《2021-2021学年高中数学人教A版必修4学案：1.4.2.3正弦函数、余弦函数的单调性与最值Word版含解析修订》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2021学年高中数学人教A版必修4学案：1.4.2.3正弦函数、余弦函数的单调性与最值Word版含解析修订（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 3 课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正、余弦函数的图象与性质 正弦函数余弦函数 图象 值域1,11,1 单调性 在 2k 2，2k 2 (kZ) 上递增， 在 2k 2，2k 3 2 (kZ) 上递减 在2k ，2k( kZ)上递 增， 在2k ，2k ( kZ)上递 减 最值 x2k 2(kZ)时，ymax 1； x2k 2(kZ)时，ymin 1 x2k (kZ)时，ymax1； x2k (kZ)时，ymin 1 状元随笔(1)正、余弦函数的单调性： 求解或判断正弦函数、 余弦函数的单调区间 (或单调性 )是求与之 相关的复合函数值域 (最值)关键的一步； 单调区间要在定义域内求
2、解； 确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意 用复合函数法来判断 (2)正、余弦函数的最值 明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|1, |cosx|1； 对有些函数，其最值不一定就是1 或1，要依赖函数的定义域 来决定； 形如 yAsin(x)(A0 ， 0) 的函数求最值时，通常利用“整 体代换”，即令x z，将函数转化为yAsinz 的形式求最值 小试身手 1判断下列命题是否正确 . (正确的打“”，错误的打“”) (1)正弦函数 ysin x 在 R 上是增函数 () (2)正弦函数 ysin x 的一个增区间是 0， () (3)当余弦函数 ycos x 取最大值时，
3、 x 2k ，kZ.() 答案：(1)(2)(3) 2函数 ysin x 2 ，xR 在() A. 2， 2 上是增函数B0， 上是减函数 C ，0上是减函数D ， 上是减函数 解析：ysin x 2 cos x，所以在区间 ，0上是增函数，在0， 上是减函数 答案：B 3下列函数中，既为偶函数又在(0，)上单调递增的是 () Aycos|x| Bycos|x| Cysin x 2 Dysinx 2 解析：ycos|x|在()0，上是减函数， 排除 A；ycos|x|cos|x|， 排除 B；ysin x 2 sin 2x cos x 是偶函数，且在(0，) 上单 调递增，符合题意； ysin
4、x 2在(0，) 上是单调递减的 答案：C 4函数 y12cos 2x 的最小值，最大值分别是 () A1,3 B1,1 C0,3 D0,1 解析：1cos 2x1，1y3. 答案：A 类型一正、余弦函数的单调性 例 1(1)函数 f(x)sin x 6 的一个递减区间是 () A. 2， 2 B ，0 C. 2 3 ， 2 3 D. 3， 4 3 (2)函数 ycos 2x 3 的单调递增区间是 _ 【解析】(1)由 3x 4 3 ，可得 2x 6 3 2. 所以 3， 4 3 是函数 的一个减区间 (2)因为 2k 2x 32k ，kZ.所以 k 3xk 6， kZ. 【答案】(1)D(2
5、) k 3，k 6 (kZ) (1)由 A，B，C，D 中 x 的范围，求出 x 6的范围，验证是否为减 区间 (2)将 2x 3 代入到 2k ，2k ，kZ 中，解出 x 的范围，即 可得增区间 方法归纳 求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间 (2)在求形如 yAsin(x )(A0， 0)的函数的单调区间时，应 采用“换元法”整体代换，将“x ”看作一个整体“ z”，即通过 求 yAsinz 的单调区间而求出原函数的单调区间求形如yAcos(x )(A0， 0)的函数的单调区间同上 (3) 0 后求解；若A0， 则单调性相反 跟踪
6、训练 1(1)下列函数，在 2，上是增函数的是 ( ) A.ysin x Bycos x Cysin 2x Dycos 2x (2)求函数 y2sin 32x 的单调递增区间 解析：(1)因为 ysin x 与 ycos x 在 2，上都是减函数，所以排 除 A，B. 因为 2x ，所以 2x2. 因为 ysin 2x 在 2x ，2 内不 具有单调性，所以排除C. (2)由 y2sin 32x ，得 y2sin 2x 3 . 要求函数y2sin 32x 的单调递增区间，只需求出函数 y 2sin 2x 3 的单调递减区间 令 22k 2x 3 3 2 2k ，kZ，解之得 5 12k x 1
7、1 12 k ， kZ. 函数的单调递增区间为 5 12k ， 11 12 k(kZ) 答案：(1)D(2) 5 12k ， 11 12 k(kZ) (1)逐个验证选项把不符合题意的排除 (2)首先利用诱导公式化简函数为y2sin 2x 3 ， 再利用性质求 增区间 类型二比较三角函数值的大小 例 2比较下列各组数的大小： (1)sin 250与 sin 260 ； (2)cos 15 8 与 cos 14 9 . 【 解析 】(1) 函 数y sin x 在 2， 3 2 上 单调 递 减 ， 且 90 250 260 sin 260 . (2)cos 15 8 cos 2 8 cos 8，
8、cos 14 9 cos2 4 9 cos 4 9 . 函数 ycos x 在0， 上单调递减，且 0 8 4 9 cos 4 9 ，cos 15 8 cos 14 9 . 利用诱导公式， 将角化到正弦函数或余弦函数的一个单调区间内， 利用单调性判断大小 方法归纳 比较三角函数值大小的方法 (1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值 (2)不同名的函数化为同名函数 (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间 跟踪训练 2比较下列各组数的大小 (1)sin 37 6 与 sin49 3 ； (2)cos 870与 sin 980 . 解析：(1)sin 37 6 sin 6 6 sin 6 ，s
9、in49 3 sin 16 3 sin 3， 因为ysin x 在 2， 2 上是增函数，所以sin 6 sin 3，即 sin 37 6 sin49 3 . (2)cos 870cos(720 150 )cos 150 ，sin 980 sin(720 260 ) sin 260 sin(90 170 )cos 170 ， 因为 0 150 170 cos 170， 即 cos 870 sin 980 . 首先利用诱导公式化成同名的三角函数，把角转化为同一单调区 间，最后利用函数的单调性比较大小 类型三正、余弦函数的最值问题 例 3函数 y2cos 2x 6 1 的最小值是 _， 此时 x_
10、. 【解析】当 2x 6 2k ，kZ，x 5 12k ，kZ 时， ymin213. 【答案】3 5 12k ，kZ 观察函数解析式特点，由ycos 2x 6 的最小值，求函数y 2cos 2x 6 1 的最小值，并求 x 的取值 方法归纳 求正、余弦函数最值问题的关注点 (1)形如 yasin x(或 yacos x)的函数的最值要注意对a 的讨论 (2)将函数式转化为 yAsin(x )或 yAcos(x )的形式 (3)换元后配方利用二次函数求最值 跟踪训练 3求下列函数的值域： (1)ycos x 6 ，x 0， 2 ； (2)y2sin 2x2sin x1 2，x 6， 5 6 .
11、 解析(1)由 ycos x 6 ，x0， 2可得 x 6 6， 2 3 ，函数 y cos x 在区间 6， 2 3 上单调递减，所以函数的值域为1 2， 3 2 . (2)令 tsin x，y2t 22t1 22 t 1 2 21. x 6， 5 6 ，1 2sin x1，即 1 2t1， 1y 7 2，函数 f(x)的值域为 1， 7 2 . (1)先由 x 的范围求出 x 6的范围，再求值域 (2)先换元令 tsin x，再利用二次函数求值域 基础巩固 (25 分钟， 60 分) 一、选择题 (每小题 5 分，共 25 分) 1已知函数 ysin x 和 ycos x 在区间 M 上都
12、是增函数，那么区 间 M 可以是 () A. 0， 2 B. 2， C. ， 3 2 D. 3 2 ，2 解析：ysin x 在 0， 2 和 3 2 ，2上是增函数， ycos x 在( ，2) 上是增函数，所以区间M 可以是 3 2 ，2. 答案：D 2函数 y2sin x 的最大值及取最大值时x 的值为 () Aymax3，x 2 Bymax1，x 22k( kZ) Cymax3，x 22k( kZ) Dymax3，x 22k( kZ) 解析：当 x 22k( kZ)时，ysin x 有最小值 1，函数 y2 sin x 有最大值 3. 答案：C 3符合以下三个条件：0， 2 上递减；以
13、 2为周期；为奇 函数这样的函数是 () Aysin xBysin x Cycos xDycos x 解析：在 0， 2 上递减，可以排除A，是奇函数可以排除C，D. 答案：B 4下列不等式中成立的是 () Asin 8 sin 10 Bsin 3sin 2 Csin7 5sin 2 5 Dsin 2cos 1 解析：因为 sin 2cos 22 cos 2 2 ，且 02 21cos 1，即 sin 2cos 1. 答案：D 5函数 y2sin x 3 (x ，0)的单调递增区间是 () A. ， 5 6 B. 5 6 ， 6 C. 3，0 D. 6，0 解析：方法一y2sin x 3 ，其
14、单调递增区间为 22k x 3 22k ，kZ，则 62k x 5 6 2k ，kZ. 由于 x ，0，所以其单调递增区间为 6，0 . 方法二函数在 5 6 取得最大值，且其最小正周期为2 ，则其单调 递增区间为 5 6 ，5 6 ，即 6， 5 6 ，又 x ，0，所以其单调递 增区间为 6，0 . 答案：D 二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分) 6函数 ycos 42x 的单调递减区间为 _ 解析：ycos 42x cos 2x 4 ， 由 2k 2x 42k ( kZ)， 得 k 8xk 5 8 (kZ) 所以函数的单调减区间为k 8，k 5 8 (kZ) 答案： k 8，k
15、5 8 (kZ) 7函数 f(x)sin 2x 4 在区间 0， 2 上的最小值为 _ 解析： 当 0 x 2时， 42x 4 3 4 ， 因为函数 ysin x 在 0，3 4 上的函数值恒为正数，在 4，0 上的函数值恒为负数， 且在 4，0 上 为增函数，所以函数f(x)的最小值为 f(0) 2 2 . 答案： 2 2 8sin2 7 _sin 15 8 (填“”或“”) 解析：sin 15 8 sin 2 8 sin 8，因为 0 8 2 7 2，ysin x 在 0， 2 上单调递增，所以sin 8sin 2 7 ，即 sin 15 8 三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分) 9求下列函数的单调区间： (1)ycos 2x；(2)y2sin 4x . 解析：(1)函数 ycos 2x 的单调递增区间、 单调递减区间分别由下 面的不等式确定： 2k 2x2k ，kZ,2k 2x2k ，kZ. k 2xk ，kZ，k xk 2，kZ. 函数 ycos 2x 的单调递增区间为k 2，k，kZ，单调递减 区间为 k ，k 2 ，kZ. (2)y2sin 4x 2sin x 4 ，函数 y2sinx 4的单调递增、 递减区间分别是函数
