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1、1 / 11 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1） 文科数学答案解析 第卷 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】根据集合的运算法则可得：|11MNxx，即选 B 【提示】集合的运算用数轴或者Venn 图可直接计算。 【考点】集合的运算。 2.【答案】 C 【解析】由 sin tan0 cos ，可得：sin ,cos同正或同负，即可排除A 和 B，又由 sin 22sincos，故 sin 2 0。 【提示】判断三角函数的符号可先确定角所在的象限。 【考点】同角三角函数的关系。 3.【答案】 B 【解析】根据复数运算法则可得： 11111 1(1)(1)222 ii z
2、iiii iii ，由模的运算可得： 22112 |( )() 222 z。 【提示】复数的除法用分母实数化，求复数的模用公式 22 zab。 【考点】复数的运算。 4.【答案】D 【解析】由离心率e c a 可得： 2 22 2 3 e2 a a ，解得：1a。 【提示】求离心率关键在于寻找 ab， 或者ac，之间的关系，用公式 2 2 1 b e a 或者 c e a 。 【考点】复数的运算。 5.【答案】 C 【解析】由( )f x，( )g x函数的定义域为R，且( )f x是奇函数，( )g x是偶函数，可得：|( ) |f x和|( )|g x 均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇
3、函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选 C 2 / 11 【提示】判断函数的奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再用性质或者定义或者图像判断。 【考点】函数的奇偶性 6.【答案】 A 【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在BEF中， 1 2 EBEFFBEFAB，同理 1 2 FCFEECFEAC，则 11111 ()()()() 22222 EBFCEFABFEACABACABACAD。 【提示】向量运算抓住两条线，坐标法和转化法。 【考点】向量的运算 7.【答案】 A 【解析】中函数是一个偶函数，其周期与cos2yx相同， 2 2 T；中函数 |cos|yx的周期是函 数 co
4、syx周期的一半，即 T； 2 2 T； 2 T，则选 A 【提示】求函数的周期可画图，也可用定义或公式直接计算。 【考点】三角函数的图象和性质。 8.【答案】 B 【解析】根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等。可得几何体如下图所示。 【提示】三视图还原成实物图，掌握常见几何体的三视图的特征。 【考点】三视图的考查。 9.【答案】 D 【解析】根据题意由13 成立，则循环，即 133 122 222 Mabn，；又由 23 成立，则循 环，即 2838 23 3323 Mabn，；又由 33 成立，则循环，即 3315815 4 28838 Mabn，；又由 43 不成立，则出循环，输出
5、15 8 M。 【提示】算法问题根据题目一步一步写出运行的结果。 【考点】算法的循环结构。 10.【答案】 A 3 / 11 【解析】根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为： 1 4 x，则 有： 0 1 | 4 AFx，即有 00 15 44 xx，可解得 0 1x 。 【提示】抛物线的焦点弦问题注意转化：到焦点的距离和到准线的距离可以互相转化 【考点】抛物线的方程和定义 11.【答案】 C 【解析】根据题中函数特征，当0a时，函数 2 ( )31f xx显然有两个零点且一正一负；当0a时， 求导可得： 2 ( )363 (2)fxaxxx ax，利用导数的正负
6、与函数单调性的关系可得： (,0)x和 2 (,)x a 时函数单调递增； 2 (0)x a ， 时函数单调递减，显然存在负零点；当 0a 时，求导可得： 2 ( )363 (2)fxaxxx ax，利用导数的正负与函数单调性的关系可得： 2 (,)x a 和 (0,)x时函 数单调递减； 2 (0)x a ，时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足： 2 ( )0 (0)0 f a f ，即 得： 32 22 ( )3( )10a aa ，可解得： 2 4a，则 2(,2aa舍去）。 【提示】线性规划问题，根据条件画出可行域，把目标直线平移，找到最优解。 【考点】函数的零点，导
7、数在函数性质中的运用，分类讨论的运用 12.【答案】 B 【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为： 11 (,) 22 aa A，又由题中, a b 可知，当0a时， z 有最小值： 2 1121 222 aaaa za，则 2 21 7 2 aa ，解得：3a；当 0a时， z 无最小值。故选B 【提示】函数的零点问题转化为方程有解或者两个函数的图像有交点的问题。 【考点】线性规划的应用。 4 / 11 第卷 二、填空题 13.【答案】 2 3 【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数 2，语；数1，语，数2；数 2，数 1，语；数2，语，数 1
8、；语，数2，数 1；语，数 1，数 2 共有 6 种，其中2 本数学书相邻的有4 种，则其 概率为： 42 P 63 。 【提示】求解概率问题可用列举法。 【考点】古典概率的计算。 14.【答案】 A 【解析】根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下： A 城市 B 城市 C 城市 甲去过没去去过 乙去过没去没去 丙去过可能可能 可以得出结论乙去过的城市为：A 【提示】根据逻辑推理，可用反证法的思想。 【考点】命题的逻辑分析。 15.【答案】 (,8 【解析】由于题中所给是一个分段函数，则当1x时，由 1 2 x e，可解得：1ln 2x，则此时： 1x；当1x时，由 1 3 2x ，可
9、解得： 3 28x，则此时： 18x，综合上述两种情况可得： (,8x 【提示】转化为解两个不等式组，最后取并集画出函数的图像，只要找在直线2y下方 的图像对应的 x的求值范围即为不等式的解集。 【考点】分段函数，解不等式 16.【答案】 150 【解析】根据题意，在ABC 中，已知 45 ,90 ,100CABABCBC ，易得：1002AC；在 AMC 中，已知75 , 60 ,1002MACMCAAC，易得：45AMC，由正弦定理可解得： 5 / 11 sinsin ACAM AMCACM ，即： 100 23 100 3 2 2 2 AM ；在AMN中，已知60MAN 90MNA，10
10、0 3AM易得：150MNm 。 【提示】把要求的边化到一个已知的三角形中去求解。 【考点】空间几何体，仰角的理解，解三角形的运用。 三、解答题 17.【答案】（1） 1 1 2 n an （ 2） 1 4 2 2 n n n S。 【解析】（ 1）方程 2 560 xx的两根为2，3，由题意得24 2,3aa。 设数列 n a的公差为d，则 42 2aad ，故 1 2 d，从而 1 3 2 a。 所以 n a的通项公式为 1 1 2 n an。 （ 2）设 2 n n a 的前 n 项和为 n S ，由（ 1）知 1 2 22 n nn an ，则 231 3412 2222 n nn n
11、n S， 3412 13412 22222 n nn nn S。 两式相减得 23412 131112 () 222222 n nn n S 12 3112 (1) 4422 nn n 所以 1 4 2 2 n n n S 。 【提示】（ 1）根据题中所给一元二次方程 2 560 xx，可运用因式分解的方法求出它的两根为2，3， 即可得出等差数列中的 24 23aa，运用等差数列的定义求出公差为d，则 42 2aad ，故 1 2 d，从 而 1 3 2 a 。即可求出通项公式 （ 2）由第（ 1）小题中已求出通项，易求出： 1 2 22 n nn an ，写出它的前n 项的形式： 231 3
12、412 2222 n nn nn S，观察此式特征，发现它是一个差比数列，故可采用错位相减的方法进行 数列求和，即两边同乘 1 2 ，即： 3412 13412 22222 n nn nn S，将两式相减可得： 23412 131112 () 222222 n nn n S 12 3112 (1) 4422 nn n ，所以 1 4 2 2 n n n S。 6 / 11 【考点】一元二次方程的解法，等差数列的基本量计算，数列的求和。 18.【答案】（1） （ 2）质量指标值的样本平均数为100，质量指标值的样本方差为104. （ 3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的
13、产品至少要占全部产品80%”的规 定。 【解析】（ 1） （ 2）质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100 x。 质量指标值的样本方差为 22222 ( 20)0.06( 10)0.260 0.38 100.22200.08104s。 （ 3）质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68 ，由于该估计值小于0.8， 故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定。 【提示】（ 1）根据频率分布表与频率分布直方图的关系，先根据：频率=频数总数计算出各组的频率，
14、 7 / 11 再根据：高度 =频率组距计算出各组的高度，即可以组距为横坐标高度为纵坐标作出频率分布直方图。 （ 2）根据题意欲计算样本方差先要计算出样本平均数，由平均数计算公式可得：质量指标值的样本平均 数为 800.06900.261000.381100.221200.08100 x ，进而由方差公式可得：质量指标值 的样本方差为： 22222 ( 20)0.06( 10)0.2600.38100.22200.08104s； （ 3）根据题意可知质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68 ，由于该估 计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质
15、量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定。 【考点】频率分布表，频率分布直方图，平均数与方差的计算 19.【答案】（1）详见解析 （ 2）三棱柱 111 ABCA BC 的高为 21 7 。 【解析】（ 1）连结 1 BC ，则 O 为 1 B C 与 1 BC 的交点。 因为侧面 11 BB C C 为菱形，所以 11 B CBC 。 又 AO平面 11 BB C C，所以 1 B CAO，故 1 B C 平面 ABO 。 由于AB平面 ABO ，故 1 B CAB 。 （ 2）作 ODBC ，垂足为D，连结 AD ，作 OHAD ，垂足为H。 由于， BCOD ，故 BC
16、平面 AOD ，所以 OHBC ，又 OHAD ，所以 OH平面 ABC 因为 1 60CBB，所以 1 CBB 为等边三角形，又1BC，可得 3 4 OD。 由于 1 ACAB ，所以 1 11 22 OAB C，由 OHADOD OA ，且 22 7 4 ADODOA，得 21 14 OH，又 O 为 1 B C 的中点，所以点 1 B 到平面 ABC 的距离为 21 7 。 故三棱柱 111 ABCA B C 的高为 21 7 。 【提示】（ 1）根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形是菱形，故可想到连 结 1 BC ，则 O 为 1 B C 与1BC 的交点，又因为侧面 11 BB C C 为菱形，对角线相互垂直 11 BCBC ；又 AO平 面 11 BBC C ，所以 1 B CAO ，根据线面垂直的判定定理可得： 1 B C平面 ABO ，结合线面垂直的性质：由 于AB平面 ABO ，故 1 B CAB （ 2）要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O 到平面 ABC
