cm 类型四：利用勾股定理作长为类型四：利用勾股定理作长为的线段的线段 5、作长为、的线段。 思路点拨：思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边 长就是，类似地可作。 作法作法：如图所示 （1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角ACB，使 AB 为斜边； （2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为 1 的直角。斜边为； （

9、3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是 、。 举一反三举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：解析：可以把看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3 和 1。 作法作法：如图所示在数轴上找到 A 点，使 OA=3，作 ACOA 且截取 AC=1，以 OC 为半径， 以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为。 类型五：逆命题与勾股定理逆定理类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1原命题：猫有四只脚 （正确） 6 2原命题：对顶角相等（正确）

10、 3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等 （正确） 4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等 （正确） 思路点拨：思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。 解析：解析：1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确） 2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确） 3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上（正确） 4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上 （正确） 总结升华：总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。 7、如果ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC 的形状。 思路点拨思路点拨

11、：要判断ABC 的形状，需要找到 a、b、c 的关系，而题目中只有条件 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从 该条件入手，解决问题。 解析解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC 是直角三角形。 总结升华总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 举一反三举一反三

12、【变式 1】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。 【答案】：连结 AC B=90，AB=3，BC=4 AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） AC=5 AC2+CD2=169，AD2=169 AC2+CD2=AD2 ACD=90（勾股定理逆定理） 【变式 2】已知:ABC 的三边分别为 m2n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数,且 mn),判断ABC 是否为直角三角形. 分析分析:本题是利用勾股定理的的逆定理， 只要证明:a2+b2=c2即可 证明：证明： 7 所以ABC 是直角三角形. 【变式 3】如图正方形 ABC

13、D，E 为 BC 中点，F 为 AB 上一点，且 BF=AB。 请问 FE 与 DE 是否垂直?请说明。 【答案】答：DEEF。 证明：设 BF=a，则 BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接 DF（如图） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。 经典例题精析经典例题精析 类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。 思路点

14、拨：思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理 列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析：解析：设此直角三角形两直角边分别是 3x，4x，根据题意得： （3x）2+（4x）2202 化简得 x216； 直角三角形的面积3x4x6x296 总结升华：总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求 解。 举一反三举一反三 【变式变式 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。 【答案答案】如图，等边ABC，作 ADBC 于 D 则：BDBC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） ABACBC2（等边三角形各边都相等） BD1 在直角三角形 ABD 中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413 AD SABCBCAD 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为a。 【变式变式 2】直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。 【答案答案】设此直角三角形两直角边长分别是 x，y，根据题意得： 由（1）得：x+y7， （x+y）249，x2+2xy+y249 (3) 8 (3)(2)，得：xy12 直角三角形的面积是xy126（cm2） 【变式变