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1、分式,知识点一：分式的定义,B,A,一般地，如果 A，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子叫做分式，A 为分子，,B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件,1、分式有意义：分母不为 0（ B 0 ）,2、分式值为 0,：分子为 0 且分母不为 0（,B 0,A 0,）,3、分式无意义：分母为 0（ B 0 ）,4、分式值为正或大于 0,：分子分母同号（,B 0,A 0,或,B 0,A 0,）,5、分式值为负或小于 0：分子分母异号（,A 0,或,B 0B 0,A 0,）,知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。,AA CAA C
2、 字母表示：，其中 A、B、C 是整式，C 0。,BB CBB C 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的 值不变，即,A A A A B BB B 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C 0 这个限制条件和隐含条件 B 0。 知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 注意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然 后约去分子分母相同因式的最低次幂。 分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，
3、再约分。 知识点四：最简分式的定义 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 知识点五：分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母分式，叫做分式的通分。 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。 最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最 简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： 取各分母系数的最小公倍数；,1, 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注
4、意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 知识点六：分式的四则运算与分式的乘方 1、分式的乘除法法则： 分式乘分式， 用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： a c a c,bdb d 分式除以分式：式子表示为,ada d,bdbcb c,ac,a n,b, bn, a n,2、分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子 3、 分式的加减法则：,同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为,ccc,aba b,异分母分式加减法： 先通分， 化为同分母的分式， 然后再加减。式子表示为 a c ad bc bdbd 注意：加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
5、知识点七：整数指数幂, a m an amn, a m n a mn, abn a nbn, a m an amn（ a 0 ）,a n bn, b , a n,1 a n,2, a n ,（ a 0 ）,其中 m，n 均为整, a0 1（ a 0 ） （任何不等于零的数的零次幂都等于 1） 数。,知识点八：分式方程的解的步骤 去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） 解整式方程，得到整式方程的解。 检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为 0，则原方程无解， 这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原方程的解。 分式方程应用题解题基
6、本步骤 1、审仔细审题，找出等量关系。2、设合理设未知数。 3、列根据等量关系列出方程（组）。 4、解解出方程（组）。注意检验,（一）分式知识点总结 题型一：考查分式的定义 1,x 1,a b x 2 y 2 x y,，是分式的有： . a bx yx y,【例 1】下列代数式中： , 2 x y, 题型二：考查分式有意义的条件,【例 2】当 x 有何值时，下列分式有意义,（2）（3）,x 4x 2 2x 2 1,| x | 3,（1） x 43x2（4） 6 x,（5）,1,x 1 x,题型三：考查分式的值为 0 的条件 【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为 0.,（1） x 3,（2
7、） x 2 4,x 1| x | 2,（3） x 2 5x 6,x 2 2x 3,题型四：考查分式的值为正、负的条件,8 x,4,【例 4】（1）当 x 为何值时，分式为正；,（2）当 x 为何值时，分式,3 (x 1)2,5 x,为负；,x 3,（3）当 x 为何值时，分式 x 2 为非负数.,（二）分式的基本性质及有关题型,BB MB M,1分式的基本性质： A A M A M, a,b b bb,2分式的变号法则： a a a,题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.,（1） 23,1 x 2 y,0.04a b,3,（2） 0.2a
8、 0.03b,1 x 1 y 34 题型二：分数的系数变号,【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.,x y,（1） x y,a b,a,（2） ,b,（3） a,题型三：化简求值题,x,x 2,【例 1】已知： x 1 2 ，求 x 2 1 的值.,【例 2】若| x y 1 | (2x 3)2 0 ，求,1,4x 2 y,的值.,（三）分式的运算 确定最简公分母的方法： 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数； 取分子、分母相同的字母因式
9、的最低次幂. 题型一：通分 【例 1】将下列各式分别通分.,cba,2ab 3a 2c 5b2c,（1）,；,ab,（2）,a b 2b 2a,；,题型二：约分 【例 2】约分：,（1） 20 xy3, 16x 2 y,；（3）,m n,n 2 m 2,x 2 x 2,；（3）. x 2 x 6,题型三：分式的混合运算 【例 3】计算：,2,bc 4,c2,a 2b 3,c ab,（1） () () () ； a,322,3a3,y x,y x 2,x y,（2） () (x y ) () ；,（3）,n mm nn m,m 2n n2m,；,a 1,4,a 2,（4） a 1 ；,112x4
10、x38x7,1 x1 x1 x,x1 x,（5）； 1 248,（6）,1,11,(x 1)(x 1)(x 1)(x 3)(x 3)(x 5),；,x 1 ),（7） () ( x 2 4x 4x 2,x 2 41x 2 2x,题型四：化简求值题 【例 4】先化简后求值,11,4x,8x 2 4,（1）已知： x 1 ，求分子1 ( x 2 4, 1) ( ) 的值； 2x,234,x 2 y 2 z 2,（2）已知： x y z ，求 xy 2 yz 3xz 的值；,题型五：求待定字母的值,x 1x 1,5,MN,x 2 1,【例 5】若 1 3x ，试求M , N 的值.,（四）、整数指数
11、幂与科学记数法,题型一化简求值题 【例 2】已知 x x 1 5 ，求（1） x 2 x 2 的值；（2）求 x 4 x 4 的值.,第二讲 分式方程 【知识要点】1.分式方程的概念以及解法; 分式方程产生增根的原因 分式方程的应用题 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数; 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分 母. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. （一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程 【例 1】解下列分式方程,1,x 1x,（1） 3 ；,（2）,2,6,x 3x, 1 0 ；,4,x 2 1,x 1,（3
12、） x 1 ,x 34 x, 1 ；（4） 5 x x 5,题型二：增根,【例 4】若关于 x 的分式方程, 1 ,2m,x 3x 3,有增根，求m 的值.,题型三：列分式方程解应用题 练习： 1解下列方程：,2x,x 11 2x,（1） x 1 , 0 ；,（2）,4, 2 ,x 3,x 3,x,；,2x3,（3） 2 ； x 2x 2,737 x 2 （4） 1 x 2 xx x 2x 2 1,2x 43x 22,（5） 5x 4 2x 5 1,1111,（6）,x 1x 5x 2x 4,2.如果解关于 x 的方程, 2 ,x 2,x,x 2,k,会产生增根，求k 的值.,x 1,7,3已
13、知关于 x 的分式方程 2a 1 a 无解，试求a 的值.,（二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验， 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法,3,例 1解方程： 1 ,xx 2,二、化归法,2,1, 0,例 2解方程：,x 2 1,x 1,1, 8,x 77 x,三、左边通分法 例 3：解方程： x 8 ,四、分子对等法,axbx,(a b),例 4解方程： 1 a 1 b,五、观察比较法,例 5解方程：,5x 24x4,4x 5x 2 17,六、分离常数法 例 6解方程： x 1 x 8 x 2 x 7 x 2x 9x 3x 8 七、分组通分法,例 7解方程：,1111,x 2x 5x 3x 4,（三）分式方程求待定字母值的方法,m,8,x 22 x,例 1若分式方程 x 1 ,无解，求m 的值。,
