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1、,2.3.1直线与平面垂直的判定,问题：空间中直线与平面有几种位置关系？,线 面 位置关系,一：复习引入,在平面内,平行,实例引入,旗杆与底面垂直,大桥的桥柱与水面垂直,实例引入,万丈高楼平地起,线面垂直最重要,实例引入,旗杆AB所在直线 与地面内任意一条过点B的直线垂直,与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直,直线垂直于平面内的 任意一条直线,在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗？,实例感受,旗杆AB所在直线 与地面内任意一条过点B的直线垂直,与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直,直线垂直于平面内的 任意一条直线,如果直
2、线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面 互相垂直，,记作 ,平面 的垂线,垂足,定义,直线与平面垂直,线面垂直的定义常这样使用,简记：线面垂直，则线线垂直,思考： 如果直线l与平面内的一条（两条，无数条） 直线垂直，则直线和平面互相垂直?,（1）一条直线,（3）两条平行直线,（2）无数条直线,（4）两条相交直线 ？,猜想：直线l与平面内的两条相交直线垂直，那么此直线与这个平面垂直。,l,探究：动手操作验证猜想,如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：,实验： 过 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）,当且仅当折痕 AD
3、是 BC 边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面 垂直,如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？,一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。,简记：线线垂直，则线面垂直,关键：线不在多，相交则行,5个条件,线面垂直的判定定理,巩固练习,判断下列命题是否正确,正确的在( )内打“”错的打“”,（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内没有与这条直线垂直的直线。( ),（1）若一条直线与一个三角形的两条边垂直,则这条直线垂直于三角形所在的平面。( ),（2）若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。（ ）,（3）若一条直线与一个梯形
4、的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面。（ ）,例1 如图，已知 ，求证,根据直线与平面垂直的定义知,证明：在平面 内作两条相交 直线m，n,因为直线 ，,四：典型例题,例2：一旗杆高8 m，在它的顶点处系两条长10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线上）如果这两点与旗杆脚距6 m，那么旗杆就与地面垂直为什么？,又因为,所以,又因为:,所以:,因此，旗杆OP与地面垂直,定理应用,(1),(2),图2,ASG平面 EFG CGF平面 SEF,BSD平面 EFG DGD平面 SEF,解析：在题图(1)中，SG1G1E，SG3G3F，在题图(2)中， SG
5、GE，SGGF，SG平面 EFG.,A,12.如图 3，在四棱锥 PABCD 中，PA 底面 ABCD，AC CD，E 是 PC 上的任一点(除 P 和 C 点外)，证明：CDAE.,图 3,证明：PA O 所在平面，,BCO 所在平面，PA BC， AB 为O 直径， ACBC， 又 PA ACA， BC平面 PAC，,又 AE平面 PAC，BCAE，,AEPC, PCBCC，AE平面 PBC.,线面垂直判定定理的应用 例 3：如图 6，已知 PA O 所在平面，AB 为O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AEPC 于 E， 求证：AE平面 PBC. 图 6,1、如图，在三棱锥VAB
6、C中，VA=VC， AB=BC，求证：VBAC。,巩固练习,2. 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中,巩固练习,(1).求证:,C1,D1,A1,B1,A,B,C,D,(2).在三棱锥C1-BDC中有几个直角三角形？,(3).在四面体中能否存在四个直角三角形?,答：四个全部都是,复习引入,1直线与平面垂直的定义,如果直线l与平面的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l.,2直线与平面垂直的判定定理,(1)一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。,(2)两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.,（1）利用定义；,（2）利用判定定
7、理,2数学思想方法：转化的思想,1直线与平面垂直的判定,巩固练习 如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO平面ABCD,引课,我们知道,当直线和平面垂直时,该直线叫做平面的垂线。如果直线和平面不垂直,是不是也该给它取个名字呢?此时又该如何刻画直线和平面的这种关系呢?,直线与平面所成的角,一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。,B,C,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；,直线与平面所成的角,斜线,C,垂线,垂足,斜足,
8、A,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。,一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；,一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 的角。,直线和平面所成角的范围是0，90。,l是平面 的斜线，A是l上任意一点，AB是平面 的垂线，B是垂足，OB是斜线l的射影，是斜线l与平面 所成的角.,AOD是不是直线与平面所成的角？,例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求 （1）直线A1B和平面BCC1B1所成的角。 （2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。,O,例题示范,巩固新知,分析:找出直线A1B在平面BCC1B1和平面A1B1CD内的射影,
9、就可以求出A1B和平面BCC1B1和平面A1B1CD所成的角。,阅读教科书上的解答过程,巩固练习,1.判断下列说法是否正确,（1）两条平行直线在同一平面内的射影 一定是平行直线 （ ）,（2）两条相交直线在同一平面内的射影 一定是相交直线 （ ）,（3）两条异面直线在同一平面内的射影 要么是平行直线，要么是相交直线 （ ）,（4）若斜线段长相等，则它们在平面内 的射影长也相等 （ ）,2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求: （1）AB1在面BB1D1D中的射影 （2）AB1在面A1B1CD中的射影 （3）AB1在面CDD1C1中的射影,A,D,C,B,巩固练习,3.如图：正方体AB
10、CD-A1B1C1D1中，求: （1）A1C1与面ABCD所成的角 （2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角,A,D,C,B,0o,巩固练习,90o,45o,30o,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,O,例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.,分析：找出直线A1B在平面A1B1CD内的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角,关键就是如何作出平面A1B1CD的垂线,解：连结BC1交B1C于点O， 连结A1O，设正方体的棱长为a， A1B1B1C1，A1B
11、1B1B， A1B1 平面BCC1B1 A1B1BC1 又 BC1B1C，BC1平面A1B1CD A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影， B A1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.,一作,二证,三计算,O,因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30,P 为ABC 所在平面外一点，O 为 P 在平面 ABC 上的射影,(1)若 PA PBPC，则 O 是ABC 的_；,(2)若 PA BC，PBAC，则 O 是ABC 的_；,(3)若 P 到ABC 三边的距离相等，且 O 在ABC 内部，则,O 是ABC 的_；,(4)若 PA 、PB、PC 两两互相垂直，则 O 是ABC 的
12、_,外心,垂心,内心,垂心,(3)如图 3，,图 3,P到 ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PDPEPF.,PO平面 ABC，PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影,分别是 OD、OE、OF.,ODOEOF，且 ODAB，OEBC，OFAC. O是 ABC 的内心，故填内心,PO平面 ABC，,OA 是 PA 在平面 ABC 上的射影,又PA PB，PA PC， PA 平面 PBC. 又BC平面 PBC， PA BC.OABC. 同理可证 OBAC.,O是 ABC 的垂心故填垂心,(4)如图 4，,图 4,空间问题,平面问题,小结,线线垂直,线面垂直,（1）本节课你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？请用自己的语言表述。 （2）直线与平面垂直的判定定理中体现了那些数学思想方法？,定理,性质,定义 定理,
