《2021-2021学年高中数学人教A版必修1学案：1.2.2函数的表示法课堂导学案修订》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2021学年高中数学人教A版必修1学案：1.2.2函数的表示法课堂导学案修订（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2.2 函数的表示法 课堂导学 三点剖析 一、函数的三种表示方法 【例 1】 作出下列函数的图象： （1）y=2-x,x Z; （2）y=2x 2-3x-2(x0); （3）y= .0, , 1, 1 2 xx x x 思路分析： 作函数图象主要有两种思路：利用列表描点法，转化为基础函数，利用基本 函数图象作复杂函数图象. 解： （1）这个函数图象是由一些点组成的，这些点都在直线y=2-x 上. 如图 1 所示 . 图 1 （2）这个函数图象是抛物线的一部分，可先利用描点法作出y=2x 2-3x-2 的图象，然后 截出需要的图象，如图2 所示 . 图 2 (3)这个图象是由两部分组成的，当
2、x1 时，为双曲线y= x 1 的一部分，当x1 时，为 抛物线 y=x 2 的一部分，如图3 所示 . 图 3 温馨提示 1.从本题可以看出，函数的图象不一定是一条或几条平滑曲线，也可是一些孤立的点、 线段、射线等，这要由定义域对应关系确定. 2.函数的图象对研究函数性质和解决有关问题十分重要，它是研究函数性质的直观图， 也是数形结合的有力工具. 【例 2】由函数 f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数解析式. 思路分析：由于f(x) 是一次函数，因此可设f(x)=ax+b(a0) ，然后利用条件列方程( 组) ， 再求系数 . 解： f(x)是一
3、次函数，设f(x)=ax+b(a 0). 由于 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 因此 3a(x+1)+b -2 a(x-1)+b =ax+5a+b=2x+17, 则得 ,175 ,2 ba a 即 . 7 , 2 b a 故函数解析式为f(x)=2x+7. 温馨提示 求已知函数的解析式通常利用待定系数法. 由于常见的已知函数( 正比例函数、 反比例函 数、一次函数、 二次函数等 ) 的解析式结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式， 即若已知函数类型，可设所求函数解析式，然后利用已知条件列方程( 组) ，再求系数 . 二、根据已知关系,写出函数的解析式 【例 3】 在边长为
4、4 的正方形ABCD 的边上有一动点P，从 B点开始， 沿折线 BCDA向 A点运 动( 如右图 ) ，设 P点移动的距离为x， ABP的面积为y, 求函数 y=f(x)及其定义域 . 思路分析：由于P 点在折线BCDA上位置不同时，ABP各有特征，计算它们的面积也有不 同的方法，因此这里要对P点位置进行分类讨论，由此y=f(x)很可能是分段函数. 解：如上图，当点P在线段 BC上时，即0x 4,y= 2 1 4x=2x; 当 P点在线段CD上时，即4x8,y= 2 1 44=8; 当 P点在线段DA上时，即8x12,y= 2 1 4(12-x)=24-2x. y=f(x)= ,128,224
5、 ,84,8 ,40,2 xx x xx 且 f(x) 的定义域是 (0,12). 温馨提示 分段函数作为一类重要的函数，其对应关系不能用统一的对应法则来表示，处理分段函 数的问题时除要用到分类讨论思想外，还要注意其中整体和局部的关系. 【例 4】 (1) 已知 f(x+1)=x+2x, 求 f(x); (2) 已知 f(x) 满足 af(x)+f( x 1 )=ax(x R且 x0,a 为常数 , 且 a 1), 求 f(x). 解： (1) 解法一：令t=x+1,则 x=(t-1) 2,t 1 代入原式有f(t)=(t-1) 2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. f(x)
6、=x 2-1(x 1). 温馨提示 此种解法称为换元法，所谓换元法即将接受对象“x+1”换作另一个字母“t ” ，然后 从中解出x 与 t 的关系，代入原式中便可求出关于“t ”的函数关系，此即为所求函数解析 式. 解法二： x+2x=(x) 2 +2x+1-1=(x+1) 2-1, f(x+1)=(x+1) 2-1( x+11), 即 f(x)=x 2-1(x 1). 温馨提示 此方法为直接变换法或称配凑法，通过观察，分析将右端的表达式变为“接受对象”的 表达式，即变为关于x+1的表达式 . (2)af(x)+f( x 1 )=ax, 将原式中的x 与 x 1 互换得 af( x 1 )+f
7、(x)= x a , 于是得关于f(x) 的方程组： .)() 1 ( ,) 1 ()( x a xf x af ax x fxaf 解得 f(x)= xa axa )1( )1( 2 2 (a 1). 温馨提示 本题求解析式的方法称为方程法. 函数是定义域到值域上的映射，定义域中的每一个元 素都应满足函数表达式，在已知条件下，x 满足已知的式子，那么 x 1 在定义域内也满足这个 式子，这样得到两个关于f(x) 与 f( x 1 ) 的方程，因而才能解出f(x). 三、映射的概念 【例 5】 下面的对应哪些是从集合M到集合 N的映射？哪些是函数？ (1) 设 M=R ，N=R ，对应关系f:
8、y= x 1 ,x M; (2) 设 M=平面上的点 ， N=(x,y)|x,yR， 对应关系f:M 中的元素对应它在平面上的坐标； (3) 设 M=高一年级全体同学，N=0,1 ，对应关系f:M 中的男生对应1，女生对应0; (4) 设 M=R ，N=R ，对应关系f(x)=2x 2+1,x M; (5) 设 M=1,4 ，9 ，N=-1,1 ，-2,2 ，3， -3 ，对应关系： M中的元素开平方. 思路分析： 判断一个对应是否构成映射，关键是看M中的任一元素在N中按照给定的对应关 系是否有唯一元素与之对应，是映射但不一定构成函数，只有M 、N 都是非空数集，且从M 到 N构成映射时，才能
9、确定构成从M到 N的函数；不是映射的，更不可能构成函数. 解： (1)M 中的 0 在 N中没有元素与之对应，从M到 N的对应构不成映射. (2)(3)都符合映射定义，能构成从M到 N的映射， 但由于 M不是非空数集， 因此构不成 函数 . (4)从 M到 N的对应既能构成映射，又能构成函数. (5)M中的元素在N中有两个元素与之对应，所以构不成映射. 温馨提示 1.映射概念中的两个集合A 、B，它们可以是数集、点集或其他集合，而函数不同，A、 B必须是非空数集. 2.A到 B的映射与B到 A的映射是不同的，同学们判断时应注意“方向性”否则会导致 错误 . 各个击破 类题演练1 作出下列函数的
10、图象. (1)y=x,|x|1; (2)y=1- x,x Z 且|x| 2; (3)y= 1 2 x xx ; 解： (1) 此函数图象是直线y=x 的一部分 . (2)此函数的定义域为-2 ，-1 ，0，1，2 ，所以其图象是由五个点组成，这些点都在 直线 y=1-x 上.( 这样的点叫做整点) （3）先求定义域，在定义域上化简函数式y= 1 2 x xx =x,x (- ,1) (1,+ ). 如下图 所示 . 变式提升1 设 x是不超过x 的最大整数，作下列函数的图象. (1)f(x)=x; (2)h(x)=x-x,x -2,2 . 解： (1)f(x)=x=n(nxn+1,nZ), 即
11、 f(x)=n(n xn+1,nZ) . f(x)= x的图象是无数条线段，不包括线段的右端点. 注意在 x 轴上的线段的端点 是（ 0，0） 、 （1，0）. 见下图（ A） . (2)h(x)=x- xx -2,2 化为 h(x)= .2,0 ,21, 1 , 10, ,01, 1 , 12, 2 x xx xx xx xx h(x)的图象是四条线段和点（2，0） ，注意均不含线段上面的端点，见下图（B）. 图（ A） 图（ B） 类题演练2 已知 f(x) 是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x). 解析：设f(x)=ax 2+bx+c(a0), 由 f
12、(0)=1得 c=1, 而 f(x+1)-f(x)=a(x+1) 2 +b(x+1)+c -(ax 2+bx+c)=2ax+a+b. 由已知 f(x+1)-f(x)=2x得 2ax+a+b=2x. 所以 , 0 ,22 ba a 解得 a=1,b=-1. 故 f(x)=x 2-x+1. 变式提升2 求函数 y=2|x-1|-3|x|的最大值 . 思路分析： 本题为绝对值函数，应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号，变为分段函数，再 画出分段函数的图象，然后解之. 解: .0, 2 , 10,25 , 1, 2 xx xx xx 作出函数图象如右上图, 由图象可知x=0 时,ymax=2. 类题演练
13、3 国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800 元的不纳税；超过800 元不超过4 000 元的按超 过 800 元部分的14% 纳税；超过4 000 元的按全部稿费的11% 纳税 . （1）试根据上述规定建立某人所得稿费x( 元) 与纳税额 y( 元) 之间的函数关系式； （2）某人出了一本书，共纳税420 元，则这个人的稿费是多少元？ 答案： （1） .400%,11 ,4000800%,14)800( ,800,0 xx xx xx （2）3 800 变式提升3 某商场因拆迁将库存的原价100 元 / 套的时装50 套作减价处理， 规定：不超过 5 件按八五折 ( 即原价的85%)；6 件
14、到 20 件( 包含 20 件) 按六五折； 20 件以上打五折. （1）你能表示出上述规定中的单价与所买件数之间的函数关系式吗？ （2）你能表示出上述规定中付出与购买件数的函数关系式吗？ 答案： （1）y= .5021,50 ,206,65 , 51,85 x x x （2）y= .5021,50 ,206,65 , 51,85 xx xx xx 类题演练4 如果 f( x 1 )= 2 1x x , 则 f(x)=_. 解法一 : f( x 1 )= 2 1x x = 2 2 2 1 x x x x = 1) 1 ( 1 2 x x , f(x)= 1 2 x x . 解法二：设t= x
15、1 , 则 x= t 1 , 代入 f( x 1 )= 2 1x x , 得 f(t)= 2 ) 1 (1 1 t t = 1 2 t t , 故 f(x)= 1 2 x x . 变式提升4 已知 f( x x1 )= 2 2 1 x x + x 1 , 求 f(x). 解法一： f( x x1 )= 2 2 1 x x + x 1 =( x x1 ) 2- 2 2 x x + x 1 =( x x1 ) 2- x 1 =( x x1 ) 2- x x1 +1, f(x)=x 2-x+1. 解法二：设 x x1 =u, 则 x= 1 1 u ,u 1. 则 f(u)=f( x x1 )= 2
16、2 1 x x + x 1 =1+ 2 1 x + x 1 =1+(u-1) 2+(u-1). f(x)=x 2- x+1(x1). 温馨提示 解决这类考查求函数表达式的问题的关键是弄清楚对一个自变量“x”而言，“f ”是怎 样的对应规律 . 类题演练5 （1）下列对应是从A到 B的函数的是（） A=x|x 0,x R,B=R,f:xy 2=x A=N,B=-1,1,f:x (-1) x A=三角形 ， B=圆 ， f: 三角形三角形的外接圆A=R,B=R,f:x y=x 3 A. B. C. D. 答案： A （2）f:A B是集合 A到集合 B的映射， A=B=(x,y)|x R，yR,f:(x,y)(kx,y+b)，若 B中的元素 （6，2） ，在此映射下的原象是（ 3，1
