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1、第 1 页，共 16 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号 一二三总分 得分 一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 设集合 = 1,2，5，6， = 2,4， = 1,2，3，4，则( ) = () A. 2B. 1,2，4 C. 1,2，4，5D. 1,2，3，4，6 2. 函数() = + 1 + 2 1的定义域是() A. (1, + )B. (1,1) (1, + ) C. 1, + )D. 1,1) (1, + ) 3. 已知函数() = | + 1 ，则函数 = ()的大致图象为() A. B. C. D. 4. 函数 = ( + )的部分图
2、象如图所示，则() A. = 2(2 6) B. = 2(2 3) C. = 2(2 + 6) D. = 2(2 + 3) 第 2 页，共 16 页 5. 若 x，y 满足约束条件 + 1 0 + 3 0 + 33 0，则 = 3的最小值为() A. 2B. 1C. 1D. 0 6. 数列的前 n 项和为，1= 1，= 2 + 1，则= () A. 21B. ( 1 2) 1 C. ( 2 3) 1 D. ( 3 2) 1 7. 设 0， 0，若直线 + = 2平分圆 C：(1)2+(1)2= 1，则 1 + 1 的 最小值为() A. 1B. 2C. 4D. 1 4 8. 某几何体的三视图如
3、图所示，其中俯视图是个半圆，则该 几何体的表面积为() A. 5 2 +3B. 5 2 C. 3 2 +3D. 3 2 9. 设函数() = | 1 2019 + 2，则使得() (21)成立的 x 的取值范围是() A. ( 1 3,1) B. (, 1 3) (1, + ) C. ( 1 3, 1 3) D. (, 1 3) ( 1 3, + ) 10.已知 ,| = 1 ,| = ， 若P点是 所在平面内一点， 且 = | + 4 |， 则 的最大值等于() A. 13B. 15C. 19D. 21 二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分） 11.设两直线1： + + 1 =
4、0；2： + + 2 = 0，若1/2，则 = _； 若12，则_ 第 3 页，共 16 页 12.已知函数() = 3 2 2，则函数 = ()的周期为_，函数 = ()在区间0, 2上的最小值是_ 13.已知数列满足2+5= 18，34= 32，若为等差数列，其前 n 项和为， 则6= _；若为单调递减的等比数列，其前 n 项和为= 63，则 _ 14.已知向量,是同一平面内的三个向量，其中 = (1, 3).若| = 2，且/，则向 量 b 的坐标_；若| =2，且( + ) (23)，则 _ 15.已知定点(0,0)，(3,0)且| = 2|，则动点 M 的轨迹方程_ 16.已知矩形
5、ABCD， = 2 = 2，沿 AC 翻折，使面 面 ABC，则二面角 的余弦值为_ 17.已知 ，记函数() = | + 4 + 2| + 在1,2的最大值为 3，则实数 t 的取 值范围是_ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分） 18.已知 a，b，c 分别是 内角 A，B，C 的对边，sin2 = 2 ()若 = ，求 cosB； ()若 = 60， 的面积为 3 2 ，求 b 第 4 页，共 16 页 19.已知圆 C 经过两点(1,3)，(2,6)， 且圆心在直线 + 24 = 0上， 直线 l 的方 程 + (1) + 1 = 0( ) ()求圆 C 的方程； ()求
6、直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时的方程 20.已知是递增的等差数列，2，4是方程25 + 6 = 0的根 ()求的通项公式； ()求数列 2的前 n 项和 21.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， /， = 90， 底面 ABCD，且 = = = 2， M、 N 分别为 PC、PB 的中点 ()求证： ； ()求 CD 与平面 ADMN 所成的角的余弦值 第 5 页，共 16 页 22.设函数() = 2+(2 + 1) + 2+3( ) ()若() 2+3 + 1对任意的 1,2上恒成立，求 a 的取值范围； ()若()在区间,上单调递增，且函数()在区间,上的值域为,，求 a 的取值范
7、围 第 6 页，共 16 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】解： 集合 = 1,2，5，6， = 2,4， = 1,2，3，4， = 1,2，4，5，6， ( ) = 1,2，4 故选：B 利用并集、交集定义直接求解 本题考查并集、交集求法，考查并集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 2.【答案】D 【解析】解：函数() = + 1 + 2 1， 令 + 1 0 1 0 ， 解得 1且 1； 所以()的定义域是1,1) (1, + ) 故选：D 根据函数()的解析式，列出不等式组，求出解集即可 本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题 3.【答案】B
8、 【解析】解：函数 = ()是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项 A、C， 又当 = 1时，函数值等于 0，故排除 D， 故选：B 由函数不是奇函数图象不关于原点对称，排除 A、C，由 0时，函数值恒正，排除 D 本题考查函数图象的特征，通过排除错误的选项，从而得到正确的选项排除法是解选 择题常用的一种方法 4.【答案】A 第 7 页，共 16 页 【解析】解：根据函数 = ( + )的部分图象，可得 = 2， 2= = 3+ 6， = 2 再根据五点法作图可得2 3+ = 2， = 6，故() = 2(2 6)， 故选：A 由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出，由五点法作
9、图求出的值，可得函数 的解析式 本题主要考查由函数 = ( + )的部分图象求解析式， 由函数的图象的顶点坐标 求出 A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题 5.【答案】C 【解析】解：作出约束条件 + 1 0 + 3 0 + 33 0，表示的平面 区域，如图所示 由 = 3可得 = 3， 则表示直线3 = 0 在 y 轴上的截距， 截距越大 z 越小 结合图形可知，当直线 = 3过点 C 时 z 最小 由 + 33 = 0 + 1 = 0 可得(0,1)， 此时 = 1 故选：C 作出不等式组表示的平面区域， 由 = 3可得 = 3， 则表示直线3 = 0 在 y 轴上的截距，截距
10、越大 z 越小，结合图形可求 本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中 z 的几何意义，属 于基础题 6.【答案】D 【解析】 第 8 页，共 16 页 【分析】 由1= 1，= 2 + 1，可得= 2( + 1)，化为： + 1= 3 2，再利用等比数列 的通项公式即可得出 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 【解答】 解： 1= 1，= 2 + 1， = 2( + 1)，化为： + 1= 3 2 数列是等比数列，公比为 3 2，首项为 1 则= ( 3 2) 1 故选：D 7.【答案】B 【解析】解 ： 根据题意，圆
11、C：(1)2+(1)2= 1的圆心为(1,1)，若直线 + = 2 平分圆 C， 则直线经过圆 C 的圆心，则有 + = 2， 则有 1 + 1 = 1 2( + )( 1 + 1 ) = 1 2 (2 + + )， 又由 0， 0，则 + 2 = 2，则 1 + 1 = 1 2 (2 + + ) 2， 即 1 + 1 的最小值为 2； 故选：B 根据题意，由直线与圆的位置关系分析可得直线经过圆 C 的圆心，则有 + = 2，进 而可得 1 + 1 = 1 2( + )( 1 + 1 ) = 1 2 (2 + + )，结合基本不等式的性质分析可得答案 本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线
12、与圆的位置关系，属于基础题 8.【答案】C 【解析】解：由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积 为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和 又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为 1 2 1 2 = ，底面积为 1 2， 第 9 页，共 16 页 观察三视图可知，轴截面为边长为 2 的正三角形，所以轴截面面积为 1 2 2 2 3 2 = 3， 则该几何体的表面积为： 3 2 + 3 故选：C 三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积， 解决本题的关键是得到该几何体的形状 9.【答案】A 【解析】 【
13、分析】 本题考查了偶函数的定义，二次函数、一次函数的单调性，增函数的定义，考查了计算 能力，属于基础题 可以判断出()是 R 上的偶函数，且在0, + )上是增函数，从而根据() (21) 得出| |21|，从而得出2 (21)2，解出 x 的范围即可 【解答】 解：()是 R 上的偶函数， 0时，() = 1 2019 + 2， ()在0, + )上是增函数， 由() (21)得，(|) (|21|)， | |21|， 2 424 + 1，解得 1 3 0，解得 (1,0)，令 0，解得 (0,2)， 函数 = + 4 + 2在(1,0)减，(0,2)增，又当 = 0时， = 2，当 = 1
14、时， = 3， 当 = 2时， = 3， 2,3，则问题转化为 = | + 在 2,3上的最大值为 3， 当 在 2,3恒成立时，函数变为 = ，此时 = 3时，满足最大值为 3，则 2； 当 时，此时函数变为 = 2，则2 3在在 2,3恒成立，故2 3 + 恒成立，此时解得 5 2， 综上得， 5 2， 故答案为： 5 2 由题意，可先令 = + 4 + 2，求出 a 的取值范围，将问题转化为 = | + 在 2,3上的最大值为 3，再分类去绝对值转化为函数最值问题，即可求出参数的取值 范围 本题考查函数的最值，属于已知函数最值求参数取值范围类的题，本题难度较大，比较 抽象，解答的关键是将
15、函数转化为 = | + 在 2,3上的最大值为 3，再分类讨 论去绝对值号将问题转化为不含有绝对值的函数最值问题， 本题考查了分类讨论转化化 归的思想 18.【答案】解：()sin2 = 2.由正弦定理可得2= 2， 因为 = ，可得 = 2， = 2， 所以 = 2+ 22 2 = 1 4； ()由()可知2= 2，因为 = 60， 的面积为 3 2 ， 可得 1 2 = 3 2 ，所以 = 2，可得 = 2 第 14 页，共 16 页 【解析】本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计 算能力，是中档题 ()利用正弦定理结合 = ，然后通过余弦定理求 cosB； ()若 = 60， 的面积为 3 2 ，求出 ac，然后求解 b 19.【答案】解：()设圆 C 的方程为：2+ 2+ + + = 0 由条件得 1 + 93 + = 0 4 + 36 + 2 + 6 + = 0 ( 2) + 2 ( 2)4 = 0 ，解得： = 4 = 2 = 20 故圆的方程为：2+ 24220 = 0； ()直线 l 的方程 + (1) + 1 = 0( )过定点(1,1)， 且点(1,1)在圆 C 内； 又圆心为(2,1)，半径为 5； 由半弦长，
