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1、第 1 页，共 20 页 高三（上）期中数学 高三（上）期中数学 题号 一二三总分 得分 一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 已知集合 = 1,0，2，3， = |1| 1，则 = () A. 0,2B. 2,3C. 1,0，2D. 0,1，2 2. 以下哪个点在倾斜角为45且过点(1,2)的直线上() A. (2,3)B. (0,1)C. (3,3)D. (3,2) 3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 () A. 1 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 2 4. 若实数 x，y 满足 0 + 2 0 2 + 2 0，则 = 2的最大值是() A. 0
2、B. 1C. 2D. 3 5. 已知平面，直线 m 满足， ，则“ ”是“/”的() 第 2 页，共 20 页 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 设函数() = 1 + ，则()的图象大致为() A. B. C. D. 7. 汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图” 是我国古代数学的瑰宝 如图所示的弦图中， 由四个全等的 直角三角形和一个正方形构成 现有五种不同的颜色可供涂 色， 要求相邻的区域不能用同一种颜色， 则不同的涂色方案 有() A. 180B. 192C. 420D. 480 8. 甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两
3、胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平 局(必须分出胜负)， 且每一局甲赢的概率都是 p， 随机变量 X 表示最终的比赛局数， 若0 21 8 C. () 1 4 D. () 0, 0)上的一点，1，2分别为C的左右焦点， 若 12的内切圆的直径为 a，则双曲线 C 的离心率的取值范围为_ 17.已知数列满足1 1 3, 1 2)， + 1= sin 2 ，( )， 记数列的前 n 项和为 ， 则对任意 ， 有数列单调递增 ；2 + 1 21+； + 1 3 4+ 1 4； 2019 2020.上述四个结论中正确的是_.(填写相应的序号) 三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分） 18
4、.已知() = ( + 3) (1)求()的最小正周期及最大值； (2)在三角形 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且() = 1， 第 4 页，共 20 页 = 1， =2，求 的面积 19.如图所示，四棱锥中，底面 ABCD 是平行四边 形， 平面 ABCD， = = 1， = 2， F 是 PB 中点，点 E 在棱 BC 上移动 (1)若 ，求证： ； (2)若 = 2 3，当点 E 为 BC 中点时，求 PA 与平面 PDE 所成角的大小 20.设各项均为正数的数列的前 n 项和为，满足4= (+3)(1)，已知等比 数列，2=1，3=4， (1)求数列，的通项
5、公式； (2)记= ，数列的前 n 项和为，证明：对一切正整数 n， 0，故排除 C； 1 1，而1 + 1， () (1,1)，故排除 A、D； 故选：B 7.【答案】C 【解析】解：根据题意，假设五个区域分别为， 分 2 步进行分析： 对于区域，三个区域两两相邻，有3 5= 60种情况， 对于区域，若与的颜色相同，则有 3 种情况， 若与的颜色不同，则有 2 种情况，有 2 种情况，此时 区域的情况有2 2 = 4种， 则区域有3 + 4 = 7种情况， 则一共有60 7 = 420种涂色方案； 故选：C 根据题意，假设五个区域分别为，进而分 2 步讨论区域与区域 的涂色方法数目，由分步计
6、数原理计算可得答案 本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 8.【答案】D 【解析】解：X 的可能取值为 2，3， ( = 2) = 2+(1)2= 222 + 1， ( = 3) = 1 2 (1) 1 = 222， () = 2 (222 + 1) + 3(222) = 22+2 + 2， (2) = 4 (222 + 1) + 9 (222) = 102+10 + 4， () = (2)2() = 102+10 + 4(22+2 + 2)2= 44+8362+2， 因为()以 = 1 2为对称轴，开口向下， 所以()在 (0, 1 3)时，()单调递增， 第 10
7、页，共 20 页 所以() 2 ( 1 3) 2+2 1 3+2 = 22 9，排除 A，B () = 163+24212 + 2， () = 12(21)2 0， 所以()在 (0,1)上单调递减， 又当 = 1 3时，() = 2 27 0， 所以当 (0,1)时，() 0， 所以 (0,1)时()单调递增， 所以() 4 ( 1 3) 4+8 (1 3) 36 (1 3) 2+2 1 3= 20 81 故选：D X 的可能取值为 2， 3， 求出每个变量对应的概率， 即可得到()，(2)， 进而得到(). 求导，研究函数在(0, 1 3)上的单调性，即可求出()的最大值 本题考查了离散型
8、随机变量的期望和方差，导数的综合应用，属于难题 9.【答案】C 【解析】解：如图，设 = ， = ， = ，则 = = ， 依题意，对任意 都有| | |，故() ，所以 ， 即 B 点在以 OA 为直径的圆 M 上( 为圆心)， 同理 C 也在以 OA 为直径的圆 M 上， 则 = = 1， = 3， 设 = ， 则因为 = = 1， 所以 = ， 则 = + = 2， 依题意有 = 1 = ， =3 = 2， 所以 = 1 2， 第 11 页，共 20 页 所以| = = 1 1 2 = 2 故选：C 设 = ， = ， = ， 则 = = ， 由对任意 都有| | |，| |成立， 知点
9、 B， C 在以 OA 为直径的圆上， 再结合圆的性质即可求出 OA 的长度，即|的值 本题考查了向量的位置关系，考查了向量的模，考查了圆的性质，三角恒等变换，属于 难题 10.【答案】B 【解析】解：设 = ，则 + 2 + 4 13 = + 2 2+ + 2 = 2+ + 22 2+ + 2 = 1 2 2+ + 2 = 1 1 1 + + 2， 2(1 + + 2) = 2+ + 2， 则2+2+ 22= + 4 13，即( 2+1)2( + 1) + 4 13= 0， 依题意， = ( + 1)24(2+1) 4 13 0， 即(3)(31) 0，解得 1 3 3， 2+ + 1 13
10、 9,13， 1 1 2+ + 1 4 13, 12 13 故选：B 设 = ，则可得( 2+1)2( + 1) + 4 13= 0，由题意，该方程有解，则 1 3 3， 进而得解 本题考查代数式取值范围的求解，考查换元思想及转化思想，属于中档题 11.【答案】4 1 2 【解析】解：椭圆 2 4 + 2 3 = 1的长轴长是 4； = 1， 离心率： = = 1 2 故答案为：4； 1 2 直接利用椭圆的简单性质求解即可 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力 第 12 页，共 20 页 12.【答案】 3 2 10 2 【解析】解：由(1) = 1 + 2，得 = 1 + 2 1 =
11、(1 + 2)(1) (1 + )(1)= 1 2 3 2， 复数 z 的虚部为 3 2， | =( 1 2) 2+ (3 2) 2= 10 2 故答案为： 3 2； 10 2 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，训练了复数模的求法，是基 础题 13.【答案】729；160 【解析】 【分析】 本题主要考查二项式定理的应用，利用 = 1，以及展开式的通项公式进行求解是解决 本题的关键 令 = 1得所有项的系数和，然后求出通项公式，结合常数项的条件进行求解即可 【解答】 解：令 = 1得所有项的系数和为(1
12、 + 2)6= 36= 729， 通项公式 + 1 = 66 ( 2 ) = 6 2 62， = 0，1，6， 令62 = 0得 = 3， 即常数项为4 = 3 6 23= 20 8 = 160， 故答案为：729；160 14.【答案】1； 0 【解析】解：已知二次函数() = 2+ + 1，一次函数() = 1，不等式 () ()的解集为1,2， 2+(1) + 2 = 0的两根为 1 和 2， 1 = 3 2 = 2 ， = 1 = 2， = 1 第 13 页，共 20 页 () = 22 + 1, 1或 2 1,1 0，可得2 0，可得 = 1 2 + 1 2， 由渐近线方程为 = ，
13、可得 1 2，方程 = 2|有解， 则 = = 1 + 2 2 1 + 1 4= 5 2 ， 故答案为：( 5 2 , + ) 设|1| = ，|2| = ，P 为双曲线的右支上一点，设(,)，运用双曲线的第二定义 可得焦半径 m，n，再由三角形的面积公式，结合三角形的内切圆性质可得 = 2|， 再由双曲线的渐近线方程，结合 P 在右支上，可得 1 2，再由离心率公式可得所求范 围 本题考查双曲线的定义和方程、性质，主要是渐近线方程和离心率的范围，考查三角形 的面积公式，以及方程有解的条件，考查运算能力和推理能力，属于中档题 17.【答案】 【解析】解：画出相应的图形，由蛛网图(1)可知， 数
14、列单调递增，且 + 时， + ，故对错； 对于，要证明2 + 1 21+，只需证明2( + 11) ，即证2( + 1) + ( 1) + + (21) +1+ +1， 即证2( + 1) ，即证 + 1 3 2，由1(1,2)结合蛛网图(2)， 第 15 页，共 20 页 可得12 ， 故 + 1 2 1 1 2 1 3 = 3 2，成立，故对； 对于，连接() = sin 2上的点( 1 3, 1 2)，(1,1)两点直线 l，则直线方程为 = 3 4 + 1 4，由 蛛网图(3)可得， 点(, + 1)在直线 l 的上方(或线上)，则 + 1 3 4+ 1 4，故对 故答案为： 作出蛛网
15、图，逐个判断即可 本题是对形如 + 1= ()类型数列的考查，通常采用“蛛网法”解决，考查数形结合 思想及逻辑推理能力，属于难题 18.【答案】解：(1) () = ( +3) = 12 2 + 3 2 2 = sin(2 6 ) + 1 2， ()的最小正周期 = 2 2 = ，()= ( 3) = 3 2 (2)由() = sin(2 6) + 1 2= 1， 可得2 6= 6，或 5 6，即 = 6，或 2， 由 ，可知 ， 故只能 = 6，否则 = 2， 2，就有 + ，矛盾 由 = 1， =2， = 6，且 = 2+ 22 2 ， 可知2 6 + 1 = 0， 第 16 页，共 20 页 可得 = 62 2 ， 故 = 1 2 = 3 1 4 【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用可求() = sin(2 6) + 1 2，利用正弦函数的 性质可求()的最小正周期和最大值 (2)由() = sin(2 6) + 1 2= 1，可求 B 的值，由余弦定理可求 c 的值，根据三角形的 面积公式即可求解 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，三角形的面积 公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 19.【答案】解：(1)证明： 底面 ABCD， ， = ，F 为 PB 的中点，
