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1、1 / 11 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1) 文科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】根据集合的运算法则可得:|11MNxx,即选 B 【提示】集合的运算用数轴或者Venn 图可直接计算。 【考点】集合的运算。 2.【答案】 C 【解析】由 sin tan0 cos ,可得:sin ,cos同正或同负,即可排除A 和 B,又由 sin 22sincos,故 sin 2 0。 【提示】判断三角函数的符号可先确定角所在的象限。 【考点】同角三角函数的关系。 3.【答案】 B 【解析】根据复数运算法则可得: 11111 1(1)(1)222 ii z
2、iiii iii ,由模的运算可得: 22112 |( )() 222 z。 【提示】复数的除法用分母实数化,求复数的模用公式 22 zab。 【考点】复数的运算。 4.【答案】D 【解析】由离心率e c a 可得: 2 22 2 3 e2 a a ,解得:1a。 【提示】求离心率关键在于寻找 ab, 或者ac,之间的关系,用公式 2 2 1 b e a 或者 c e a 。 【考点】复数的运算。 5.【答案】 C 【解析】由( )f x,( )g x函数的定义域为R,且( )f x是奇函数,( )g x是偶函数,可得:|( ) |f x和|( )|g x 均为偶函数,根据一奇一偶函数相乘为奇
3、函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选 C 2 / 11 【提示】判断函数的奇偶性先看定义域是否关于原点对称,再用性质或者定义或者图像判断。 【考点】函数的奇偶性 6.【答案】 A 【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得:在BEF中, 1 2 EBEFFBEFAB,同理 1 2 FCFEECFEAC,则 11111 ()()()() 22222 EBFCEFABFEACABACABACAD。 【提示】向量运算抓住两条线,坐标法和转化法。 【考点】向量的运算 7.【答案】 A 【解析】中函数是一个偶函数,其周期与cos2yx相同, 2 2 T;中函数 |cos|yx的周期是函 数 co
4、syx周期的一半,即 T; 2 2 T; 2 T,则选 A 【提示】求函数的周期可画图,也可用定义或公式直接计算。 【考点】三角函数的图象和性质。 8.【答案】 B 【解析】根据三视图的法则:长对正,高平齐,宽相等。可得几何体如下图所示。 【提示】三视图还原成实物图,掌握常见几何体的三视图的特征。 【考点】三视图的考查。 9.【答案】 D 【解析】根据题意由13 成立,则循环,即 133 122 222 Mabn,;又由 23 成立,则循 环,即 2838 23 3323 Mabn,;又由 33 成立,则循环,即 3315815 4 28838 Mabn,;又由 43 不成立,则出循环,输出
5、15 8 M。 【提示】算法问题根据题目一步一步写出运行的结果。 【考点】算法的循环结构。 10.【答案】 A 3 / 11 【解析】根据抛物线的定义:到焦点的距离等于到准线的距离,又抛物线的准线方程为: 1 4 x,则 有: 0 1 | 4 AFx,即有 00 15 44 xx,可解得 0 1x 。 【提示】抛物线的焦点弦问题注意转化:到焦点的距离和到准线的距离可以互相转化 【考点】抛物线的方程和定义 11.【答案】 C 【解析】根据题中函数特征,当0a时,函数 2 ( )31f xx显然有两个零点且一正一负;当0a时, 求导可得: 2 ( )363 (2)fxaxxx ax,利用导数的正负
6、与函数单调性的关系可得: (,0)x和 2 (,)x a 时函数单调递增; 2 (0)x a , 时函数单调递减,显然存在负零点;当 0a 时,求导可得: 2 ( )363 (2)fxaxxx ax,利用导数的正负与函数单调性的关系可得: 2 (,)x a 和 (0,)x时函 数单调递减; 2 (0)x a ,时函数单调递增,欲要使得函数有唯一的零点且为正,则满足: 2 ( )0 (0)0 f a f ,即 得: 32 22 ( )3( )10a aa ,可解得: 2 4a,则 2(,2aa舍去)。 【提示】线性规划问题,根据条件画出可行域,把目标直线平移,找到最优解。 【考点】函数的零点,导
7、数在函数性质中的运用,分类讨论的运用 12.【答案】 B 【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示,两直线交点坐标为: 11 (,) 22 aa A,又由题中, a b 可知,当0a时, z 有最小值: 2 1121 222 aaaa za,则 2 21 7 2 aa ,解得:3a;当 0a时, z 无最小值。故选B 【提示】函数的零点问题转化为方程有解或者两个函数的图像有交点的问题。 【考点】线性规划的应用。 4 / 11 第卷 二、填空题 13.【答案】 2 3 【解析】根据题意显然这是一个古典概型,其基本事件有:数1,数 2,语;数1,语,数2;数 2,数 1,语;数2,语,数 1
8、;语,数2,数 1;语,数 1,数 2 共有 6 种,其中2 本数学书相邻的有4 种,则其 概率为: 42 P 63 。 【提示】求解概率问题可用列举法。 【考点】古典概率的计算。 14.【答案】 A 【解析】根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下: A 城市 B 城市 C 城市 甲去过没去去过 乙去过没去没去 丙去过可能可能 可以得出结论乙去过的城市为:A 【提示】根据逻辑推理,可用反证法的思想。 【考点】命题的逻辑分析。 15.【答案】 (,8 【解析】由于题中所给是一个分段函数,则当1x时,由 1 2 x e,可解得:1ln 2x,则此时: 1x;当1x时,由 1 3 2x ,可
9、解得: 3 28x,则此时: 18x,综合上述两种情况可得: (,8x 【提示】转化为解两个不等式组,最后取并集画出函数的图像,只要找在直线2y下方 的图像对应的 x的求值范围即为不等式的解集。 【考点】分段函数,解不等式 16.【答案】 150 【解析】根据题意,在ABC 中,已知 45 ,90 ,100CABABCBC ,易得:1002AC;在 AMC 中,已知75 , 60 ,1002MACMCAAC,易得:45AMC,由正弦定理可解得: 5 / 11 sinsin ACAM AMCACM ,即: 100 23 100 3 2 2 2 AM ;在AMN中,已知60MAN 90MNA,10
10、0 3AM易得:150MNm 。 【提示】把要求的边化到一个已知的三角形中去求解。 【考点】空间几何体,仰角的理解,解三角形的运用。 三、解答题 17.【答案】(1) 1 1 2 n an ( 2) 1 4 2 2 n n n S。 【解析】( 1)方程 2 560 xx的两根为2,3,由题意得24 2,3aa。 设数列 n a的公差为d,则 42 2aad ,故 1 2 d,从而 1 3 2 a。 所以 n a的通项公式为 1 1 2 n an。 ( 2)设 2 n n a 的前 n 项和为 n S ,由( 1)知 1 2 22 n nn an ,则 231 3412 2222 n nn n
11、n S, 3412 13412 22222 n nn nn S。 两式相减得 23412 131112 () 222222 n nn n S 12 3112 (1) 4422 nn n 所以 1 4 2 2 n n n S 。 【提示】( 1)根据题中所给一元二次方程 2 560 xx,可运用因式分解的方法求出它的两根为2,3, 即可得出等差数列中的 24 23aa,运用等差数列的定义求出公差为d,则 42 2aad ,故 1 2 d,从 而 1 3 2 a 。即可求出通项公式 ( 2)由第( 1)小题中已求出通项,易求出: 1 2 22 n nn an ,写出它的前n 项的形式: 231 3
12、412 2222 n nn nn S,观察此式特征,发现它是一个差比数列,故可采用错位相减的方法进行 数列求和,即两边同乘 1 2 ,即: 3412 13412 22222 n nn nn S,将两式相减可得: 23412 131112 () 222222 n nn n S 12 3112 (1) 4422 nn n ,所以 1 4 2 2 n n n S。 6 / 11 【考点】一元二次方程的解法,等差数列的基本量计算,数列的求和。 18.【答案】(1) ( 2)质量指标值的样本平均数为100,质量指标值的样本方差为104. ( 3)不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的
13、产品至少要占全部产品80%”的规 定。 【解析】( 1) ( 2)质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100 x。 质量指标值的样本方差为 22222 ( 20)0.06( 10)0.260 0.38 100.22200.08104s。 ( 3)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68 ,由于该估计值小于0.8, 故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定。 【提示】( 1)根据频率分布表与频率分布直方图的关系,先根据:频率=频数总数计算出各组的频率,
14、 7 / 11 再根据:高度 =频率组距计算出各组的高度,即可以组距为横坐标高度为纵坐标作出频率分布直方图。 ( 2)根据题意欲计算样本方差先要计算出样本平均数,由平均数计算公式可得:质量指标值的样本平均 数为 800.06900.261000.381100.221200.08100 x ,进而由方差公式可得:质量指标值 的样本方差为: 22222 ( 20)0.06( 10)0.2600.38100.22200.08104s; ( 3)根据题意可知质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68 ,由于该估 计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质
15、量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定。 【考点】频率分布表,频率分布直方图,平均数与方差的计算 19.【答案】(1)详见解析 ( 2)三棱柱 111 ABCA BC 的高为 21 7 。 【解析】( 1)连结 1 BC ,则 O 为 1 B C 与 1 BC 的交点。 因为侧面 11 BB C C 为菱形,所以 11 B CBC 。 又 AO平面 11 BB C C,所以 1 B CAO,故 1 B C 平面 ABO 。 由于AB平面 ABO ,故 1 B CAB 。 ( 2)作 ODBC ,垂足为D,连结 AD ,作 OHAD ,垂足为H。 由于, BCOD ,故 BC
16、平面 AOD ,所以 OHBC ,又 OHAD ,所以 OH平面 ABC 因为 1 60CBB,所以 1 CBB 为等边三角形,又1BC,可得 3 4 OD。 由于 1 ACAB ,所以 1 11 22 OAB C,由 OHADOD OA ,且 22 7 4 ADODOA,得 21 14 OH,又 O 为 1 B C 的中点,所以点 1 B 到平面 ABC 的距离为 21 7 。 故三棱柱 111 ABCA B C 的高为 21 7 。 【提示】( 1)根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直,又由题中四边形是菱形,故可想到连 结 1 BC ,则 O 为 1 B C 与1BC 的交点,又因为侧面 11 BB C C 为菱形,对角线相互垂直 11 BCBC ;又 AO平 面 11 BBC C ,所以 1 B CAO ,根据线面垂直的判定定理可得: 1 B C平面 ABO ,结合线面垂直的性质:由 于AB平面 ABO ,故 1 B CAB ( 2)要求三菱柱的高,根据题中已知条件可转化为先求点O 到平面 ABC